Konstantní střední zakřivení povrchu - Constant-mean-curvature surface

Nodoid, povrch s konstantním středním zakřivením

Unduloid, povrch s konstantním středním zakřivením

v diferenciální geometrie, povrchy s konstantní střední křivkou (CMC) jsou plochy s konstantou střední zakřivení.^[1][2] To zahrnuje minimální povrchy jako podmnožina, ale obvykle se s nimi zachází jako se zvláštním případem.

Všimněte si, že tyto povrchy se obecně liší od konstant Gaussovo zakřivení povrchy, s důležitou výjimkou koule.

Dějiny

V roce 1841 Delaunay dokázal, že jediný rotační plochy s konstantním středním zakřivením byly povrchy získané otáčením rulety kuželoseček. To jsou rovina, válec, koule, katenoid, unduloidní a nodoid.^[3]

V roce 1853 J. H. Jellet ukázal, že pokud ${ displaystyle S}$ je kompaktní povrch ve tvaru hvězdy v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ s konstantním středním zakřivením, pak je to standardní koule.^[4] Následně A. D. Alexandrov dokázal, že kompaktní vložený povrch v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ s konstantním středním zakřivením ${ displaystyle H neq 0}$ musí to být koule.^[5] Na základě toho H. Hopf v roce 1956 se domníval, že jakýkoli ponořený kompaktní orientovatelný konstantní střední zakřivení hyperplochy v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$musí být standardně vložený ${ displaystyle n-1}$ koule. Tato domněnka byla vyvrácena v roce 1982 Wu-Yi Hsiangem pomocí protipříkladu v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$. V roce 1984 Henry C. Wente postavil Wente torus, ponoření do ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ a torus s konstantním středním zakřivením.^[6]

Až do tohoto okamžiku se zdálo, že povrchy CMC jsou vzácné; nové techniky přinesly nepřeberné množství příkladů.^[7] Zejména se zdá, že metody lepení umožňují libovolně kombinovat povrchy CMC.^[8][9] Delaunayovy povrchy lze také kombinovat s ponořenými „bublinami“, které si zachovávají své vlastnosti CMC.^[10]

Stejné velikosti krku

Nerovné velikosti krku

S nodoidním koncem

Triunduloidy s různými velikostmi krku. Jak se velikosti krku mění, mění se asymptotické směry.

Meeks ukázal, že neexistují žádné vložené povrchy CMC s jediným koncem ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$.^[11] Korevaar, Kusner a Solomon prokázali, že kompletní vložený povrch CMC bude mít konce asymptotické až unduloidní.^[12] Každý konec nese ${ displaystyle n (2 pi -n)}$ „síla“ podél asymptotické osy unduloidu (kde n je obvod krku), jejíž součet musí být vyvážen, aby existoval povrch. Současná práce zahrnuje klasifikaci rodin vložených povrchů CMC z hlediska jejich modulové prostory.^[13] Zejména pro ${ displaystyle k geq 3}$ koplanární k-unduloidy rodu 0 uspokojí ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {k} n_ {i} leq (k-1) pi}$ pro liché k, a ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {k} n_ {i} leq k pi}$ dokoncek. Nejvíce k - 2 konce mohou být válcové.^[7]

Generační metody

Reprezentační vzorec

Stejně jako u minimálních ploch existuje úzká vazba na harmonické funkce. Orientovaný povrch ${ displaystyle S}$ v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ má konstantní střední zakřivení právě tehdy, když je Gaussova mapa je harmonická mapa.^[14] Reprezentativní vzorec společnosti Kenmotsu^[15] je protějškem k Weierstrass – Enneperova parametrizace minimálních ploch:

Nechat ${ displaystyle V}$ být otevřenou jednoduše připojenou podmnožinou ${ displaystyle mathbb {C}}$ a ${ displaystyle H}$ být libovolná nenulová reálná konstanta. Předpokládat ${ displaystyle phi: V rightarrow mathbb {C}}$ je harmonická funkce do Riemannovy sféry. Li ${ displaystyle phi _ { bar {z}} neq 0}$ pak ${ displaystyle X: V rightarrow R}$ definován

${ displaystyle X (z) = Re int _ {z_ {0}} ^ {z} X_ {z} (z) , dz}$

s

${ displaystyle X_ {z} (z) = { frac {-1} {H (1+ phi (z) { bar { phi}} (z)) ^ {2}}} vlevo { (1- phi (z) ^ {2}, i (1+ phi (z) ^ {2}), 2 phi (z)) { frac { bar { částečný phi}} { částečný { bar {z}}}} (z) doprava }}$

pro ${ displaystyle z ve V}$ je pravidelný povrch mající ${ displaystyle phi}$ jako Gaussova mapa a střední zakřivení ${ displaystyle H}$.

