Richmondský povrch - Richmond surface

Richmondův povrch pro m = 2.

v diferenciální geometrie, a Richmondský povrch je minimální povrch poprvé popsal Herbert William Richmond v roce 1904. ^[1] Je to rodina povrchů s jedním rovinným povrchem konec a jeden Enneper povrch -jako protínající se konec.

Má to Weierstrass – Enneperova parametrizace ${ displaystyle f (z) = 1 / z ^ {2}, g (z) = z ^ {m}}$. To umožňuje parametrizaci založenou na komplexním parametru jako

${ displaystyle { begin {zarovnáno} X (z) & = Re [(-1 / 2z) -z ^ {2m + 1} / (4m + 2)] Y (z) & = Re [ (-i / 2z) + iz ^ {2m + 1} / (4m + 2)] Z (z) & = Re [z ^ {m} / m] end {zarovnáno}}}$

The přidružená rodina povrchu je pouze povrch otočený kolem osy z.

Brát m = 2 skutečný parametrický výraz se stává:^[2]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} X (u, v) & = (1/3) u ^ {3} -uv ^ {2} + { frac {u} {u ^ {2} + v ^ { 2}}} Y (u, v) & = - u ^ {2} v + (1/3) v ^ {3} - { frac {v} {u ^ {2} + v ^ {2} }} Z (u, v) & = 2u end {zarovnáno}}}$

Reference