Spektrální sekvence Lyndon – Hochschild – Serre - Lyndon–Hochschild–Serre spectral sequence

v matematika, zejména v oblastech skupinová kohomologie, homologická algebra a teorie čísel, Lyndonova spektrální sekvence nebo Spektrální sekvence Hochschild – Serre je spektrální sekvence týkající se skupinové kohomologie normální podskupiny N a skupina podílů G/N ke kohomologii celé skupiny G. Spektrální sekvence je pojmenována po Roger Lyndon, Gerhard Hochschild, a Jean-Pierre Serre.

Prohlášení

Přesné prohlášení je následující:

Nechat G být skupina a N být normální podskupina. Ten zajišťuje, že podíl G/N je také skupina. Nakonec nechte A být G-modul. Pak existuje spektrální sekvence cohomologického typu

${displaystyle H ^ {p} (G / N, H ^ {q} (N, A)) o H ^ {p + q} (G, A)}$

a existuje spektrální sekvence homologického typu

${displaystyle H_ {p} (G / N, H_ {q} (N, A)) o H_ {p + q} (G, A)}$.

Stejné prohlášení platí, pokud G je profinitní skupina, N je Zavřeno normální podskupina a H * označuje spojitou kohomologii.

Příklad: kohomologie skupiny Heisenberg

Spektrální sekvenci lze použít k výpočtu homologie souboru Skupina Heisenberg G s integrálními položkami, tj. maticemi formuláře

${displaystyle left ({egin {array} {ccc} 1 & a & b 0 & 1 & c 0 & 0 & 1end {array}} ight), a, b, cin mathbb {Z}.}$

Tato skupina je a centrální prodloužení

${displaystyle 0 o mathbb {Z} o G o mathbb {Z} oplus mathbb {Z} o 0}$

s centrum ${displaystyle mathbb {Z}}$ odpovídající podskupině s A=C= 0. To ukazuje spektrální sekvence pro skupinovou homologii spolu s analýzou rozdílu v této spektrální sekvenci^[1]

${displaystyle H_ {i} (G, mathbb {Z}) = left {{egin {array} {cc} mathbb {Z} & i = 0,3 mathbb {Z} oplus mathbb {Z} & i = 1,2 0 & i> 3. konec {pole}} vpravo.}$

Příklad: kohomologie věncových produktů

Pro skupinu G, produkt věnce je rozšíření

${displaystyle 1 o G ^ {p} o Gwr mathbb {Z} / p o mathbb {Z} / p o 1.}$

Výsledná spektrální sekvence skupinové kohomologie s koeficienty v poli k,

${displaystyle H ^ {r} (mathbb {Z} / p, H ^ {s} (G ^ {p}, k)) Rightarrow H ^ {r + s} (Gwr mathbb {Z} / p, k), }$

je známo, že degeneruje na ${displaystyle E_ {2}}$-strana.^[2]

Vlastnosti

Přidružené pětidenní přesná sekvence je obvyklé přesná sekvence omezení inflace:

${displaystyle 0 o H ^ {1} (G / N, A ^ {N}) o H ^ {1} (G, A) o H ^ {1} (N, A) ^ {G / N} o H ^ {2} (G / N, A ^ {N}) o H ^ {2} (G, A).}$

Zobecnění

Spektrální sekvence je instancí obecnější Grothendieckova spektrální sekvence složení dvou odvozených funktorů. Vskutku, ${displaystyle H ^ {*} (G, -)}$ je odvozený funktor z ${displaystyle (-) ^ {G}}$ (tj. brát G-invarianty) a složení funktorů ${displaystyle (-) ^ {N}}$ a ${displaystyle (-) ^ {G / N}}$ je přesně ${displaystyle (-) ^ {G}}$.

Podobná spektrální sekvence existuje i pro skupinovou homologii, na rozdíl od skupinové homologie.^[3]

Reference

• Lyndon, Roger C. (1948), „The cohomology theory of group extensions“, Duke Mathematical Journal, 15 (1): 271–292, doi:10.1215 / S0012-7094-48-01528-2, ISSN  0012-7094 (s placenými stěnami)
• Hochschild, Gerhard; Serre, Jean-Pierre (1953), "Cohomology of group extensions", Transakce Americké matematické společnosti, 74 (1): 110–134, doi:10.2307/1990851, ISSN  0002-9947, JSTOR  1990851, PAN  0052438
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Kohomologie číselných polí, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4, PAN  1737196, Zbl  0948.11001