V diferenciální geometrii, a Forma s hodnotou lži algebry je diferenciální forma s hodnotami v Lieově algebře. Tyto formy mají důležité aplikace v teorii připojení na hlavní balíček stejně jako v teorii Cartan připojení.
Formální definice
Diferenciál s algebrickou hodnotou lži k-forma na potrubí,
, je hladký sekce z svazek
, kde
je Lež algebra,
je kotangenský svazek z
a Λk označuje kth vnější síla.
Klínový produkt
Protože každá Lieova algebra má bilineární Operace ležáku, klínový produkt dvou forem s algebrickou hodnotou lži lze sestavit pomocí operace závorky a získat další formu s algebrickou hodnotou lži. Tuto operaci označil
, je dáno: pro
-hodnota str-formulář
a
-hodnota q-formulář 
![[ omega wedge eta] (v_ {1}, cdots, v _ {{p + q}}) = {1 over (p + q)!} sum _ {{ sigma}} operatorname { sgn} ( sigma) [ omega (v _ {{ sigma (1)}}, cdots, v _ {{ sigma (p)}}), eta (v _ {{ sigma (p + 1)} }, cdots, v _ {{ sigma (p + q)}})]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7125151133e2117c20b30d57af47b4383a3451dc)
kde protiijsou tečné vektory. Zápis je určen k označení obou příslušných operací. