Katenoid - Catenoid


A katenoid je typ povrchu vznikající rotací a řetězovka křivka kolem osy.[1] Je to minimální povrch, což znamená, že zabírá nejmenší plochu, když je ohraničen uzavřeným prostorem.[2] Formálně to popsal v roce 1744 matematik Leonhard Euler.
Mýdlový film připojený k dvojitým kruhovým kroužkům bude mít tvar katenoidu.[2] Protože jsou členy stejného přidružená rodina povrchu lze katenoid ohnout na část a vrtulník a naopak.
Geometrie
Catenoid byl první netriviální minimum povrch v 3-dimenzionálním euklidovském prostoru, který bude objeven na rozdíl od letadlo. Catenoid se získává otáčením trolejového vedení kolem jeho directrix.[2] Bylo zjištěno a ukázalo se, že je minimální Leonhard Euler v roce 1744.[3][4]
Ranou práci na toto téma publikoval také Jean Baptiste Meusnier.[5][4]:11106 Jsou jen dva minimální plochy otáčení (rotační plochy což jsou také minimální povrchy): letadlo a katenoid.[6]
Katenoid lze definovat pomocí následujících parametrických rovnic:
- kde a a je nenulová reálná konstanta.
Ve válcových souřadnicích:
- kde je skutečná konstanta.
Fyzický model katenoidu lze vytvořit ponořením dvou oběžník kroužky do mýdlového roztoku a pomalu roztahují kruhy
Katenoid může být také definován přibližně pomocí Metoda natažené mřížky jako fasetový 3D model.
Helicoidní transformace

Protože jsou členy stejného přidružená rodina povrchů lze ohnout katenoid na část a vrtulník bez protahování. Jinými slovy lze vytvořit (většinou) kontinuální a izometrické deformace katenoidu na část vrtulník takový, že každý člen deformační rodiny je minimální (mít a střední zakřivení nula). A parametrizace taková deformace je dána systémem
- pro , s parametrem deformace ,
kde odpovídá pravotočivému helikoidu, odpovídá katenoidu a odpovídá levorukému helikoidu.
Reference
- ^ Dierkes, Ulrich; Hildebrandt, Stefan; Sauvigny, Friedrich (2010). Minimální povrchy. Springer Science & Business Media. p. 141. ISBN 9783642116988.
- ^ A b C Gullberg, Jan (1997). Matematika: Od narození čísel. W. W. Norton & Company. p.538. ISBN 9780393040029.
- ^ Helveticae, Euler, Leonhard (1952) [dotisk vydání z roku 1744]. Carathëodory Constantin (ed.). Methodus inveniendi lineas curvas: maximální minimální vlastní gaudentes sive řešení problému isoperimetrici latissimo sensu přijmout (v latině). Springer Science & Business Media. ISBN 3-76431-424-9.
- ^ A b Colding, T. H .; Minicozzi, W. P. (17. července 2006). "Tvary vložených minimálních ploch". Sborník Národní akademie věd. 103 (30): 11106–11111. doi:10.1073 / pnas.0510379103. PMC 1544050. PMID 16847265.
- ^ Meusnier, J. B (1881). Mémoire sur la courbure des povrchy [Paměť na zakřivení povrchů.] (PDF) (francouzsky). Bruxelles: F. Hayez, Imprimeur De L'Acdemie Royale De Belgique. 477–510. ISBN 9781147341744.
- ^ "Catenoid". Wolfram MathWorld. Citováno 15. ledna 2017.
Další čtení
- Krivoshapko, Sergey; Ivanov, V. N. (2015). „Minimální povrchy“. Encyclopedia of Analytical Surfaces. Springer. ISBN 9783319117737.
externí odkazy
- "Catenoid", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Catenoid - model WebGL
- Eulerův text popisující katenoid na Carnegie Mellon University