Harmonický morfismus - Harmonic morphism
V matematice, a harmonický morfismus je (plynulá) mapa mezi Riemannovy rozdělovače který stáhne zpět se skutečnou hodnotou harmonické funkce na codomain na harmonické funkce v doméně. Harmonické morfismy tvoří zvláštní třídu harmonické mapy tj. ty, které jsou horizontálně (slabě) konformní.[1]
V místních souřadnicích na a na , harmoničnost z je vyjádřena nelineární Systém
kde a jsou Christoffel symboly na a , resp. The horizontální konformita darováno
kde konformní faktor je spojitá funkce zvaná dilatace. Harmonické morfismy jsou tedy řešením nelineární nadměrně určené systémy z parciální diferenciální rovnice, určeno geometrickými údaji rozdělovače zapojen. Z tohoto důvodu je obtížné je najít a nemají žádnou obecnou teorii existence, a to ani lokálně.
Složitá analýza
Když codomain z je povrch, systém parciální diferenciální rovnice s čím máme co do činění, je invariantní při konformních změnách metriky . To znamená, že alespoň pro místní studie codomain lze zvolit jako složité letadlo s jeho standardní plochou metrikou. V této situaci má komplexní hodnotu funkce je harmonický morfismus právě tehdy
a
To znamená, že hledáme dva skutečné hodnoty harmonické funkce s přechody které jsou v každém bodě kolmé a mají stejnou normu. To ukazuje, že harmonické morfismy s komplexní hodnotou z Riemannovy rozdělovače zevšeobecnit holomorfní funkce z Rozdělovače Kähler a mají mnoho z jejich velmi zajímavých vlastností. Na teorii harmonických morfismů lze tedy pohlížet jako na zobecnění komplexní analýza.[1]
Minimální povrchy
v diferenciální geometrie, jeden má zájem o konstrukci minima dílčí potrubí daného okolního prostoru . Harmonické morfismy jsou pro tento účel užitečnými nástroji. To je způsobeno skutečností, že každá běžná vláknina takové mapy s hodnotami v a povrch je minimální podmanif domény s kódovou dimenzí 2.[1] To dává atraktivní způsob výroby celých rodin minimální povrchy ve 4-dimenzionálním rozdělovače , zejména, homogenní prostory, jako Lež skupiny a symetrické prostory.[Citace je zapotřebí ]
Příklady
- Identita a konstantní mapy jsou harmonické morfizmy.
- Holomorfní funkce v složité letadlo jsou harmonické morfismy.
- Holomorfní funkce v složitý vektorový prostor jsou harmonické morfismy.
- Holomorfní mapy z Rozdělovače Kähler s hodnotami v a Riemannův povrch jsou harmonické morfismy.
- The Hopfovy mapy , a jsou harmonické morfismy.
- Pro kompaktní Lieovy skupiny standardní Riemannian fibrace je harmonický morfismus.
- Riemannovy ponoření s minimem vláken jsou harmonické morfismy.
Reference
- ^ A b C „Harmonické morfismy mezi Riemannovými rozdělovači“. Oxford University Press.
externí odkazy
- Bibliografie harmonických morfismů, které nabízí Sigmundur Gudmundsson