Young – Laplaceova rovnice - Young–Laplace equation - Wikipedia

Optické tenzometry používají Young-Laplaceovu rovnici k automatickému určování povrchového napětí kapaliny na základě tvaru kapky přívěsku.

v fyzika, Young – Laplaceova rovnice (/ləˈstrlɑːs/) je nelineární parciální diferenciální rovnice který popisuje kapilární tlak rozdíl mezi napříč rozhraním mezi dvěma statické kapaliny, jako voda a vzduch kvůli fenoménu povrchové napětí nebo napětí na stěně, i když jeho použití je použitelné pouze za předpokladu, že stěna je velmi tenká. Young-Laplaceova rovnice souvisí tlakový rozdíl s tvarem povrchu nebo stěny a je zásadně důležitý při studiu statické elektřiny. kapilární povrchy. Je to prohlášení o normální stres zůstatek pro statické kapaliny, které se setkávají na rozhraní, kde je rozhraní považováno za a povrch (nulová tloušťka):

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Delta p & = - gamma nabla cdot { hat {n}} & = - gamma H_ {f} & = - gamma left ({ frac {1} {R_ {1}}} + { frac {1} {R_ {2}}} vpravo) end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle Delta p}$ je Laplaceův tlak, tlakový rozdíl na rozhraní kapaliny (vnější tlak minus vnitřní tlak), ${ displaystyle gamma}$ je povrchové napětí (nebo napětí na stěně ), ${ displaystyle { hat {n}}}$ je jednotka normální směřující z povrchu, ${ displaystyle H_ {f}}$ je střední zakřivení (definováno v části s názvem "Střední zakřivení v mechanice tekutin") a ${ displaystyle R_ {1}}$ a ${ displaystyle R_ {2}}$ jsou hlavní poloměry zakřivení. Všimněte si, že je uvažováno pouze normální napětí, je to proto, že to bylo ukázáno^[1] že statické rozhraní je možné pouze při absenci tangenciálního napětí.

Rovnice je pojmenována po Thomas Young, který rozvinul kvalitativní teorii povrchového napětí v roce 1805, a Pierre-Simon Laplace který v následujícím roce dokončil matematický popis. Někdy se jí také říká Young – Laplaceova – Gaussova rovnice Carl Friedrich Gauss sjednotil práci Younga a Laplaceova v roce 1830, přičemž odvodil diferenciální rovnici a okrajové podmínky pomocí Johann Bernoulli je virtuální práce zásady.^[2]

Mýdlové filmy

Pokud je tlakový rozdíl nulový, jako v mýdlovém filmu bez gravitace, rozhraní bude mít tvar a minimální povrch.

Emulze

Rovnice také vysvětluje energii potřebnou k vytvoření emulze. K vytvoření malých, vysoce zakřivených kapiček emulze je zapotřebí energie navíc k překonání velkého tlaku, který je výsledkem jejich malého poloměru.

Laplaceův tlak, který je větší u menších kapiček, způsobuje difúzi molekul z nejmenších kapiček v emulzi a řídí zhrubnutí emulze prostřednictvím Ostwaldovo zrání.^{[Citace je zapotřebí ]}

Kapilární tlak v trubici

Sférický meniskus s úhlem smáčení menším než 90 °

V dostatečně úzkém (tj. Nízkém Číslo dluhopisu ) trubka kruhového průřezu (poloměr A), rozhraní mezi dvěma tekutinami tvoří a meniskus to je část povrchu koule s poloměrem R. Tlakový skok přes tento povrch souvisí s poloměrem a povrchovým napětím γ o

${ displaystyle Delta p = { frac {2 gamma} {R}}.}$

To lze ukázat napsáním Young – Laplaceovy rovnice ve sférické formě s a kontaktní úhel okrajová podmínka a také předepsaná výšková okrajová podmínka, řekněme, na dně menisku. Řešení je částí koule a řešení bude existovat pouze pro výše uvedený tlakový rozdíl. To je významné, protože neexistuje jiná rovnice nebo zákon, který by specifikoval tlakový rozdíl; existence roztoku pro jednu konkrétní hodnotu tlakového rozdílu to předepisuje.

Poloměr koule bude pouze funkcí funkce kontaktní úhel, θ, což zase závisí na přesných vlastnostech kapalin a materiálu nádoby, se kterou dotyčné kapaliny přicházejí do styku / na rozhraní:

${ displaystyle R = { frac {a} { cos theta}}}$

takže tlakový rozdíl lze zapsat jako:

${ displaystyle Delta p = { frac {2 gamma cos theta} {a}}.}$

Ilustrace vzestupu kapiláry. Červená = kontaktní úhel menší než 90 °; modrá = kontaktní úhel větší než 90 °

V zájmu zachování hydrostatická rovnováha, indukované kapilární tlak je vyvážen změnou výšky, h, které mohou být kladné nebo záporné, v závislosti na tom, zda je úhel smáčení menší než nebo větší než 90 °. Pro tekutinu hustota ρ:

${ displaystyle h = { frac {2 gamma cos theta} { rho ga}}.}$

- kde G je gravitační zrychlení. Toto je někdy známé jako Jurinův zákon nebo Jurinová výška^[3] po James Jurin který studoval účinek v roce 1718.^[4]

Pro skleněnou trubici naplněnou vodou vzduch na hladina moře:

- a tak výška vodního sloupce je dána vztahem:

${ displaystyle h přibližně {{1,4 krát 10 ^ {- 5}} přes a}}$ m.

