Vytvoření třídy - Class formation

V matematice, a formace třídy je topologická skupina působící na a modul splnění určitých podmínek. Třídu formace představil Emil Artin a John Tate organizovat různé Galoisovy skupiny a moduly, které se objevují v teorie pole.

Definice

A formace je topologická skupina G spolu s topologií G-modul A na kterých G jedná nepřetržitě.

A vrstva E/F formace je dvojice otevřených podskupin E, F z G takhle F je konečná podskupina indexů E. Říká se tomu a normální vrstva -liF je normální podskupina Ea cyklická vrstva pokud je navíc skupina kvocientů cyklická E je podskupina G, pak A^E je definován jako prvky A stanoveno E.Píšeme

Hⁿ(E/F)

pro Skupina Tate cohomologyHⁿ(E/F, A^F) kdykoli E/F je normální vrstva. (Někteří autoři si myslí E a F jako pevná pole spíše než podskupina G, tak napište F/E namísto E/F.) V aplikacích, G je často absolutní Galoisova skupina pole, a zejména je profinitní a otevřené podskupiny proto odpovídají konečným rozšířením pole obsaženého v nějakém pevném oddělitelném uzávěru.

A formace třídy je takové formace pro každou normální vrstvu E/F

H¹(E/F) je triviální a

H²(E/F) je cyklický řádu |E/F|.

V praxi tyto cyklické skupiny jsou vybaveny kanonickými generátory u_E/F ∈ H²(E/F),volala základní třídy, které jsou vzájemně kompatibilní v tom smyslu, že omezení (tříd kohomologie) základní třídy je další základní třídou. Základní třídy jsou často považovány za součást struktury formace třídy.

Formace, která splňuje právě tuto podmínku H¹(E/F) = 1 se někdy nazývá a formace poleNapříklad pokud G je jakákoli konečná skupina působící na poli L a A = L^×, pak se jedná o formaci pole od Hilbertova věta 90.

Příklady

Nejdůležitější příklady formací tříd (uspořádané zhruba podle obtížnosti) jsou následující:

• Archimédova teorie místní třídy: Modul A je skupina nenulových komplexních čísel a G je buď triviální nebo je cyklickou skupinou řádu 2 generovanou komplexní konjugací.
• Konečná pole: Modul A je celá čísla (s triviálními G-akce) a G je absolutní Galoisova skupina konečného pole, která je izomorfní k profinitnímu dokončení celých čísel.
• Teorie polního pole charakteristiky str>0: Modul A je oddělitelné algebraické uzavření pole formální Laurentovy řady nad konečným polem a G je skupina Galois.
• Non-archimedean místní třída teorie pole charakteristiky 0: Modul A je algebraické uzavření pole str-adická čísla a G je skupina Galois.
• Globální třídní polní teorie charakteristik str>0: Modul A je svazek skupin ideál třídy oddělitelných konečných rozšíření některých funkční pole přes konečné pole a G je skupina Galois.
• Globální teorie pole třídy charakteristiky 0: Modul A je spojení skupin ideálních tříd algebraických číselných polí a G je Galoisova skupina racionálních čísel (nebo nějakého algebraického číselného pole), na která působí A.

Je snadné ověřit vlastnost vytváření třídy pro případ konečného pole a případ archimédského lokálního pole, ale zbývající případy jsou obtížnější. Většina tvrdé práce teorie třídního pole spočívá v prokázání, že se skutečně jedná o třídní formace. To se provádí v několika krocích, jak je popsáno v následujících částech.

První nerovnost

The první nerovnost teorie třídního pole uvádí, že

|H⁰(E/F)| ≥ |E/F|

pro cyklické vrstvy E/F.Obvykle se prokazuje pomocí vlastností Herbrandův kvocient, v přesnější podobě

|H⁰(E/F)| = |E/F|×|H¹(E/F)|.

Je poměrně jednoduché to dokázat, protože Herbrandův kvocient je snadné zjistit, protože je multiplikativní na krátkých přesných sekvencích a je 1 pro konečné moduly.

Asi před rokem 1950 byla první nerovnost známá jako druhá nerovnost a naopak.

