Vládl povrch - Ruled surface

v geometrie, a povrch S je vládl (také nazývaný a svitek) pokud přes každý bod S leží přímka S. Mezi příklady patří letadlo, boční povrch a válec nebo kužel, a kuželovitý povrch s eliptický directrix, pravý conoid, vrtulník a tečna rozvinutelná hladkého křivka ve vesmíru.
Vládnutou plochu lze popsat jako množinu bodů zametenou pohyblivou přímkou. Například, kužel je tvořen udržováním jednoho bodu čáry fixovaného, zatímco se pohybuje dalším bodem podél a kruh. Povrch je dvakrát vládl pokud skrz každý z jejích bodů existují dvě odlišné čáry, které leží na povrchu. The hyperbolický paraboloid a hyperboloid jednoho listu jsou dvojnásobně ovládané povrchy. Rovina je jediný povrch, který obsahuje alespoň tři odlišné čáry skrz každý ze svých bodů (Fuchs & Tabachnikov 2007 ).
Vlastnosti vládnutí nebo dvojnásobného vládnutí jsou zachovány projektivní mapy, a proto jsou pojmy projektivní geometrie. V algebraické geometrii jsou ovládané plochy někdy považovány za povrchy v afinním nebo projektivním prostoru nad polem, ale také jsou někdy považovány za abstraktní algebraické povrchy bez vložení do afinního nebo projektivního prostoru, přičemž v tomto případě se „přímkou“ rozumí afinní nebo projektivní linie.
Definice a parametrické vyjádření

Dvourozměrný diferencovatelné potrubí je nazýván ovládaný povrch, pokud je to svaz jedné parametrické rodiny čar. Řádky této rodiny jsou generátory ovládaného povrchu.
Ovládaný povrch lze popsat a parametrická reprezentace formuláře
- (ČR) .
Libovolná křivka s pevným parametrem je generátor (přímka) a křivka je directrix reprezentace. Vektory popište pokyny generátorů.
Directrix se může zhroutit do bodu (v případě kužele viz příklad níže).
Alternativně vládl povrch (ČR) lze popsat
- (CD)
s druhou directrix .
Alternativně lze začít se dvěma neprotínajícími se křivkami jako adresáře a dostat se (CD) ovládaný povrch se směry čar
Pro generování řízené plochy dvěma přímkami (nebo jednou přímkou a vektory směrů přímek) je nezbytný nejen geometrický tvar těchto křivek, ale také jejich speciální parametrické reprezentace ovlivňují tvar vyloučené plochy (viz příklady a ), d)).
Pro reprezentaci teoretických výzkumů (ČR) je výhodnější, protože parametr se zobrazí pouze jednou.
Příklady

:
s
:
s
V tomto případě by bylo možné použít vrchol jako directrix, tj .: a jako směr vedení.
Pro jakýkoli kužel lze zvolit vrchol jako directrix. Tento případ ukazuje: Direktiva ovládaného povrchu může degenerovat do určité míry.

C) Helicoid:
Directrix je osa z, směry čar jsou a druhá directrix je spirála.
Helikoid je speciální případ vládl generalizovaným helikoidům.
d) Válec, kužel a hyperboloidy:

Parametrická reprezentace
má dva vodorovné kruhy jako adresáře. Další parametr umožňuje měnit parametrické reprezentace kruhů. Pro
- jeden dostane válec , pro
- jeden dostane kužel a pro
- jeden dostane hyperboloid jednoho listu s rovnicí a poloosy .
Hyperboloid jednoho listu je a dvojnásobně ovládaný povrch.

Pokud jsou dva adresáře v (CD) jsou řádky
jeden dostane
- ,
což je hyperbolický paraboloid, který interpoluje 4 body bilineárně.[1]
Je zřejmé, že ovládaný povrch je a dvojnásobně ovládaný povrch, protože jakýkoli bod leží na dvou liniích plochy.
Příklad zobrazený na obrázku:
- .
Hyperbolický paraboloid má rovnici .

