G-modul - G-module

The torus lze vyrobit abelianskou skupinu izomorfní s produktem kruhová skupina. Tato abelianská skupina je a Kleinova čtyřčlenná skupina -module, kde skupina působí odrazem v každém ze směrů souřadnic (zde znázorněno červenými a modrými šipkami protínajícími se u prvku identity).

v matematika, vzhledem k tomu, skupina G, a G-modul je abelianská skupina M na kterých G činy kompatibilní se strukturou abelianské skupiny na M. Tento široce použitelný pojem zobecňuje pojem a zastoupení G. Skupinová (ko) homologie poskytuje důležitou sadu nástrojů pro studium obecně G- moduly.

Termín G-modul se také používá pro obecnější představu o R-modul na kterých G působí lineárně (tj. jako skupina R-modul automorfismy ).

Definice a základy

Nechat G být skupina. A vlevo, odjet G-modul skládá se z^[1] abelianská skupina M společně s a akce skupiny vlevo ρ: G × M → M takhle

G·(A + b) = G·A + G·b

kde G·A označuje ρ (G,A). A že jo G-modul je definován podobně. Vzhledem k tomu, levice G-modul M, lze z něj udělat právo G-modul definováním A·G = G⁻¹·A.

A funkce F : M → N se nazývá a morfismus G- moduly (nebo a G-lineární mapanebo G-homomorfismus) pokud F je obojí skupinový homomorfismus a G-ekvivariant.

Sbírka levého (respektive pravého) G-moduly a jejich morfismy tvoří abelianská kategorie G-Mod (resp. Mod-G). Kategorie G-Mod (resp. Mod-G) lze identifikovat podle kategorie vlevo (resp. vpravo) ZG moduly, tj. s moduly přes skupinové vyzvánění Z[G].

A submodul a G-modul M je podskupina A ⊆ M která je stabilní při působení G, tj. G·A ∈ A pro všechny G ∈ G a A ∈ A. Vzhledem k tomu, submodul A z M, kvocientový modul M/A je kvocientová skupina s akcí G·(m + A) = G·m + A.

Příklady

Vzhledem ke skupině G, abelianská skupina Z je G-modul s triviální akce G·A = A.
Nechat M být množinou binární kvadratické formy F(X, y) = sekera² + 2bxy + cy² s A, b, C celá čísla a nechte G = SL (2, Z) (2 × 2 speciální lineární skupina přes Z). Definovat

{ displaystyle (g cdot f) (x, y) = f ((x, y) g ^ {t}) = f ((x, y) cdot { begin {bmatrix} alpha & gamma beta & delta end {bmatrix}}) = f ( alpha x + beta y, gamma x + delta y),}

kde

{ displaystyle g = { begin {bmatrix} alpha & beta gama & delta end {bmatrix}}}

a (X, y)G je násobení matic. Pak M je G-modul studoval Gauss.^[2] Opravdu, máme

{ displaystyle g (h (f (x, y)) = gf ((x, y) h ^ {t}) = f ((x, y) h ^ {t} g ^ {t}) = f ( (x, y) (gh) ^ {t}) = (gh) f (x, y).}

Li PROTI je reprezentace G přes pole K., pak PROTI je G-module (jedná se o přidanou abelianskou skupinu).

Topologické skupiny

Li G je topologická skupina a M je abelianská topologická skupina, pak a topologické G-modul je G-module, kde je akční mapa G×M → M je kontinuální (Kde topologie produktu je převzat G×M).^[3]

Jinými slovy topologická G-modul je abelianská topologická skupina M společně s průběžnou mapou G×M → M uspokojení obvyklých vztahů G(A + A') = ga + ga ', (gg ′)A = G(g'a) a 1A = A.

Poznámky

^ Curtis, Charles W.; Reiner, Irving (1962), Teorie reprezentace konečných skupin a asociativních algeber, John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore), ISBN 978-0-470-18975-7.
^ Kim, Myung-Hwan (1999), Integral Quadratic Forms and Lattices: Proceedings of the International Conference on Integral Quadratic Forms and Lattices, 15. – 19. Června 1998, Soulská národní univerzita, Korea, American Mathematical Soc.
^ D. Wigner (1973). „Algebraická kohomologie topologických skupin“. Trans. Amer. Matematika. Soc. 178: 83–93. doi:10.1090 / s0002-9947-1973-0338132-7.

Reference

Kapitola 6 z Weibel, Charles A. (1994). Úvod do homologické algebry. Cambridge studia pokročilé matematiky. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. PAN 1269324. OCLC 36131259.

[1] Curtis, Charles W.; Reiner, Irving (1962), Teorie reprezentace konečných skupin a asociativních algeber, John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore), ISBN 978-0-470-18975-7.

[2] Kim, Myung-Hwan (1999), Integral Quadratic Forms and Lattices: Proceedings of the International Conference on Integral Quadratic Forms and Lattices, 15. – 19. Června 1998, Soulská národní univerzita, Korea, American Mathematical Soc.

[3] D. Wigner (1973). „Algebraická kohomologie topologických skupin“. Trans. Amer. Matematika. Soc. 178: 83–93. doi:10.1090 / s0002-9947-1973-0338132-7.

[1]

[2]

[3]