Druhá nerovnost

Druhá nerovnost teorie třídního pole to říká

|H⁰(E/F)| ≤ |E/F|

pro všechny normální vrstvy E/F.

U místních polí tato nerovnost snadno vyplývá Hilbertova věta 90 společně s první nerovností a některými základními vlastnostmi skupinové kohomologie.

Druhá nerovnost byla poprvé prokázána pro globální pole Weberem pomocí vlastností řady L číselných polí, a to následovně. Předpokládejme, že vrstva E/F odpovídá prodloužení k⊂K. globálních polí. Studiem Funkce Dedekind zeta z K. jeden ukazuje, že stupeň 1 připravuje K. mít Dirichletova hustota dané pořadí pólu v s= 1, což je 1 (když K. je racionální, to je v podstatě Eulerův důkaz, že existuje nekonečně mnoho prvočísel používajících pól na s= 1 z Funkce Riemann zeta.) Jako každý prime in k to je norma je součin deg (K./k)= |E/F| zřetelný stupeň 1 připravuje K., to ukazuje, že množina prvočísel k které jsou normami, má hustotu 1 / |E/F|. Na druhou stranu studiem Dirichletovy L-série postav skupiny H⁰(E/F), jeden ukazuje, že Dirichletova hustota prvočísel z k představující triviální prvek této skupiny má hustotu1 / |H⁰(E/F) |. (Tato část důkazu je zevšeobecněním Dirichletova důkazu, že v aritmetických postupech je nekonečně mnoho prvočísel.) Ale prvočíslo představuje triviální prvek skupiny H⁰(E/F) pokud se rovná normě modulo hlavních ideálů, tak je tato množina přinejmenším stejně hustá jako množina prvočísel, která jsou normami. Tak

1/|H⁰(E/F)| ≥ 1/|E/F|

což je druhá nerovnost.

V roce 1940 Chevalley našel čistě algebraický důkaz druhé nerovnosti, ale je delší a těžší než Weberův původní důkaz. Asi před rokem 1950 byla druhá nerovnost známá jako první nerovnost; název byl změněn, protože Chevalleyho algebraický důkaz toho používá první nerovnost.

Takagi definoval a pole třídy být jedním, kde platí rovnost ve druhé nerovnosti. Artinovým izomorfismem níže, H⁰(E/F) je izomorfní s abelianizací E/F, takže rovnost ve druhé nerovnosti obsahuje přesně forabelianská rozšíření a pole třídy jsou stejná jako abelianská rozšíření.

První a druhou nerovnost lze kombinovat následovně. U cyklických vrstev to dokazují dvě nerovnosti

H¹(E/F)|E/F| = H⁰(E/F) ≤ |E/F|

tak

H⁰(E/F) = |E/F|

a

H¹(E/F) = 1.

Nyní to ukazuje základní věta o kohomologických skupinách H¹(E/F) = 1 pro všechny cyklické vrstvy, máme

H¹(E/F) = 1

pro Všechno normální vrstvy (tedy zejména formace je formace pole). Tento důkaz toho H¹(E/F) je vždy triviální je spíše kruhový objezd; pro globální pole není znám žádný „přímý“ důkaz (ať už to znamená cokoli). (Pro místní pole zmizení H¹(E/F) je jen Hilbertova věta 90.)

Pro cyklickou skupinu H⁰ je stejné jako H², tak H²(E/F) = |E/F| pro všechny cyklické vrstvy. Další teorém skupinové kohomologie ukazuje, že od té doby H¹(E/F) = 1 pro všechny normální vrstvy a H²(E/F) ≤ |E/F| pro všechny cyklické vrstvy máme

H²(E/F)≤ |E/F|

pro všechny normální vrstvy. (Ve skutečnosti platí rovnost pro všechny normální vrstvy, ale to vyžaduje více práce; viz další část.)