F) Möbiusův proužek:
Vládl povrch
s
- (kruh jako directrix),
obsahuje Möbiovu proužek.
Diagram ukazuje Möbiovu pásku pro .
Zobrazí se jednoduchý výpočet (viz další část). Proto je daná realizace Möbiovyho pásu nelze vyvinout. Existují ale rozvinutelné Möbiovy proužky.[2]
Tečná rovina, rozvinutelné povrchy
Z níže uvedených důvodů by měla existovat jakákoli nezbytná derivace.
Pro určení normálového vektoru v bodě je třeba částečné derivace reprezentace :
- ,
Proto je normální vektor
Kvůli (Smíšený produkt se dvěma stejnými vektory je vždy 0!), Vektor je tečný vektor v kterémkoli bodě . Dotčené roviny podél této čáry jsou stejné, pokud je násobkem . To je možné pouze v případě, že tři vektory leží v rovině, tj. jsou lineárně závislé. Lineární závislost tří vektorů lze zkontrolovat pomocí determinantu těchto vektorů:
- Tečná rovina podél čáry jsou si rovni, pokud
Důležitost této determinující podmínky ukazuje následující tvrzení:
- Vládl povrch je rozvinutelné do roviny, pokud pro jakýkoli bod Gaussovo zakřivení zmizí. To je přesně ten případ, pokud
- v každém okamžiku je pravda.[3]
Generátory jakéhokoli ovládaného povrchu splývají s jednou rodinou jeho asymptotických linií. U vyvíjejících se povrchů také tvoří jednu jejich rodinu křivky zakřivení. To lze ukázat jakýkoli rozvinutelný povrch je kužel, válec nebo povrch tvořený všemi tečnami prostorové křivky.[4]
Další příklady
Aplikace a historie vývojových povrchů

