Schwarzův minimální povrch - Schwarz minimal surface - Wikipedia

v diferenciální geometrie, Schwarzovy minimální povrchy jsou periodicky minimální povrchy původně popsal Hermann Schwarz.

V 80. letech 19. století Schwarz a jeho student E. R. Neovius popsali periodické minimální povrchy.[1][2] Později byli pojmenováni Alan Schoen ve své klíčové zprávě popisující gyroid a další trojnásobně periodické minimální povrchy.[3]

Plochy byly generovány pomocí argumentů symetrie: dané řešení Problém náhorní plošiny pro mnohoúhelník odrazy povrchu přes hraniční čáry také produkují platné minimální povrchy, které lze kontinuálně spojit s původním řešením. Pokud se minimální plocha setkává s rovinou v pravých úhlech, pak lze zrcadlový obraz v rovině také spojit s povrchem. Proto může být vytvořen vhodný počáteční polygon vepsaný do jednotkové buňky periodické povrchy.[4]

Schwarzovy povrchy mají topologický rod 3, minimální rod trojnásobných periodických minimálních povrchů.[5]

Byly považovány za modely pro periodické nanostruktury v blokové kopolymery, elektrostatické ekvipotenciální povrchy v krystalech,[6] a hypotetické negativně zakřivené grafitové fáze.[7]

Schwarz P („primitivní“)

Povrch Schwarz P.

Schoen pojmenoval tento povrch „primitivní“, protože má dva propletené shodné labyrinty, každý s tvarem nafouknuté trubkovité verze jednoduché kubické mřížky. Zatímco standardní P povrch má kubickou symetrii, jednotkovou buňkou může být jakákoli obdélníková krabička, která vytváří rodinu minimálních povrchů se stejnou topologií.[8]

Lze jej aproximovat implicitním povrchem

.[9]

Povrch P byl považován za prototyp tkáňové lešení s vysokým poměrem povrchu k objemu a pórovitostí.[10]

Schwarz D („diamant“)

Povrch Schwarz D.

Schoen pojmenoval tento povrch „diamantem“, protože má dva propletené shodné labyrinty, z nichž každý má tvar nafouknuté trubkovité verze struktura diamantové vazby. V literatuře se mu někdy říká F povrch.

Lze jej aproximovat implicitním povrchem

Přesný výraz existuje ve smyslu eliptické integrály, založeno na Zastoupení Weierstrass.[11]

Schwarz H („šestihranný“)

Povrch Schwarz H.

H povrch je podobný a katenoid s trojúhelníkovou hranicí, což jí umožňuje vykládat prostor.

Schwarz CLP ("Překřížené vrstvy rovnoběžek")

Povrch Schwarz CLP

Ilustrace

Reference

  1. ^ H. A. Schwarz, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Springer, Berlín, 1933.
  2. ^ E. R. Neovius, „Bestimmung zweier spezieller periodischer Minimalflächen“, Akad. Abhandlungen, Helsingfors, 1883.
  3. ^ Alan H. Schoen, Nekonečné periodické minimální povrchy bez samovolných křižovatek, Technická poznámka NASA TN D-5541 (1970)[1]
  4. ^ Hermann Karcher, Konrad Polthier, „Konstrukce trojnásobně periodických minimálních povrchů“, Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 16. září 1996 sv. 354 č. 1715 2077–2104
  5. ^ http://schoengeometry.com/e-tpms.html
  6. ^ Mackay, Alan L. (duben 1985). "Periodické minimální povrchy". Příroda. 314 (6012): 604–606. doi:10.1038 / 314604a0.
  7. ^ Terrones, H .; Mackay, A. L. (prosinec 1994). "Negativně zakřivený grafit a ztrojnásobit periodické minimální povrchy". Journal of Mathematical Chemistry. 15 (1): 183–195. doi:10.1007 / BF01277558.
  8. ^ W. H. Meeks. Teorie trojnásobně periodických minimálních ploch. Matematika na Indiana University. Journal, 39 (3): 877-936, 1990.
  9. ^ „Znásobte povrchy periodické úrovně“. Archivováno od originálu na 2019-02-12. Citováno 2019-02-10.
  10. ^ Jaemin Shin, Sungki Kim, Darae Jeong, Hyun Geun Lee, Dongsun Lee, Joong Yeon Lim a Junseok Kim, analýza konečných prvků geometrií povrchových pórů Schwarz P pro tkáňová lešení, Matematické problémy ve strojírenství, svazek 2012, článek ID 694194 , doi: 10.1155 / 2012/694194
  11. ^ Paul J.F.Gandy, Djurdje Cvijović, Alan L. Mackay, Jacek Klinowski, přesný výpočet trojnásobně periodického minimálního povrchu D (`` diamantu``), Chemical Physics Letters, svazek 314, čísla 5–6, 10. prosince 1999, strany 543–551