Bernsteinův problém - Bernsteins problem - Wikipedia

v diferenciální geometrie, Bernsteinův problém je následující: pokud je graf funkce zapnutý Rⁿ⁻¹ je minimální povrch v RⁿZnamená to, že funkce je lineární? To platí v rozměrech n maximálně 8, ale falešných rozměrů n alespoň 9. Problém je pojmenován pro Sergej Natanovič Bernstein kdo případ vyřešiln = 3 v roce 1914.

Prohlášení

Předpokládejme to F je funkce n - 1 skutečná proměnná. Graf F je povrch v Rⁿ, a podmínkou, že se jedná o minimální povrch, je to F splňuje minimální rovnici povrchu

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n-1} { frac { částečné} { částečné x_ {i}}} { frac { frac { částečné f} { částečné x_ {i }}} { sqrt {1+ sum _ {j = 1} ^ {n-1} left ({ frac { partial f} { částečné x_ {j}}} right) ^ {2} }}} = 0}$

Bernsteinův problém se ptá, zda celý funkce (funkce definovaná v celém systému) Rⁿ⁻¹ ), který řeší tuto rovnici, je nutně polynom stupně 1.

Dějiny

Bernstein (1915–1917) dokázal Bernsteinovu větu, na které je graf skutečné funkce R² to je také minimální plocha v R³ musí být letadlo.

Fleming (1962) poskytl nový důkaz Bernsteinovy ​​věty tím, že jej odvodil ze skutečnosti, že v oblasti neexistuje žádný nerovinný kužel minimalizující plochu R³.

De Giorgi (1965) ukázal, že pokud v ní není kón k minimalizaci plošné plochy Rⁿ⁻¹ potom platí analogie Bernsteinovy ​​věty Rⁿ, což zejména znamená, že je to pravda v R⁴.

Almgren (1966) ukázal, že v ní nejsou žádné neplanární minimalizující kužely R⁴, čímž se Bernsteinova věta rozšiřuje na R⁵.

Simons (1968) ukázal, že v ní nejsou žádné neplanární minimalizující kužely R⁷, čímž se Bernsteinova věta rozšiřuje na R⁸. Uváděl také příklady místně stabilních kuželů R⁸ a zeptal se, zda globálně minimalizují plochu.

Bombieri, De Giorgi a Giusti (1969) ukázal, že Simonsovy kužely se skutečně globálně minimalizují, a ukázal to v Rⁿ pro n≥9 existují grafy, které jsou minimální, ale ne hyperplany. V kombinaci s výsledkem Simonsa to ukazuje, že analogie Bernsteinovy ​​věty je pravdivá v rozměrech do 8 a nepravdivá ve vyšších rozměrech. Specifickým příkladem je povrch ${ displaystyle {x in mathbb {R} ^ {8}: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = x_ {5} ^ {2} + x_ {6} ^ {2} + x_ {7} ^ {2} + x_ {8} ^ {2} }}$.

Reference

• Almgren, F. J. (1966), „Některé věty o pravidelnosti interiéru pro minimální povrchy a rozšíření Bernsteinovy ​​věty“, Annals of Mathematics, Druhá série, 84: 277–292, doi:10.2307/1970520, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970520, PAN  0200816
• Bernstein, S. N. (1915–1917), „Sur une Théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique“, Comm. Soc. Matematika. Charkov, 15: 38–45 Německý překlad v Bernstein, Serge (1927), „Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus“, Mathematische Zeitschrift (v němčině), Springer Berlin / Heidelberg, 26: 551–558, doi:10.1007 / BF01475472, ISSN  0025-5874
• Bombieri, Enrico; De Giorgi, Ennio; Giusti, E. (1969), „Minimální kužely a Bernsteinův problém“, Inventiones Mathematicae, 7: 243–268, doi:10.1007 / BF01404309, ISSN  0020-9910, PAN  0250205
• De Giorgi, Ennio (1965), „Una estensione del teorema di Bernstein“, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 19: 79–85, PAN  0178385
• Fleming, Wendell H. (1962), "K problému orientované plošiny", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Série II, 11: 69–90, doi:10.1007 / BF02849427, ISSN  0009-725X, PAN  0157263
• Sabitov, I. Kh. (2001) [1994], „Bernsteinova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Simons, James (1968), "Minimální odrůdy v riemannovských varietách" (PDF), Annals of Mathematics, Druhá série, 88: 62–105, doi:10.2307/1970556, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970556, PAN  0233295
• Straume, E. (2001) [1994], „Bernsteinův problém v diferenciální geometrii“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

externí odkazy

• Článek Encyklopedie matematiky o Bernsteinově teorému