Podmínka determinantu pro rozvinutelné povrchy se používá k určení numericky rozvinutelných spojení mezi prostorovými křivkami (přímkami). Diagram ukazuje rozvinutelné spojení mezi dvěma elipsami obsaženými v různých rovinách (jedna horizontální, druhá vertikální) a její vývoj.[5]
Dojem využití rozvinutelných povrchů v Počítačem podporovaný design (CAD ) je uveden v Interaktivní návrh rozvinutelných povrchů[6]
A historický průzkum týkající se rozvinutelných povrchů najdete v Vývojové plochy: jejich historie a aplikace[7]
Ovládané plochy v algebraické geometrii
v algebraická geometrie, vyloučené plochy byly původně definovány jako projektivní plochy v projektivní prostor obsahující přímku procházející daným bodem. Okamžitě to znamená, že na daném bodě existuje projektivní čára na povrchu a tato podmínka se nyní často používá jako definice ovládané plochy: ovládané plochy jsou definovány jako abstraktní projektivní plochy splňující tuto podmínku, že existuje projektivní čára přes jakýkoli bod. To odpovídá tvrzení, že jsou birational k součinu křivky a projektivní přímky. Někdy je ovládaný povrch definován jako povrch splňující silnější podmínku, kterou má fibrace přes křivku s vlákny, která jsou projektivními čarami. To vylučuje projektivní rovinu, která má projektivní linii v každém bodě, ale nemůže být zapsána jako taková fibrace.
Ovládané plochy se objeví v Enriquesova klasifikace projektivních komplexních povrchů, protože každý algebraický povrch Dimenze Kodaira je řízená plocha (nebo projektivní rovina, pokud se používá omezující definice řízené plochy). Každá minimální projektivní řízená plocha jiná než projektivní rovina je projektivní svazek dvourozměrného vektorového svazku přes nějakou křivku. Vládnuté plochy se základní křivkou rodu 0 jsou Hirzebruchovy povrchy.
Vládl povrchy v architektuře
Zdvojnásobené plochy jsou inspirací pro zakřivení hyperboloidní struktury které lze postavit pomocí mřížoví přímých prvků, jmenovitě:
- Hyperbolické paraboloidy, jako např sedlové střechy.
- Hyperboloidy jednoho listu, například chladicí věže a nějaký odpadkové koše.
The RM-81 Agena raketový motor zaměstnán rovně chladicí kanály které byly vyloženy v ovládaném povrchu a vytvořily hrdlo tryska sekce.
Chlazení hyperbolické věže na Elektrárna Didcot, SPOJENÉ KRÁLOVSTVÍ; povrch lze ovládat dvojnásobně.
Hyperboloid Přístavní věž v Kóbe, Kobe, Japonsko, s dvojím rozhodnutím.
Hyperboloidní vodárenská věž, 1896 palců Nižnij Novgorod.
The mřížka z Shukhov Tower v Moskvě, jejichž úseky jsou ovládány dvojnásobně.
Vesnický kostel v Selo ve Slovinsku: střecha (kónická) i zeď (válcová) jsou povrchy s pravidly.
A hyperbolický paraboloid střecha Warszawa Ochota nádraží v Varšava, Polsko.
Vládl kónický klobouk.
Vlnité střešní tašky ovládané rovnoběžnými čarami v jednom směru a sinusový v kolmém směru
Stavba rovinného povrchu vládnutím (potěr ) beton
Reference
- ^ G. Farin: Křivky a povrchy pro počítačově podporovaný geometrický design, Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7, str. 250
- ^ W. Wunderlich: Über ein abwickelbares Möbiusband„Monatshefte für Mathematik 66, 1962, S. 276-289.
- ^ W. Kühnel: Diferenciální geometrie, str. 58–60
- ^ G. Farin: str. 380
- ^ E. Hartmann: Geometrie a algoritmy pro CAD, přednáška, TU Darmstadt, s. 113
- ^ Tang, Bo, Wallner, Pottmann: Interaktivní návrh rozvinutelných povrchů, ACM Trans. Graf. (MĚSÍC 2015), DOI: 10.1145 / 2832906
- ^ Snezana Lawrence: Vývojové plochy: jejich historie a aplikace, v Nexus Network Journal 13 (3) · říjen 2011, doi:10.1007 / s00004-011-0087-z
- Do Carmo, Manfredo P.: Diferenciální geometrie křivek a povrchů, Prentice-Hall; 1. vydání, 1976 ISBN 978-0132125895
- Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M .; Van de Ven, Antonius (2004), Kompaktní komplexní povrchy, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Berlín, doi:10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, PAN 2030225
- Beauville, Arnaud (1996), Složité algebraické povrchy, London Mathematical Society Student Texts, 34 (2. vyd.), Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511623936, ISBN 978-0-521-49510-3, PAN 1406314
- Edge, W. L. (1931), Teorie ovládaných povrchů, Cambridge University Press - prostřednictvím Internetový archiv. Posouzení: Bulletin of the American Mathematical Society 37 (1931), 791-793, doi:10.1090 / S0002-9904-1931-05248-4
- Fuchs, D .; Tabachnikov, Serge (2007), „16.5 Neexistují žádné nerovinné trojnásobně ovládané povrchy“, Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics, American Mathematical Society, str. 228, ISBN 9780821843161.
- Li, Ta-ch'ien (ed.) (2011), Problémy a řešení v matematice, 3103 (2. vyd.), Světová vědecká nakladatelská společnostCS1 maint: další text: seznam autorů (odkaz).
- Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometrie a představivost (2. vyd.), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8.
- Iskovskikh, V.A. (2001) [1994], "Vládl povrch", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Sharp, John (2008), D-formuláře: překvapivé nové 3D tvary z plochých zakřivených tvarůTarquin, ISBN 978-1-899618-87-3. Recenze: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230, doi:10.1080/17513470903332913