Skupina Brauer

The Brauerovy skupiny H²(E/ *) formace třídy jsou definovány jako přímý limit skupin H²(E/F) tak jako F běží přes všechny otevřené podskupiny E. Snadný důsledek zmizení H¹ pro všechny vrstvy je to, že skupiny H²(E/F) všichni jsou podskupiny skupiny Brauer. V místní teorii pole třídy jsou Brauerovy skupiny stejné jako Brauerovy skupiny polí, ale v teorii pole globální třídy Brauerova skupina formace není Brauerovou skupinou odpovídajícího globálního pole (i když spolu souvisejí).

Dalším krokem je dokázat to H²(E/F) je cyklický řádu přesně |E/F|; předchozí část ukazuje, že má maximálně toto pořadí, takže stačí najít nějaký prvek pořadí |E/F| v H²(E/F).

Důkaz pro libovolné rozšíření používá homomorfismus ze skupiny G na neúplné doplnění celých čísel s jádrem G_∞, nebo jinými slovy kompatibilní sekvence homomorfismů z G na cyklické skupiny řádu n pro všechny n, s jádry G_n. Tyto homomorfismy jsou konstruovány pomocí cyklických cyklomatomických rozšíření polí; pro konečná pole jsou dána algebraickým uzavřením, pro nearchimédská lokální pole jsou dána maximálními unramified příponami a pro globální pole jsou o něco komplikovanější. Protože jsou tato rozšíření výslovně uvedena, lze zkontrolovat, zda mají vlastnost H²(G/G_n) je cyklický řádu n, s kanonickým generátorem. Z toho vyplývá, že pro jakoukoli vrstvu E, skupina H²(E/E∩G_∞) je kanonicky izomorfní s Q/Z. Tuto myšlenku využití kořenů jednoty představil Chebotarev v jeho důkazu o Chebotarevova věta o hustotě, a krátce nato použil Artin k prokázání své věty o vzájemnosti.

Pro obecné vrstvy E,F existuje přesná sekvence

${ displaystyle 0 rightarrow H ^ {2} (E / F) cap H ^ {2} (E / E cap G _ { infty}) rightarrow H ^ {2} (E / E cap G_ { infty}) rightarrow H ^ {2} (F / F cap G _ { infty})}$

Poslední dvě skupiny v této sekvenci lze identifikovat pomocí Q/Z a mapa mezi nimi se potom vynásobí |E/F|. První skupina je tedy kanonicky izomorfní s Z/nZ. Tak jako H²(E/F) má objednávku maximálně Z/nZ se musí rovnat Z/nZ (a zejména je obsažen ve střední skupině)).

To ukazuje, že druhá kohomologická skupina H²(E/F) jakékoli vrstvy je cyklický řádu |E/F|, který dokončí ověření axiomů formace třídy. S trochou větší opatrnosti v důkazech dostaneme kanonický generátor H²(E/F), nazvaný základní třída.

Z toho vyplývá, že skupina Brauer H²(E/ *) je (kanonicky) izomorfní pro skupinu Q/Z, s výjimkou archimédských místních polí R a C když má objednávku 2 nebo 1.

Tateova věta a mapa Artina

Tateova věta ve skupinové kohomologii je následující. Předpokládejme to A je modul přes konečnou skupinu G a A je prvek H²(G,A), takže pro každou podskupinu E z G

• H¹(E,A) je triviální a
• H²(E,A) je generován Res (a), který má objednávku E.

Poté šálek produktu s A je izomorfismus

• Hⁿ(G,Z) → Hⁿ⁺²(G,A).

Použijeme-li případ n= −2 Tateovy věty k vytvoření třídy, zjistíme, že existuje izomorfismus

• H⁻²(E/F,Z) → H⁰(E/F,A^F)

pro jakoukoli normální vrstvu E/F. Skupina H⁻²(E/F,Z) je jen abelianizace E/Fa skupina H⁰(E/F,A^F) je A^E modulo skupina norem A^F. Jinými slovy, máme výslovný popis abelianizace skupiny Galois E/F ve smyslu A^E.

