Pupeční bod - Umbilical point

Čáry zakřivení na elipsoidu ukazující pupeční body (červené).

V diferenciální geometrie povrchů ve třech rozměrech, umbilics nebo pupeční body jsou body na povrchu, které jsou lokálně sférické. V těchto bodech normální zakřivení ve všech směrech jsou si rovni, tedy oba hlavní zakřivení jsou si rovny a každý tečný vektor je a hlavní směr. Název „umbilic“ pochází z latiny pupek - pupek.

Pupeční body se obecně vyskytují jako izolované body v eliptické oblasti povrchu; to je, kde Gaussovo zakřivení je pozitivní.

Nevyřešený problém v matematice:

Má každá hladká topologická sféra v euklidovském prostoru alespoň dvě pupečníky?

(více nevyřešených úloh z matematiky)

The koule je jediný povrch s nenulovým zakřivením, kde je každý bod pupeční. Plochý umbilic je umbilic s nulovým Gaussovým zakřivením. The opičí sedlo je příkladem povrchu s plochým pupečníkem a na letadlo každý bod je plochý pupečník. A torus nemůže mít žádné umbilics, ale každý uzavřený povrch nenulové Eulerova charakteristika, vložené hladce do Euklidovský prostor, má alespoň jeden umbilic. Neprokázané dohad z Constantin Carathéodory uvádí, že každá hladká topologická sféra v euklidovském prostoru má alespoň dvě pupečníky.^[1]

Tři hlavní typy pupečních bodů jsou eliptické pupečníky, parabolické pupečníky a hyperbolické pupečníky. Eliptičtí umbilici mají tři hřbet čáry procházející umbilikálním a hyperbolickým umbilikem mají pouze jednu. Parabolické pupečníky jsou přechodný případ se dvěma hřebeny, z nichž jeden je singulární. Pro přechodné případy jsou možné další konfigurace. Tyto případy odpovídají D₄⁻, D₅ a D₄⁺ elementární katastrofy Reného Thoma teorie katastrof.

Pupky lze také charakterizovat vzorem hlavního směru vektorové pole kolem pupečníku, které obvykle tvoří jednu ze tří konfigurací: hvězda, citron a citronová hvězda (nebo monstar). The index vektorového pole je buď −½ (hvězda) nebo ½ (citron, monstar). Eliptická a parabolická umbilika má vždy hvězdný vzor, zatímco hyperbolická umbilika může být hvězda, citron nebo monstar. Tato klasifikace byla první kvůli Darboux a jména pocházejí od Hannay.^[2]

Pro povrchy s rod 0 s izolovanými pupky, např. elipsoid, index vektoru pole hlavního směru musí být 2 o Poincaré – Hopfova věta. Generické povrchy rodu 0 mají alespoň čtyři umbilics indexu ½. Elipsoid revoluce má dvě negenerické pupečníky, z nichž každá má index 1.^[3]

konfigurace linií zakřivení poblíž pupku
Hvězda
Monstar
Citrón

Klasifikace pupečníku

Kubické tvary

Klasifikace pupečníku úzce souvisí s klasifikací skutečné kubické tvary ${displaystyle ax ^ {3} + 3bx ^ {2} y + 3cxy ^ {2} + dy ^ {3}}$ . Kubický tvar bude mít řadu kořenových řádků ${displaystyle lambda (x, y)}$ tak, že kubický tvar je nulový pro všechny skutečné ${displaystyle lambda}$ . Existuje celá řada možností, včetně:

Tři odlišné linie: an eliptická kubická forma, standardní model ${displaystyle x ^ {2} y-y ^ {3}}$ .
Tři řádky, z nichž dva jsou shodné: a parabolická kubická forma, standardní model ${displaystyle x ^ {2} y}$ .
Jedna skutečná linie: a hyperbolická kubická forma, standardní model ${displaystyle x ^ {2} y + y ^ {3}}$ .
Tři shodné linie, standardní model ${displaystyle x ^ {3}}$ .^[4]

