Scherkův povrch - Scherk surface

Animace Scherkovy první a druhé povrchové transformace do sebe: jsou členy stejné přidružená rodina minimálních povrchů.

v matematika, a Scherkův povrch (pojmenoval podle Heinrich Scherk ) je příkladem a minimální povrch. Scherk popsal dva úplné vložené minimální povrchy v roce 1834;^[1] jeho první povrch je dvojnásobně periodický povrch, jeho druhý povrch je jednotlivě periodický. Byly to třetí netriviální příklady minimálních povrchů (první dva byly katenoid a vrtulník ).^[2] Tyto dva povrchy jsou konjugáty navzájem.

Scherkovy povrchy vznikají při studiu určitých omezujících minimálních povrchových problémů a při studiu harmonických difeomorfismy z hyperbolický prostor.

Scherkův první povrch

Scherkův první povrch je asymptotický ke dvěma nekonečným rodinám rovnoběžných rovin, vzájemně kolmých, které se setkávají blízko z = 0 v šachovnicovém vzoru přemosťujících oblouků. Obsahuje nekonečné množství přímých svislých čar.

Konstrukce jednoduchého Scherkova povrchu

STL jednotková buňka prvního povrchu Scherku

Pět jednotkových buněk umístěných společně

Zvažte následující minimální povrchový problém na čtverci v euklidovské rovině: pro a přirozené číslo n, najít minimální povrch Σ_n jako graf nějaké funkce

${displaystyle u_ {n}: left (- {frac {pi} {2}}, + {frac {pi} {2}} ight) je vlevo (- {frac {pi} {2}}, + {frac { pi} {2}} ight) o mathbb {R}}$

takhle

${displaystyle lim _ {y o pm pi / 2} u_ {n} left (x, yight) = + n {ext {for}} - {frac {pi} {2}}$

${displaystyle lim _ {x o pm pi / 2} u_ {n} left (x, yight) = - n {ext {for}} - {frac {pi} {2}}$

To znamená, u_n uspokojuje minimální rovnice povrchu

${displaystyle mathrm {div} left ({frac {abla u_ {n} (x, y)} {sqrt {1+ | abla u_ {n} (x, y) | ^ {2}}}} ight) equiv 0 }$

a

${displaystyle Sigma _ {n} = left {(x, y, u_ {n} (x, y)) in mathbb {R} ^ {3} left | - {frac {pi} {2}}$

Co, pokud vůbec, je omezující povrch jako n má sklon k nekonečnu? Odpověď dal H. Scherk v roce 1834: mezní plocha Σ je grafem

${displaystyle u: left (- {frac {pi} {2}}, + {frac {pi} {2}} ight) je vlevo (- {frac {pi} {2}}, + {frac {pi} { 2}} ight) o mathbb {R},}$

${displaystyle u (x, y) = log left ({frac {cos (x)} {cos (y)}} ight).}$

Toto je Scherkův povrch přes náměstí je

${displaystyle Sigma = left {left.left (x, y, log left ({frac {cos (x)} {cos (y)}} ight) ight) in mathbb {R} ^ {3} ight | - {frac {pi} {2}}$

Obecnější Scherkovy povrchy

Jeden může uvažovat o podobných minimálních povrchových problémech na druhém čtyřúhelníky v euklidovské rovině. Jeden může také uvažovat o stejném problému na čtyřúhelnících v hyperbolická rovina. V roce 2006 Harold Rosenberg a Pascal Collin použili hyperbolické Scherkovy povrchy ke konstrukci harmonického difeomorfismu z komplexní roviny na hyperbolickou rovinu (jednotkový disk s hyperbolickou metrikou), čímž vyvrátili Schoen – Yau dohad.

Scherkův druhý povrch

Scherkův druhý povrch

Jednotková buňka STL druhého Scherkova povrchu

Scherkův druhý povrch vypadá globálně jako dvě ortogonální roviny, jejichž průsečík se skládá ze sledu tunelů ve střídavých směrech. Jeho průsečíky s vodorovnými rovinami se skládají ze střídavých hyperbol.

Má implicitní rovnici:

${displaystyle sin (z) -sinh (x) sinh (y) = 0}$

Má to Weierstrass – Enneperova parametrizace${displaystyle f (z) = {frac {4} {1-z ^ {4}}}}$, ${displaystyle g (z) = iz}$a lze jej parametrizovat jako:^[3]

${displaystyle x (r, heta) = 2Re (ln (1 + re ^ {i heta}) - ln (1-re ^ {i heta})) = ln vlevo ({frac {1 + r ^ {2} + 2rcos heta} {1 + r ^ {2} -2rcos heta}} hned)}$

${displaystyle y (r, heta) = Re (4i an ^ {- 1} (re ^ {i heta})) = ln left ({frac {1 + r ^ {2} -2rsin heta} {1 + r ^ {2} + 2rsin heta}} ight)}$

${displaystyle z (r, heta) = Re (2i (-ln (1-r ^ {2} e ^ {2i heta}) + ln (1 + r ^ {2} e ^ {2i heta})) = 2 an ^ {- 1} left ({frac {2r ^ {2} sin 2 heta} {r ^ {4} -1}} ight)}$

pro ${displaystyle heta in [0,2pi)}$ a ${displaystyle rin (0,1)}$. To dává jednu periodu povrchu, kterou lze poté rozšířit ve směru z symetrií.

Povrch zobecnil H. Karcher do sedlová věž rodina periodických minimálních povrchů.

Poněkud matoucí je tento povrch občas nazýván Scherkovým pátým povrchem v literatuře.^[4][5] Aby se minimalizoval zmatek, je užitečné jej označit jako Scherkův samostatně periodický povrch nebo Scherk-tower.

externí odkazy

• Sabitov, I.Kh. (2001) [1994], "Scherk_surface", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Scherkův první povrch v MSRI Geometry [2]
• Scherkův druhý povrch v MSRI Geometry [3]
• Scherkovy minimální plochy v Mathworldu [4]

Reference