Kvartérní analýza - Quaternionic analysis

v matematika, kvaternionová analýza je studium funkcí s čtveřice jako doména a / nebo rozsah. Takové funkce lze volat funkce proměnné čtveřice stejně jako funkce a skutečná proměnná nebo a komplexní proměnná jsou nazývány.

Stejně jako u komplexní a reálné analýzy je možné studovat pojmy analytičnost, holomorphy, harmoničnost a konformita v kontextu čtveřic. Na rozdíl od komplexních čísel a jako reálné, čtyři pojmy se neshodují.

Vlastnosti

The projekce čtveřice na její skalární část nebo na její vektorovou část, stejně jako modul a versor funkce, jsou příklady, které jsou základní pro pochopení struktury čtveřice.

Důležitým příkladem funkce proměnné čtveřice je

${displaystyle f_ {1} (q) = uqu ^ {- 1}}$

který otočí vektorovou část q o dvojnásobek úhlu představovaného u.

Čtveřice multiplikativní inverzní ${displaystyle f_ {2} (q) = q ^ {- 1}}$ je další základní funkce, ale stejně jako u jiných číselných systémů, ${displaystyle f_ {2} (0)}$ a související problémy jsou obecně vyloučeny z důvodu povahy dělení nulou.

Afinní transformace čtveřic má formu

${displaystyle f_ {3} (q) = aq + b, quad a, b, qin mathbb {H}.}$

Lineární frakční transformace čtveřic lze reprezentovat prvky maticový prsten ${displaystyle M_ {2} (mathbb {H})}$ působící na projektivní čára přes ${displaystyle mathbb {H}}$. Například mapování ${displaystyle qmapsto uqv,}$ kde ${displaystyle u}$ a ${displaystyle v}$ jsou opraveny versors slouží k výrobě pohyby eliptického prostoru.

Teorie proměnných čtveřice se v některých ohledech liší od teorie komplexních proměnných. Například: The komplexní konjugát mapování komplexní roviny je ústředním nástrojem, ale vyžaduje zavedení ne-aritmetické, neanalytický úkon. Konjugace skutečně mění orientace rovinných obrazců, něco, co se aritmetické funkce nezmění.

Na rozdíl od komplexní konjugát, konjugaci čtveřice lze vyjádřit aritmeticky, jako ${displaystyle f_ {4} (q) = - {frac {1} {2}} (q + iqi + jqj + kqk)}$

Tuto rovnici lze dokázat počínaje základ {1, i, j, k}:

${displaystyle f_ {4} (1) = - {frac {1} {2}} (1-1-1-1) = 1, quad f_ {4} (i) = - {frac {1} {2} } (i-i + i + i) = - i, quad f_ {4} (j) = - j, quad f_ {4} (k) = - k}$.

V důsledku toho od ${displaystyle f_ {4}}$ je lineární,

${displaystyle f_ {4} (q) = f_ {4} (w + xi + yj + zk) = wf_ {4} (1) + xf_ {4} (i) + yf_ {4} (j) + zf_ { 4} (k) = w-xi-yj-zk = q ^ {*}.}$

Úspěch komplexní analýza při zajišťování bohaté rodiny holomorfní funkce protože vědecká práce zapojila některé pracovníky do úsilí rozšířit planární teorii založenou na komplexních číslech na 4prostorovou studii s funkcemi proměnné čtveřice.^[1] Tyto snahy byly shrnuty v Deavours (1973).^[A]

Ačkoli ${displaystyle mathbb {H}}$ se jeví jako spojení složitých letadel, následující tvrzení ukazuje, že rozšiřování komplexních funkcí vyžaduje zvláštní péči:

Nechat ${displaystyle f_ {5} (z) = u (x, y) + iv (x, y)}$ být funkcí komplexní proměnné, ${displaystyle z = x + iy}$. Předpokládejme také to ${displaystyle u}$ je sudá funkce z ${displaystyle y}$ a to ${displaystyle v}$ je lichá funkce z ${displaystyle y}$. Pak ${displaystyle f_ {5} (q) = u (x, y) + rv (x, y)}$ je příponou ${displaystyle f_ {5}}$ do proměnné čtveřice ${displaystyle q = x + yr}$ kde ${displaystyle r ^ {2} = - 1}$ a ${displaystyle rin mathbb {H}}$.Tak tedy ${displaystyle r ^ {*}}$ představují konjugát ${displaystyle r}$, aby ${displaystyle q = x-yr ^ {*}}$. Rozšíření na ${displaystyle mathbb {H}}$ bude kompletní, až se ukáže, že ${displaystyle f_ {5} (q) = f_ {5} (x-yr ^ {*})}$. Ve skutečnosti hypotézou

${displaystyle u (x, y) = u (x, -y), quad v (x, y) = - v (x, -y) quad}$ jeden získá

${displaystyle f_ {5} (x-yr ^ {*}) = u (x, -y) + r ^ {*} v (x, -y) = u (x, y) + rv (x, y) = f_ {5} (q).}$

Homografie

V následujícím textu se k označení používají dvojtečky a hranaté závorky homogenní vektory.

The otáčení kolem osy r je klasická aplikace čtveřic na prostor mapování.^[2]Z hlediska a homografie, je vyjádřena rotace

${displaystyle [q: 1] {egin {pmatrix} u & 0 0 & uend {pmatrix}} = [qu: u] hicksim [u ^ {- 1} qu: 1],}$

kde ${displaystyle u = exp (heta r) = cos heta + rsin heta}$ je versor. Li p * = −p, pak překlad ${displaystyle qmapsto q + p}$ je vyjádřeno

${displaystyle [q: 1] {egin {pmatrix} 1 & 0 p & 1end {pmatrix}} = [q + p: 1].}$

Rotace a překlad xr podél osy otáčení je dáno vztahem

${displaystyle [q: 1] {egin {pmatrix} u & 0 uxr & uend {pmatrix}} = [qu + uxr: u] hicksim [u ^ {- 1} qu + xr: 1].}$

Takové mapování se nazývá a posunutí šroubu. V klasickém kinematika, Chaslesova věta uvádí, že jakýkoli pohyb tuhého tělesa lze zobrazit jako posunutí šroubu. Stejně jako reprezentace a Euklidovská rovina izometrie protože rotace je věcí aritmetiky komplexního čísla, tak Chaslesova věta a osa šroubu požadováno, je záležitostí čtveřice aritmetiky s homografiemi: Let s být pravý versor nebo druhá odmocnina mínus jedna, kolmá na r, s t = rs.

Zvažte procházející osu s a paralelně s r. Je vyjádřena rotace^[3] podle homografické kompozice

${displaystyle {egin {pmatrix} 1 & 0 -s & 1end {pmatrix}} {egin {pmatrix} u & 0 0 & uend {pmatrix}} {egin {pmatrix} 1 & 0 s & 1end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} u & 0 z & uend {pmatrix }},}$

kde ${displaystyle z = us-su = sin heta (rs-sr) = 2tsin heta.}$

Nyní v (Svatý) - rovina parametr θ sleduje kružnici ${displaystyle u ^ {- 1} z = u ^ {- 1} (2tsin heta) = 2sin heta (tcos heta -ssin heta)}$ v polorovině ${displaystyle lbrace wt + xs: x> 0 rovnátka.}$

Žádný p v této polorovině leží na paprsku od počátku kruhem ${displaystyle lbrace u ^ {- 1} z: 0$ a lze psát ${displaystyle p = au ^ {- 1} z, a> 0.}$

Pak nahoru = az, s ${displaystyle {egin {pmatrix} u & 0 az & uend {pmatrix}}}$ jako vyjádření homografie časování rotace překladem str.