Třídy ekvivalence takových kubiků pod jednotným měřítkem tvoří trojrozměrný skutečný projektivní prostor a podmnožina parabolických forem definuje povrch - nazývaný pupeční náramek podle Christopher Zeeman.^[4] Převzetí tříd ekvivalence pod rotací souřadnicového systému odstraní jeden další parametr a kubické tvary mohou být reprezentovány složitým kubickým tvarem ${displaystyle z ^ {3} +3 {overline {eta}} z ^ {2} {overline {z}} + 3 eta z {overline {z}} ^ {2} + {overline {z}} ^ {3 }}$ s jediným komplexním parametrem ${displaystyle eta}$ . Parabolické formy se vyskytují, když ${displaystyle eta = {frac {1} {3}} (2e ^ {i heta} + e ^ {- 2i heta})}$ , vnitřní deltoidní, eliptické formy jsou uvnitř deltového a hyperbolického vnějšího. Li ${displaystyle left | eta ight | = 1}$ a ${displaystyle eta}$ není kořen krychle jednoty, pak kubická forma je a pravoúhlá kubická forma které hrají pro umbiliky zvláštní roli. Li ${displaystyle left | eta ight | = {frac {1} {3}}}$ pak dvě z kořenových linií jsou ortogonální.^[5]

Druhá kubická forma, Jacobian je tvořen tím, že Jacobian determinant funkce s vektorovou hodnotou ${displaystyle F: mathbb {R} ^ {2} ightarrow mathbb {R} ^ {2}}$ , ${displaystyle F (x, y) = (x ^ {2} + y ^ {2}, ax ^ {3} + 3bx ^ {2} y + 3cxy ^ {2} + dy ^ {3})}$ . Toto je kubický tvar až do konstantního násobku ${displaystyle bx ^ {3} + (2c-a) x ^ {2} y + (d-2b) xy ^ {2} -cy ^ {3}}$ . Při použití komplexních čísel je Jacobian parabolická kubická forma, když ${displaystyle eta = -2e ^ {i heta} -e ^ {- 2i heta}}$ , vnější deltoid v klasifikačním diagramu.^[5]

Pupeční klasifikace

Pupeční klasifikace,

{displaystyle eta}

-letadlo. Vnitřní deltový sval dává parabolické pupečníky, odděluje eliptické a hyperbolické pupečníky. Hrbolky na vnitřním deltovém svalu: kubické pupečníky. Vnější kruh, zrození umbiliků odděluje hvězdné a monstarové konfigurace. Vnější deltoid, odděluje konfiguraci monstar a citron. Úhlopříčky a vodorovná čára - symetrická umbilika se zrcadlovou symetrií.

Jakýkoli povrch s izolovaným pupečním bodem v počátku lze vyjádřit jako a Monge forma parametrizace ${displaystyle z = {frac {1} {2}} kappa (x ^ {2} + y ^ {2}) + {frac {1} {3}} (ax ^ {3} + 3bx ^ {2} y + 3cxy ^ {2} + dy ^ {3}) + ldots}$ , kde ${displaystyle kappa}$ je jedinečné zakřivení jistiny. Typ umbilic je klasifikován kubickou formou z kubické části a odpovídající Jacobian kubickou formou. I když hlavní směry nejsou jednoznačně definovány v pupečníku, lze najít limity hlavních směrů při sledování hřebene na povrchu a tyto odpovídají kořenovým liniím kubické formy. Vzor linií zakřivení určuje Jacobian.^[5]

Klasifikace pupečních bodů je následující:^[5]

Uvnitř vnitřního deltového svalu - eliptická pupeční šňůra
- Na vnitřním kruhu - dvě tečny hrany
Na vnitřním deltovém svalu - parabolické pupečníky
Mimo vnitřní deltový sval - hyperbolická pupečníková tkáň
- Uvnitř vnějšího kruhu - hvězdný vzor
- Na vnějším kruhu - narození pupečníku
- Mezi vnějším kruhem a vnějším deltoidem - monstar vzor
- Vnější deltoid - citronový vzor
Hrbolky vnitřního deltového svalu - kubické (symbolické) pupečníky
Na úhlopříčkách a vodorovné čáře - symetrická umbilika se zrcadlovou symetrií

V obecné rodině povrchů mohou být pupečníky vytvořeny nebo zničeny ve dvojicích: narození pupečníku přechod. Obě pupečníky budou hyperbolické, jedna se vzorem hvězd a druhá se vzorem monstar. Vnější kruh v diagramu, pravoúhlý kubický tvar, dává tyto přechodné případy. Symbolickým umbilics jsou zvláštní případ.^[5]

Ohnisková plocha

Povrch s eliptickým pupečníkem a jeho ohniskovým povrchem.

Povrch s hyperbolickým pupečníkem a jeho ohniskovým povrchem.

Eliptické pupečníky a hyperbolické pupečníky se výrazně liší ohniskové plochy. Hřeben na povrchu odpovídá a hrotové hrany takže každý list eliptického ohniskového povrchu bude mít tři hroty hrotů, které se spojí v pupečním ohnisku a poté se přepnou na druhý list. U hyperbolického pupečníku existuje jediný hrotový okraj, který přechází z jednoho listu na druhý.^[5]

Definice ve vyšší dimenzi v Riemannovských varietách

Bod p v Riemannian submanifold je pupeční, pokud v p, (s vektorovou hodnotou) Druhá základní forma je nějaký normální vektorový tenzor indukovaná metrika (První základní forma ). Ekvivalentně pro všechny vektory U, PROTI na p, II (U, PROTI) = G_p(U, PROTI) ${displaystyle u}$ , kde ${displaystyle u}$ je střední vektor zakřivení vp.

Submanifold je řekl, aby byl umbilic (nebo všichni-umbilic) jestliže tato podmínka platí v každém bodě “p”. To je ekvivalentní tvrzení, že submanifold může být zcela geodetický vhodnou konformní změnou metriky okolního („ambientního“) potrubí. Například povrch v euklidovském prostoru je umbilický právě tehdy, pokud jde o kus koule.

Viz také

pupeční - anatomický význam pojmu nebo související s pupkem
Carathéodory dohad

Reference

Darboux, Gaston (1887,1889,1896), Leçons sur la théorie génerale des povrchy: Svazek I, Svazek II, Svazek III, Díl IV Gauthier-Villars Zkontrolujte hodnoty data v: | rok = (Pomoc); Externí odkaz v | název = (Pomoc)
Obrázky hvězdy, citronu, monstar a dalších odkazů

^ Berger, Marcel (2010), „Caradéodoryova domněnka“, Geometrie odhalena, Springer, Heidelberg, str. 389–390, doi:10.1007/978-3-540-70997-8, ISBN 978-3-540-70996-1, PAN 2724440.
^ Berry, M V; Hannay, JH (1977). "Umbilické body na Gaussových náhodných plochách". J. Phys. A. 10: 1809–21.
^ Porteous, s. 208
^ ^A ^b Poston, Tim; Stewart, Iane (1978), Teorie katastrof a její aplikace, Pitman, ISBN 0-273-01029-8
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F Porteous, Ian R. (2001), Geometrická diferenciace, Cambridge University Press, s. 198–213, ISBN 0-521-00264-8

[1] Berger, Marcel (2010), „Caradéodoryova domněnka“, Geometrie odhalena, Springer, Heidelberg, str. 389–390, doi:10.1007/978-3-540-70997-8, ISBN 978-3-540-70996-1, PAN 2724440.

[2] Berry, M V; Hannay, JH (1977). "Umbilické body na Gaussových náhodných plochách". J. Phys. A. 10: 1809–21.

[3] Porteous, s. 208

[Poston-4] A ^b Poston, Tim; Stewart, Iane (1978), Teorie katastrof a její aplikace, Pitman, ISBN 0-273-01029-8

[Port-5] A ^b ^C ^d ^E ^F Porteous, Ian R. (2001), Geometrická diferenciace, Cambridge University Press, s. 198–213, ISBN 0-521-00264-8

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]