v matematika, místní koeficienty je nápad od algebraická topologie, jakési půli cesty mezi teorie homologie nebo teorie cohomologie s koeficienty v obvyklém smyslu, v pevném abelianská skupina Aa obecně svazek kohomologie což, zhruba řečeno, umožňuje, aby se koeficienty lišily od bodu k bodu v a topologický prostor X. Takový koncept představil Norman Steenrod v roce 1943.[1]
Definice
Nechat X být topologický prostor. A místní systém (abelianských skupin / modulů / ...) na X je místně konstantní svazek (z abelianské skupiny /moduly...) zapnuto X. Jinými slovy, svazek je místní systém, pokud má každý bod otevřené sousedství takhle je stálý svazek.
Ekvivalentní definice
Cesty spojené prostory
Li X je spojeno s cestou, místní systém abelianských skupin má stejné vlákno L v každém bodě. Dát takový místní systém je stejné jako dát homomorfismus
a podobně pro místní systémy modulů, ... Mapa dává místnímu systému se nazývá monodromy zastoupení z .
Důkaz rovnocennosti
Vezměte místní systém a smyčka na X. Je snadné ukázat, že je zapnutý jakýkoli místní systém je konstantní. Například, je konstantní. To dává izomorfismus , tj. mezi L a sám. Naopak, vzhledem k homomorfismu , zvažte konstantní snop na univerzálním krytu z X. Sekce paluby transformace neměnné dává místní systém na X. Podobně balíček-transformace-ρ-equivariant sekce dát další místní systém na X: pro dostatečně malou otevřenou sadu U, je definován jako
kde je univerzální krytina.
To ukazuje, že (pro X path-connected) místní systém je přesně svazek, jehož návrat k univerzálnímu krytu X je konstantní svazek.
Silnější definice v nepřipojených prostorech
Další (silnější, neekvivalentní) definice zobecňující 2 a pracující pro nepřipojené X, je kovarianční funktor
ze základního grupoidu do kategorie modulů přes komutativní kruh . Typicky . Říká se to v každém okamžiku měli bychom přiřadit modul se zastoupením tak, aby tyto reprezentace byly kompatibilní se změnou základního bodu pro základní skupina.
Příklady
- Konstantní snopy. Například, . Toto je užitečný nástroj pro výpočet kohomologie od snopové kohomologie
- je izomorfní vůči singulární kohomologii .
- . Od té doby , existují - zapnuto mnoho lineárních systémů X, jeden daný zastoupením monodromy
- zasláním
- Vodorovné řezy vektorových svazků s plochým spojením. Li je vektorový svazek s plochým připojením , pak
- je místní systém.
- Například vezměte a triviální svazek. Sekce E jsou n-tuple funkcí na X, tak definuje ploché připojení na E, stejně jako pro libovolnou matici jednoformátů na X. Vodorovné části jsou pak
- tj. řešení lineární diferenciální rovnice .
- Li rozšiřuje na jeden formulář na výše bude také definovat lokální systém na od té doby bude triviální . Chcete-li tedy uvést zajímavý příklad, vyberte jeden s pólem v 0:
- v takovém případě pro ,
- An n- zakrytá krycí mapa je lokální systém s místně nastavenými sekcemi . Podobně svazek vláken s diskrétními vlákny je místní systém, protože každá cesta se jedinečně zvedá k danému výtahu svého základního bodu. (Definice se očividným způsobem přizpůsobuje tak, aby zahrnovala lokální systémy se stanovenou hodnotou).
- Místní systém k-vektorové mezery zapnuty X je stejný jako a k-lineární zastoupení skupiny .
- Li X je rozmanitost, místní systémy jsou stejné jako D-moduly, které jsou navíc koherentní jako Ó- moduly.
Pokud připojení není ploché, paralelní přenos vlákna kolem stahovatelné smyčky v X může poskytnout netriviální automorfismus vlákna v základním bodě X, takže není šance definovat lokálně konstantní svazek tímto způsobem.
The Spojení Gauss – Manin je velmi zajímavý příklad spojení, jehož vodorovné úseky se vyskytují při studiu variace Hodgeových struktur.
Zobecnění
Místní systémy mají mírné zobecnění na konstruovatelné svazky. Konstruktivní svazek na místně spojeném topologickém prostoru je svazek taková, že existuje stratifikace
kde je místní systém. Ty se obvykle nalézají pomocí kohomologie odvozeného dopředného pro nějakou spojitou mapu . Například když se podíváme na složité body morfismu
pak vlákna přes
jsou křivka hladké roviny daná vztahem , ale vlákna přes jsou . Vezmeme-li odvozené dopředu pak dostaneme konstruktivní svazek. Přes máme místní systémy
zatímco přes máme místní systémy
kde je rod rovinné křivky (což je ).
Aplikace
Kohomologie s lokálními koeficienty v modulu odpovídající orientační krytina lze použít k formulaci Poincaré dualita u neorientovatelných potrubí: viz Twisted Poincaré dualita.
Viz také
Reference
externí odkazy