U trubky o šířce 2 mm (poloměr 1 mm) by tedy voda vzrostla o 14 mm. U kapiláry s poloměrem 0,1 mm by však voda vzrostla o 14 cm (asi 6 palce ).

Kapilární akce obecně

Obecně platí, že pro a volný povrch a kde existuje aplikovaný „přetlak“, Δstr, na rozhraní v rovnováze existuje rovnováha mezi aplikovaným tlakem, hydrostatický tlak a účinky povrchového napětí. The Young – Laplace rovnice se stává:

${ displaystyle Delta p = rho gh- gamma vlevo ({ frac {1} {R_ {1}}} + { frac {1} {R_ {2}}} vpravo)}$

Rovnice může být nedimenzovaný pokud jde o jeho charakteristické délkové měřítko, délka kapiláry:

${ displaystyle L_ {c} = { sqrt { frac { gamma} { rho g}}},}$

- a charakteristický tlak:

${ displaystyle p_ {c} = { frac { gamma} {L_ {c}}} = { sqrt { gamma rho g}}.}$

Pro čistou vodu na standardní teplota a tlak, délka kapiláry je ~ 2 mm.

Nerozměrná rovnice se pak stává:

${ displaystyle h ^ {*} - Delta p ^ {*} = left ({ frac {1} {{R_ {1}} ^ {*}}} + { frac {1} {{R_ { 2}} ^ {*}}} vpravo).}$

Tvar povrchu je tedy určen pouze jedním parametrem, přetlakem kapaliny, Δstr^* a měřítko povrchu je dáno délka kapiláry. Řešení rovnice vyžaduje počáteční podmínku pro polohu a gradient povrchu v počátečním bodě.

Pro přetlak Δp se vytvoří závěsná kapka^*= 3 a počáteční stav r₀=10⁻⁴, z₀=0, dz/dr=0

Kapalný můstek se vyrábí pro přetlak Δp^*= 3,5 a počáteční stav r₀=0.25⁻⁴, z₀=0, dz/dr=0

Axismetmetrické rovnice

(Nedimenzionální) tvar, r(z) z osově souměrné povrch lze najít dosazením obecných výrazů za zakřivení dát hydrostatický Young – Laplaceovy rovnice:^[5]

${ displaystyle { frac {r ''} {(1 + r '^ {2}) ^ { frac {3} {2}}}} - { frac {1} {r (z) { sqrt {1 + r '^ {2}}}}} = z- Delta p ^ {*}}$

${ displaystyle { frac {z ''} {(1 + z '^ {2}) ^ { frac {3} {2}}}} + { frac {z'} {r (1 + z ' ^ {2}) ^ { frac {1} {2}}}} = Delta p ^ {*} - z (r).}$

Aplikace v medicíně

v lék to je často odkazoval se na jako Laplaceův zákon, používaný v kontextu kardiovaskulární fyziologie,^[6] a také fyziologie dýchání, ačkoli druhé použití je často chybné.^[7]

Dějiny

Francis Hauksbee provedl některá z prvních pozorování a experimentů v roce 1709^[8] a ty byly v roce 1718 opakovány James Jurin kdo pozoroval, že výška kapaliny v kapilárním sloupci byla funkcí pouze plochy průřezu na povrchu, nikoli jiných rozměrů sloupce.^[4][9]

Thomas Young položil základy rovnice do své práce z roku 1804 Esej o soudržnosti tekutin^[10] kde popsal popisně principy, jimiž se řídí kontakt mezi tekutinami (spolu s mnoha dalšími aspekty chování tekutin). Pierre Simon Laplace následoval toto v Mécanique Céleste^[11] s výše uvedeným formálním matematickým popisem, který symbolicky reprodukoval vztah popsaný dříve Youngem.

Laplace přijal myšlenku, kterou ve své knize navrhl Hauksbee Fyzikálně-mechanické experimenty (1709), že tento jev byl způsoben silou přitažlivosti, která byla necitlivá na rozumných vzdálenostech.^[12][13] Část, která se zabývá akcí a pevný na kapalný a vzájemné působení dvou kapalin nebylo důkladně zpracováno, ale nakonec bylo dokončeno Carl Friedrich Gauss.^[14] Franz Ernst Neumann (1798-1895) později vyplnil několik podrobností.^[15][9][16]

Reference

Bibliografie

• Maxwell, James Clerk; Strutt, John William (1911). „Kapilární akce“. V Chisholm, Hugh (ed.). Encyklopedie Britannica. 5 (11. vydání). Cambridge University Press. str. 256–275.
• Batchelor, G. K. (1967) Úvod do dynamiky tekutin, Cambridge University Press
• Jurin, J. (1716). „Popis některých experimentů před Královskou společností; s vyšetřováním příčiny vzestupu a zadržování vody v kapilárách“. Filozofické transakce královské společnosti. 30 (351–363): 739–747. doi:10.1098 / rstl.1717.0026. S2CID  186211806.
• Tadros T. F. (1995) Povrchově aktivní látky v agrochemikáliích, Surfactant Science series, sv. 54, Dekker

externí odkazy

Měření povrchového napětí pomocí Young-Laplaceovy rovnice