Převrácení tohoto izomorfismu dává homomorfismus

A^E → abelianizace E/F,

a převzetí limitu nad všemi otevřenými podskupinami F dává homomorfismus

A^E → abelianizace E,

volal Artin mapa. Artinova mapa nemusí být nutně surjektivní, ale má hustý obraz. Věta o existenci pod jeho jádrem je připojená součást A^E (pro teorii pole třídy), což je triviální pro teorii pole třídy neanarchimických místních polí a pro pole funkcí, ale netriviální pro archimédská místní pole a pole čísel.

Věta o existenci Takagi

Hlavní zbývající teorém teorie třídního pole je Věta o existenci Takagi, který uvádí, že každý konečný index uzavřená podskupina skupiny ideálních tříd je skupina norem odpovídajících nějakému abelianskému rozšíření. Klasickým způsobem, jak to dokázat, je konstrukce některých rozšíření s malými skupinami norem tak, že se nejprve přidá mnoho kořenů jednoty, a pak brát Kummer rozšíření a Artin – Schreier rozšíření. Tyto přípony mohou být neabelské (i když se jedná o přípony abelianských skupin o abelianské skupiny); to však ve skutečnosti nezáleží, protože skupina norem neabelovského rozšíření Galois je stejná jako skupina jeho maximálního abelianského rozšíření (to lze ukázat pomocí toho, co již víme o třídních polích). To dává dostatek (abelianských) rozšíření, aby se ukázalo, že existuje abelianská přípona odpovídající jakékoli podskupině konečných indexů skupiny tříd ideálů.

Důsledkem je, že jádro Artinovy ​​mapy je spojenou složkou identity skupiny ideálních tříd, takže abelianizace Galoisovy skupiny F je nekonečné dokončení skupiny ideálních tříd.

Pro místní teorii pole třídy je také možné konstruovat abelianská rozšíření explicitněji pomocí Lubin – Tate formální zákony o skupině. U globálních polí lze abelianská rozšíření v některých případech zkonstruovat výslovně: například abelianská rozšíření racionů lze zkonstruovat pomocí kořenů jednoty a abelianská rozšíření kvadratických imaginárních polí lze zkonstruovat pomocí eliptických funkcí, ale hledání analogií tohoto pro libovolná globální pole je nevyřešený problém.

Weilova skupina

To není Weylova skupina a nemá žádnou souvislost s Skupina Weil – Châtelet nebo Skupina Mordell – Weil

The Weilova skupina formace tříd se základními třídami u_E/F ∈ H²(E/F, A^F) je druh modifikované skupiny Galois, kterou představil Weil (1951) a používá se v různých formulacích teorie třídního pole, zejména v Langlandsův program.

Li E/F je normální vrstva, pak skupina Weil U z E/F je rozšíření

1 → A^F → U → E/F → 1

odpovídající základní třídě u_E/F v H²(E/F, A^F). Weilova skupina celé formace je definována jako inverzní limit Weilových skupin všech vrstevG/F, pro F otevřená podskupina G.

Mapa vzájemnosti formace třídy (G, A) vyvolává izomorfismus z A^G k abelianizaci skupiny Weil.

Viz také

Reference

• Artin, Emil; Tate, Johne (2009) [1952], Teorie pole třídy, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN  978-0-8218-4426-7, PAN  0223335
• Kawada, Yukiyosi (1971), "Třída formace", 1969 Institut teorie čísel (Proc. Sympos. Pure Math., Sv. XX, State Univ. New York, Stony Brook, NY, 1969)„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 96–114
• Serre, Jean-Pierre (1979), Místní pole, Postgraduální texty z matematiky, 67, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90424-5, PAN  0554237, zejm. kapitola XI: Formace tříd
• Tate, J. (1979), „Teoretické pozadí čísla“, Automorfní formy, reprezentace a funkce L, část 2, Proc. Symposy. Čistá matematika., XXXIII„Providence, R.I .: Amer. Matematika. Soc., S. 3–26, ISBN  978-0-8218-1435-2
• Weil, André (1951), „Sur la theorie du corps de classes“, Journal of the Mathematical Society of Japan, 3: 1–35, doi:10.2969 / jmsj / 00310001, ISSN  0025-5645, PAN  0044569, přetištěno v objemu I jeho sebraných papírů, ISBN  0-387-90330-5