Znásobte periodický minimální povrch - Triply periodic minimal surface - Wikipedia

Povrch Schwarz H.

v diferenciální geometrie, a trojnásobný periodický minimální povrch (TPMS) je minimální povrch v ℝ3 to je neměnné pod hodností 3 mříž překladů.

Tyto povrchy mají symetrie a krystalografická skupina. Četné příklady jsou známé pro kubické, čtyřúhelníkový, kosodélník, a ortorombický symetrie. Monoklinický a triclinic příklady určitě existují, ale ukázalo se, že je obtížné je parametrizovat.[1]

TPMS jsou relevantní v přírodních vědách. TPMS byly pozorovány jako biologické membrány,[2] tak jako blokové kopolymery,[3] ekvipotenciální povrchy v krystalech[4] Zajímali se také o architekturu, design a umění.

Vlastnosti

Téměř všechny studované TPMS jsou bez průniků (tj. vložený v ℝ3): z matematického hlediska jsou nejzajímavější (protože protínající se povrchy jsou triviálně hojné).[5]

Všechny připojené TPMS mají rod ≥ 3,[6] a v každé mříži existují orientovatelné vestavěné TPMS každého rodu ≥3.[7]

Integrované TPMS jsou orientovatelné a rozdělují prostor na dva nesouvislé dílčí svazky (labyrinty). Pokud jsou shodné, říká se, že povrch je povrchem rovnováhy.[8]

Dějiny

Povrch Schwarz P.

První příklady TPMS byly povrchy popsané Schwarzem v roce 1865, následovaný povrch popsal jeho student E. R. Neovius v roce 1883.[9][10]

V roce 1970 Alan Schoen přišel s 12 novými TPMS založenými na kostrových grafech překlenujících krystalografické buňky.[11][12] Zatímco Schoenovy povrchy se staly populárními v přírodních vědách, konstrukce nebyla vhodná pro důkaz matematické existence a zůstala v matematice z velké části neznámá, dokud H. Karcher neprokázal jejich existenci v roce 1989.[13]

Použitím konjugované povrchy bylo nalezeno mnoho dalších povrchů. Zatímco Weierstrassova zastoupení jsou známé pro jednodušší příklady, nejsou známy pro mnoho povrchů. Místo toho metody z Diskrétní diferenciální geometrie jsou často používány.[5]

Rodiny

Klasifikace TPMS je otevřeným problémem.

TPMS často přicházejí v rodinách, které se mohou neustále navzájem deformovat. Meeks našel explicitní rodinu 5 parametrů pro rod 3 TPMS, která obsahovala všechny tehdy známé příklady povrchů rodu 3 kromě gyroidu.[6] Členové této rodiny mohou být průběžně deformováni do sebe navzájem, přičemž zůstávají součástí procesu (i když se mřížka může měnit). The gyroid a lidinoid jsou každý uvnitř samostatné rodiny 1 parametrů.[14]

Dalším přístupem ke klasifikaci TPMS je zkoumání jejich vesmírných skupin. U ploch obsahujících čáry lze vyčíslit možné hraniční polygony, které poskytují klasifikaci.[8][15]

Zobecnění

Periodické minimální povrchy mohou být konstruovány v S3[16] a H3.[17]

Je možné zobecnit rozdělení prostoru na labyrinty a najít trojnásobné periodické (ale možná rozvětvené) minimální povrchy, které rozdělují prostor na více než dva dílčí svazky.[18]

Kvaziperiodické minimální plochy byly konstruovány v ℝ2×S1.[19] Bylo navrženo, ale nebylo prokázáno, že minimální povrchy s a kvazikrystalický objednat v ℝ3 existovat.[20]

Externí galerie obrázků

  • Galerie TPMS od Kena Brakkeho [3]
  • TPMS v archivu minimálního povrchu [4]
  • Ztrojnásobte periodické povrchy minimální rovnováhy s kubickou symetrií [5]
  • Galerie pravidelných minimálních povrchů [6]
  • 3-periodické minimální povrchy bez samovolných křižovatek [7]