Pro ${ displaystyle phi (z) = - 1 / { bar {z}}}$ a ${ displaystyle H = 1}$ tím se vytvoří koule. ${ displaystyle phi (z) = - e ^ {ix}}$ a ${ displaystyle H = 1/2}$ dává válec kde ${ displaystyle z = x + iv}$.

Konjugovaná metoda sestřenice

Lawson ukázal v roce 1970, že každý CMC povrch v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$má izometrický "bratranec" minimální povrch v ${ displaystyle mathbb {S} ^ {3}}$.^[16][17] To umožňuje konstrukce začínající od geodetických polygonů v ${ displaystyle mathbb {S} ^ {3}}$, které jsou překlenuty minimálním záplatou, kterou lze odrazem rozšířit na úplnou plochu, a poté se přeměnit na povrch CMC.

CMC Tori

Hitchin, Pinkall, Sterling a Bobenko ukázali, že všechna konstantní střední zakřivení ponoření 2-torusu do vesmírných forem ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}, mathbb {S} ^ {3}}$ a ${ displaystyle mathbb {H} ^ {3}}$ lze popsat v čistě algebro-geometrických datech. To lze rozšířit na podmnožinu ponorů CMC roviny, které jsou konečného typu. Přesněji řečeno, existuje explicitní bijekce mezi ponořeními CMC ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ do ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}, mathbb {S} ^ {3}}$ a ${ displaystyle mathbb {H} ^ {3}}$a spektrální data formuláře ${ displaystyle ( Sigma, lambda, rho, lambda _ {1}, lambda _ {2}, L)}$ kde ${ displaystyle Sigma}$ je hyperelliptická křivka zvaná spektrální křivka, ${ displaystyle lambda}$ je meromorfní funkce na ${ displaystyle Sigma}$, ${ displaystyle lambda _ {1}}$ a ${ displaystyle lambda _ {2}}$ jsou body na ${ displaystyle mathbb {C} setminus {0 }}$, ${ displaystyle rho}$ je antiholomorfní involuce a ${ displaystyle L}$ je řádek svazku na ${ displaystyle Sigma}$ dodržování určitých podmínek.^[18][19][20]

Diskrétní numerické metody

Diskrétní diferenciální geometrie lze použít k výrobě aproximací povrchů CMC (nebo diskrétních protějšků), obvykle minimalizací vhodné energetické funkce.^[21][22]

Aplikace

Povrchy CMC jsou pro reprezentace přirozené mýdlové bubliny, protože mají zakřivení odpovídající nenulovému tlakovému rozdílu.

Kromě makroskopických povrchů bublin jsou povrchy CMC relevantní pro tvar rozhraní plyn-kapalina na a superhydrofobní povrch.^[23]

Jako ztrojnásobte periodické minimální povrchy byl zájem o periodické povrchy CMC jako modely pro blokové kopolymery kde různé komponenty mají nenulovou mezipovrchovou energii nebo napětí. Byly zkonstruovány analogové CMC k periodickým minimálním povrchům, které vytvářejí nerovné dělení prostoru.^[24][25] Struktury CMC byly pozorovány v ABC trojblokových kopolymerech.^[26]

V architektuře jsou povrchy CMC relevantní pro vzduchem podporované konstrukce jako jsou nafukovací dómy a ohrazení, jakož i zdroj tekoucích organických tvarů.^[27]

Viz také

• Dvojitá bublina domněnka
• Volný povrch
• Minimální povrch

Reference

externí odkazy

• Povrchy CMC na projektu vědecké grafiky [9]
• Galerie povrchů GeometrieWerkstatt [10]
• GANG galerie povrchů CMC [11]
• Noid, software pro výpočet n-neidní povrchy CMC [12]