Minimální plocha otáčení - Minimal surface of revolution

Natažením mýdlového filmu mezi dvěma paralelními kruhovými smyčkami drátu vznikne a katenoidní minimální plocha otáčení

v matematika, a minimální plocha otáčení nebo minimální plocha otáčení je povrch otáčení definováno ze dvou bodů v polorovina, jehož hranicí je osa otáčení povrchu. Je generován a křivka která leží v polorovině a spojuje dva body; mezi všemi povrchy, které lze generovat tímto způsobem, je to ten, který minimalizuje the plocha povrchu.^[1] Základní problém v variační počet je nalezení křivky mezi dvěma body, která produkuje tuto minimální rotační plochu.^[1]

Vztah k minimálním plochám

Minimální rotační plocha je podtypem minimální povrch.^[1] Minimální povrch není definován jako povrch minimální plochy, ale jako povrch s a střední zakřivení 0.^[2] Protože střední zakřivení 0 je a nutná podmínka povrchu minimální plochy jsou všechny minimální povrchy otáčení minimálními povrchy, ale ne všechny minimální povrchy jsou minimálními plochami otáčení. Jako bod tvoří a kruh když otočil kolem osy Hledání minimální rotační plochy je ekvivalentní nalezení minimální plochy procházející dvěma kruhy drátové modely.^[1] Fyzická realizace minimální revoluční plochy je mýdlový film protáhl se mezi dvěma paralelními kruhy dráty: mýdlový film přirozeně získává tvar s nejmenší povrchovou plochou.^[3][4]

Řešení katenoidů

A katenoid

Je-li dána polorovina obsahující dva body a osu otáčení Kartézské souřadnice, čímž se osa revoluce stává X- osa souřadného systému, pak lze křivku spojující body interpretovat jako graf funkce. Pokud jsou kartézské souřadnice dvou daných bodů ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$, ${ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$, pak plocha povrchu generovaná nezápornou hodnotou diferencovatelná funkce ${ displaystyle f}$ lze vyjádřit matematicky jako

${ displaystyle 2 pi int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} f (x) { sqrt {1 + f '(x) ^ {2}}} dx}$

a problém najít minimální povrch otáčení se stává jedním z nalezení funkce, která minimalizuje tento integrál, s výhradou okrajové podmínky že ${ displaystyle f (x_ {1}) = y_ {1}}$ a ${ displaystyle f (x_ {2}) = y_ {2}}$.^[5] V tomto případě bude optimální křivka nutně a řetězovka.^[1][5] Osa otáčení je přímkou ​​trolejového vedení a minimální plocha otáčení bude tedy a katenoid.^[1][6][7]

Goldschmidtovo řešení

Mohou být také definována řešení založená na nespojitých funkcích. Zejména pro některá umístění dvou bodů je optimální řešení generováno diskontinuální funkcí, která je nenulová ve dvou bodech a nula všude jinde. Tato funkce vede k rotační ploše skládající se ze dvou kruhových disků, jednoho pro každý bod, spojených degenerovaným úsečkovým segmentem podél osy otáčení. Toto se nazývá a Goldschmidtovo řešení^[5][8] po Němec matematik Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt,^[4] který oznámil svůj objev ve svém článku z roku 1831 „Determinatio superficiei minimae rotatione curvae data duo puncta jungentis circa datum axem ortae“ („Stanovení křivky minimální rotace povrchu dané dvěma spojenými body kolem dané osy původu“).^[9]

Pro pokračování výše uvedené fyzické analogie mýdlového filmu lze tato Goldschmidtova řešení vizualizovat jako případy, kdy se mýdlový film roztrhne, když se kruhové dráty roztáhnou od sebe.^[4] Ve fyzickém filmu z mýdla by však segment spojovací čáry nebyl přítomen. Navíc, pokud je mýdlový film natažen tímto způsobem, existuje řada vzdáleností, ve kterých je katenoidový roztok stále proveditelný, ale má větší plochu než Goldschmidtův roztok, takže se mýdlový film může protáhnout do konfigurace, ve které je oblast místní minimum ale ne globální minimum. U vzdáleností větších než je tento rozsah protíná trolejové vedení, které definuje katenoid X-osa a vede k samoprotínajícímu se povrchu, takže je možné pouze řešení Goldschmidt.^[10]

Reference