Enneper povrch - Enneper surface

Část povrchu Enneper

v diferenciální geometrie a algebraická geometrie, Enneper povrch je samoprotínající se povrch, který lze popsat parametricky podle:

${displaystyle x = u (1-u ^ {2} / 3 + v ^ {2}) / 3,}$

${displaystyle y = proti (1-v ^ {2} / 3 + u ^ {2}) / 3,}$

${displaystyle z = (u ^ {2} -v ^ {2}) / 3. }$

To bylo představeno Alfred Enneper v roce 1864 v souvislosti s minimální povrch teorie.^[1][2][3][4]

The Weierstrass – Enneperova parametrizace je velmi jednoduchý, ${displaystyle f (z) = 1, g (z) = z}$a lze z něj snadno vypočítat skutečnou parametrickou formu. Povrch je sdružené pro sebe.

Implicitizační metody algebraická geometrie lze použít ke zjištění, že výše uvedené body na Enneperově povrchu splňují stupeň 9 polynomiální rovnice^{[Citace je zapotřebí ]}

${displaystyle 64z ^ {9} -128z ^ {7} + 64z ^ {5} -702x ^ {2} y ^ {2} z ^ {3} -18x ^ {2} y ^ {2} z + 144 ( y ^ {2} z ^ {6} -x ^ {2} z ^ {6})}$

${displaystyle {} +162 (y ^ {4} z ^ {2} -x ^ {4} z ^ {2}) + 27 (y ^ {6} -x ^ {6}) + 9 (x ^ { 4} z + y ^ {4} z) +48 (x ^ {2} z ^ {3} + y ^ {2} z ^ {3})}$

${displaystyle {} -432 (x ^ {2} z ^ {5} + y ^ {2} z ^ {5}) + 81 (x ^ {4} y ^ {2} -x ^ {2} y ^ {4}) + 240 (y ^ {2} z ^ {4} -x ^ {2} z ^ {4}) - 135 (x ^ {4} z ^ {3} + y ^ {4} z ^ {3}) = 0. }$

Dvojitě tečná rovina v bodě s danými parametry je ${displaystyle a + bx + cy + dz = 0,}$ kde

${displaystyle a = - (u ^ {2} -v ^ {2}) (1 + u ^ {2} / 3 + v ^ {2} / 3),}$

${displaystyle b = 6u,}$

${displaystyle c = 6v,}$

${displaystyle d = -3 (1-u ^ {2} -v ^ {2}). }$

Jeho koeficienty uspokojují implicitní polynomiální rovnici stupně 6

${displaystyle 162a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} + 6b ^ {2} c ^ {2} d ^ {2} -4 (b ^ {6} + c ^ {6}) + 54 (ab ^ {4} d-ac ^ {4} d) +81 (a ^ {2} b ^ {4} + a ^ {2} c ^ {4})}$

${displaystyle {} +4 (b ^ {4} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {4}) - 3 (b ^ {4} d ^ {2} + c ^ {4} d ^ {2}) + 36 (ab ^ {2} d ^ {3} -ac ^ {2} d ^ {3}) = 0. }$

The Jacobian, Gaussovo zakřivení a střední zakřivení jsou

${displaystyle J = (1 + u ^ {2} + v ^ {2}) ^ {4} / 81,}$

${displaystyle K = - (4/9) / J,}$

${displaystyle H = 0. }$

The celkové zakřivení je ${displaystyle -4pi}$. Osserman prokázal, že úplná minimální plocha v ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ s celkovým zakřivením ${displaystyle -4pi}$ je buď katenoid nebo Enneperův povrch.^[5]

Další vlastností je, že všechny bikubické minimální Bézierovy povrchy jsou až afinní transformace, kousky povrchu.^[6]

Lze ji zobecnit na rotační symetrie vyššího řádu pomocí Weierstrass – Enneperovy parametrizace ${displaystyle f (z) = 1, g (z) = z ^ {k}}$ pro celé číslo k> 1.^[3] Lze jej také zobecnit na vyšší dimenze; Je známo, že v nich existují povrchy podobné enneperovi ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ pro n až 7.^[7]

Reference

externí odkazy

• "Enneper povrch", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• https://web.archive.org/web/20130501084413/http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/enneper.html
• https://web.archive.org/web/20160919231223/https://secure.msri.org/about/sgp/jim/geom/minimal/library/ennepern/index.html