Gaussova mapa - Gauss map
![]() | Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace.Červenec 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |

v diferenciální geometrie, Gaussova mapa (pojmenoval podle Carl F. Gauss ) mapy a povrch v Euklidovský prostor R3 do jednotková koule S2. Jmenovitě daný povrch X ležící uvnitř R3, Gaussova mapa je spojitá mapa N: X → S2 takhle N(str) je jednotkový vektor kolmý na X na str, jmenovitě normální vektor do X na str.
Gaussovu mapu lze definovat (globálně) právě tehdy, je-li povrch orientovatelný, v tom případě jeho stupeň je polovina Eulerova charakteristika. Gaussovu mapu lze vždy definovat lokálně (tj. Na malém kousku povrchu). The Jacobian determinant Gaussovy mapy se rovná Gaussovo zakřivení a rozdíl Gaussovy mapy se nazývá operátor tvaru.
Gauss poprvé napsal koncept na toto téma v roce 1825 a publikoval v roce 1827.
K dispozici je také Gaussova mapa pro a odkaz, který počítá spojovací číslo.
Zobecnění
Mapu Gauss lze definovat pro hyperplochy v Rn jako mapa z hyperplochy do sféry jednotek Sn − 1 ⊆ Rn.
Pro obecně orientované k-podmanifold z Rn lze také definovat Gaussovu mapu a jejím cílovým prostorem je orientované Grassmannian , tj. množina všech orientovaných k- letadla v Rn. V tomto případě je bod na dílčím potrubí namapován na jeho orientovaný tečný podprostor. Dá se také namapovat na jeho orientovaný normální podprostor; jsou ekvivalentní jako přes ortogonální doplněk Euklidovský 3prostor, toto říká, že orientovaná 2 rovina je charakterizována orientovanou 1 čarou, ekvivalentně jednotkovým normálním vektorem (jako ), proto je to v souladu s výše uvedenou definicí.
Nakonec lze pojem Gaussovy mapy zobecnit na orientovaný podrozměr X dimenze k v orientovaném prostředí Riemannovo potrubí M dimenze n. V takovém případě pak Gaussova mapa přejde z X k množině tečny k- letadla v tečný svazek TM. Cílový prostor pro mapu Gauss N je Grassmann svazek postaveno na tangenciálním svazku TM. V případě, že , tečný svazek je bagatelizován (takže Grassmannův svazek se stává mapou ke Grassmannianovi) a obnovíme předchozí definici.
Celkové zakřivení
Oblast obrazu Gaussovy mapy se nazývá celkové zakřivení a je ekvivalentní s povrchový integrál z Gaussovo zakřivení. Toto je původní výklad, který poskytl Gauss. The Věta o Gauss-Bonnetovi spojuje celkové zakřivení povrchu s jeho topologické vlastnosti.
Vrcholy Gaussovy mapy

Gaussova mapa odráží mnoho vlastností povrchu: když má povrch nulové Gaussovo zakřivení (to je podél parabolická linka ) Gaussova mapa bude mít složit katastrofu. Tento sklad může obsahovat vrcholy a tyto hrbolky byly studovány do hloubky Thomas Banchoff, Terence Gaffney a Clint McCrory. Parabolické linie i hrot jsou stabilní jevy a zůstanou pod mírnými deformacemi povrchu. K hrčkám dochází, když:
- Povrch má dvojtečnou rovinu
- A hřbet překročí parabolickou čáru
- při uzavření sady inflexních bodů asymptotické křivky povrchu.
Existují dva typy hrotu: eliptický hrot a hyperbolické hrbolky.
Reference
- Gauss, K. F., Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827)
- Gauss, K. F., Obecné vyšetřování zakřivených povrchů, Anglický překlad. Hewlett, New York: Raven Press (1965).
- Banchoff, T., Gaffney T., McCrory C., Vrcholy Gaussovy mapy, (1982) Research Notes in Mathematics 55, Pitman, London. online verze
- Koenderink, J. J., Plný tvar, MIT Press (1990)
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. „Gaussova mapa“. MathWorld.
- Thomas Banchoff; Terence Gaffney; Clint McCrory; Daniel Dreibelbis (1982). Vrcholy Gaussových mapování. Výzkumné poznámky z matematiky. 55. London: Pitman Publisher Ltd. ISBN 0-273-08536-0. Citováno 4. března 2016.