Reference

  1. ^ http://epinet.anu.edu.au/mathematics/minimal_surfaces
  2. ^ Deng, Yuru; Mieczkowski, Mark (1998). „Trojrozměrná periodická struktura kubické membrány v mitochondriích améb Chaos carolinensis“. Protoplasma. Springer Science and Business Media LLC. 203 (1–2): 16–25. doi:10.1007 / bf01280583. ISSN  0033-183X.
  3. ^ Jiang, Shimei; Göpfert, Astrid; Abetz, Volker (2003). "Nové morfologie blokových kopolymerních směsí pomocí vodíkových vazeb". Makromolekuly. Americká chemická společnost (ACS). 36 (16): 6171–6177. doi:10.1021 / ma0342933. ISSN  0024-9297.
  4. ^ Mackay, Alan L. (1985). "Periodické minimální povrchy". Physica B + C. Elsevier BV. 131 (1–3): 300–305. doi:10.1016/0378-4363(85)90163-9. ISSN  0378-4363.
  5. ^ A b Karcher, Hermann; Polthier, Konrad (16. 9. 1996). "Konstrukce trojnásobně periodických minimálních ploch" (PDF). Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. Řada A: Matematické, fyzikální a technické vědy. Královská společnost. 354 (1715): 2077–2104. arXiv:1002.4805. doi:10.1098 / rsta.1996.0093. ISSN  1364-503X.
  6. ^ A b William H. Meeks, III. Geometrie a konformní struktura trojnásobných periodických minimálních povrchů v R3. Disertační práce, University of California, Berkeley, 1975.
  7. ^ Traizet, M. (2008). "Na rodu trojnásobných periodických minimálních ploch" (PDF). Journal of Differential Geometry. International Press of Boston. 79 (2): 243–275. doi:10.4310 / jdg / 1211512641. ISSN  0022-040X.
  8. ^ A b [1]
  9. ^ H. A. Schwarz, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Springer, Berlín, 1933.
  10. ^ E. R. Neovius, „Bestimmung zweier spezieller periodischer Minimal Flachen“, Akad. Abhandlungen, Helsingfors, 1883.
  11. ^ Alan H. Schoen, Nekonečné periodické minimální povrchy bez samovolných křižovatek, Technická poznámka NASA TN D-5541 (1970)„Nekonečné periodické minimální povrchy bez samovolných křižovatek od Alana H. Schoena“ (PDF). Archivováno (PDF) od originálu na 2018-04-13. Citováno 2019-04-12.
  12. ^ „Trojnásobně periodické minimální povrchy od Alana H. Schoena“. Archivováno od originálu na 2018-10-22. Citováno 2019-04-12.
  13. ^ Karcher, Hermann (05.03.1989). "Trojnásobně periodické minimální povrchy Alana Schoena a jejich konstantní průměrní zakřivení společníci". Manuscripta Mathematica. 64 (3): 291–357. doi:10.1007 / BF01165824.
  14. ^ Adam G. Weyhaupt. Nové rodiny vložených ztrojnásobují periodické minimální povrchy rodu tři v euklidovském prostoru. Disertační práce, Indiana University, 2006
  15. ^ Fischer, W .; Koch, E. (1996-09-16). Msgstr "Překlenutí minimálních ploch". Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. Řada A: Matematické, fyzikální a technické vědy. Královská společnost. 354 (1715): 2105–2142. doi:10.1098 / rsta.1996.0094. ISSN  1364-503X.
  16. ^ Karcher, H .; Pinkall, U .; Sterling, I. (1988). "Nové minimální povrchy v S3". Journal of Differential Geometry. International Press of Boston. 28 (2): 169–185. doi:10.4310 / jdg / 1214442276. ISSN  0022-040X.
  17. ^ K. Polthier. Nové periodické minimální povrchy v h3. V G. Dziuk, G. Huisken, a J. Hutchinson, redaktoři, Teoretické a numerické aspekty geometrických variačních problémů, svazek 26, strany 201–210. CMA Canberra, 1991.
  18. ^ Góźdź, Wojciech T .; Hołyst, Robert (01.11.1996). „Znásobte periodické povrchy a znásobte spojité struktury z Landauova modelu mikroemulzí“. Fyzický přehled E. Americká fyzická společnost (APS). 54 (5): 5012–5027. doi:10,1103 / physreve. 54,5012. ISSN  1063-651X. PMID  9965680.
  19. ^ Laurent Mazet, Martin Traizet, Kvaziperiodický minimální povrch, Commentarii Mathematici Helvetici, str. 573–601, 2008 [2]
  20. ^ Sheng, Qing; Elser, Veit (01.04.1994). "Kvazikrystalické minimální povrchy". Fyzický přehled B. Americká fyzická společnost (APS). 49 (14): 9977–9980. doi:10.1103 / fyzrevb.49,9977. ISSN  0163-1829. PMID  10009804.