Derivát pro čtveřice

Od doby Hamiltona si uvědomujeme, že to vyžaduje nezávislost derivát z cesty, kterou diferenciál sleduje směrem k nule, je příliš omezující: vylučuje sudé ${displaystyle f (q) = q ^ {2}}$ z diferenciace. Proto je pro funkce čtvercové proměnné nutná derivace závislá na směru.^[4][5]Zvažování přírůstku polynomické funkce kvartérního argumentu ukazuje, že přírůstek je lineární mapa přírůstku argumentu.^{[pochybný – diskutovat]} Z toho lze učinit definici:

Kontinuální mapa${displaystyle f: mathbb {H} ightarrow mathbb {H}}$se v sadě nazývá differentiable ${displaystyle Usubset mathbb {H}}$, pokud, v každém bodě ${displaystyle xin U}$, přírůstek mapy ${displaystyle f}$ lze reprezentovat jako

${displaystyle f (x + h) -f (x) = {frac {df (x)} {dx}} kruh h + o (h)}$

kde

${displaystyle {frac {df (x)} {dx}}: mathbb {H} ightarrow mathbb {H}}$

je lineární mapa kvaternionové algebry ${displaystyle mathbb {H}}$ a${displaystyle o: mathbb {H} ightarrow mathbb {H}}$je taková souvislá mapa, která

${displaystyle lim _ {aightarrow 0} {frac {| o (a) |} {| a |}} = 0}$

Lineární mapa${displaystyle {frac {df (x)} {dx}}}$se nazývá derivát mapy ${displaystyle f}$.

Na čtveřicích může být derivát vyjádřen jako

${displaystyle {frac {df (x)} {dx}} = součet _ {s} {frac {d_ {s0} f (x)} {dx}} často {frac {d_ {s1} f (x)} { dx}}}$

Diferenciál mapy ${displaystyle f}$ mohou být vyjádřeny následovně se závorkami na obou stranách.

${displaystyle {frac {df (x)} {dx}} circle dx = left (sum _ {s} {frac {d_ {s0} f (x)} {dx}} často {frac {d_ {s1} f ( x)} {dx}} ight) circ dx = součet _ {s} {frac {d_ {s0} f (x)} {dx}} dx {frac {d_ {s1} f (x)} {dx}} }$

Počet výrazů v součtu bude záviset na funkci F. Výrazy ${displaystyle {frac {d_ {sp} df (x)} {dx}}, p = 0,1}$ se nazývají komponenty derivátu.

Derivát kvaternionové funkce má následující rovnosti

${displaystyle {frac {df (x)} {dx}} kruh h = lim _ {t o 0} (t ^ {- 1} (f (x + th) -f (x)))}$

${displaystyle {frac {d (f (x) + g (x))} {dx}} = {frac {df (x)} {dx}} + {frac {dg (x)} {dx}}}$

${displaystyle {frac {df (x) g (x)} {dx}} = {frac {df (x)} {dx}} g (x) + f (x) {frac {dg (x)} {dx }}}$

${displaystyle {frac {df (x) g (x)} {dx}} circle h = left ({frac {df (x)} {dx}} circle hight) g (x) + f (x) left ({ frac {dg (x)} {dx}} výška kruhu)}$

${displaystyle {frac {daf (x) b} {dx}} = a {frac {df (x)} {dx}} b}$

${displaystyle {frac {daf (x) b} {dx}} cirkus h = aleft ({frac {df (x)} {dx}} výška kruhu) b}$

Pro funkci F(X) = axb, derivát je

${displaystyle {frac {daxb} {dx}} = aotimes b}$

${displaystyle dy = {frac {daxb} {dx}} cirkus dx = a, dx, b}$

a komponenty jsou tedy:

${displaystyle {frac {d_ {10} axb} {dx}} = a}$

${displaystyle {frac {d_ {11} axb} {dx}} = b}$

Podobně pro funkci F(X) = X², derivát je

${displaystyle {frac {dx ^ {2}} {dx}} = xotimes 1 + 1otimes x}$

${displaystyle dy = {frac {dx ^ {2}} {dx}} cirkus dx = x, dx + dx, x}$

a komponenty jsou:

${displaystyle {frac {d_ {10} x ^ {2}} {dx}} = x}$		${displaystyle {frac {d_ {11} x ^ {2}} {dx}} = 1}$
${displaystyle {frac {d_ {20} x ^ {2}} {dx}} = 1}$		${displaystyle {frac {d_ {21} x ^ {2}} {dx}} = x}$

Nakonec pro funkci F(X) = X⁻¹, derivát je

${displaystyle {frac {dx ^ {- 1}} {dx}} = - x ^ {- 1} krát x ^ {- 1}}$

${displaystyle dy = {frac {dx ^ {- 1}} {dx}} cirkus dx = -x ^ {- 1} dx, x ^ {- 1}}$

a komponenty jsou:

${displaystyle {frac {d_ {10} x ^ {- 1}} {dx}} = - x ^ {- 1}}$

${displaystyle {frac {d_ {11} x ^ {- 1}} {dx}} = x ^ {- 1}}$

Viz také

• Cayleyova transformace

Poznámky

Citace

Reference

• Arnold, Vladimír (1995), přeložil Porteous, Ian R. „Geometrie sférických křivek a algebra čtveřic“, Ruské matematické průzkumy, 50 (1): 1–68, doi:10.1070 / RM1995v050n01ABEH001662, Zbl  0848.58005
• Cayley, Arthur (1848), „K aplikaci čtveřic na teorii rotace“, Filozofický časopis v Londýně a Edinburghu, Řada 3, 33 (221): 196–200, doi:10.1080/14786444808645844
• Deavours, C.A. (1973), „The quaternion calculus“, Americký matematický měsíčník, Washington, DC: Mathematical Association of America, 80 (9): 995–1008, doi:10.2307/2318774, ISSN  0002-9890, JSTOR  2318774, Zbl  0282.30040
• Du Val, Patrick (1964), Homografie, čtveřice a rotaceOxfordské matematické monografie, Oxford: Clarendon Press, PAN  0169108, Zbl  0128.15403
• Fueter, Rudolf (1936), „Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen“, Commentarii Mathematici Helvetici (v němčině), 8: 371–378, doi:10.1007 / BF01199562, Zbl  0014.16702
• Gentili, Graziano; Stoppato, Caterina; Struppa, Daniele C. (2013), Pravidelné funkce kvartérní proměnné, Berlín: Springer, doi:10.1007/978-3-642-33871-7, ISBN  978-3-642-33870-0, Zbl  1269.30001
• Gormley, P.G. (1947), „Stereografická projekce a lineární frakční skupina transformací čtveřic“, Sborník Královské irské akademie, oddíl A, 51: 67–85, JSTOR  20488472
• Gürlebeck, Klaus; Sprößig, Wolfgang (1990), Kvartérní analýza a eliptické okrajové úlohy, Basilej: Birkhäuser, ISBN  978-3-7643-2382-0, Zbl  0850.35001
• Hamilton, William Rowan (1853), Přednášky o čtveřicích, Dublin: Hodges a Smith, OL  23416635M
• Hamilton, William Rowan (1866), Hamilton, William Edwin (vyd.), Prvky čtveřic, Londýn: Longmans, Green, & Company, Zbl  1204.01046
• Joly, Charles Jasper (1903), "Quaternions and projective geometry", Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně, 201 (331–345): 223–327, Bibcode:1903RSPTA.201..223J, doi:10.1098 / rsta.1903.0018, JFM  34.0092.01, JSTOR  90902
• Laisant, Charles-Ange (1881), Úvod à la Méthode des Quaternions (ve francouzštině), Paříž: Gauthier-Villars, JFM  13.0524.02
• Porter, R. Michael (1998), „Möbiova invariantní čtveřice geometrie“ (PDF), Konformní geometrie a dynamika, 2 (6): 89–196, doi:10.1090 / S1088-4173-98-00032-0, Zbl  0910.53005
• Sudbery, A. (1979), "Quaternionic analysis", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 85 (2): 199–225, Bibcode:1979 MPCPS..85..199S, doi:10.1017 / S0305004100055638, hdl:10338.dmlcz / 101933, Zbl  0399.30038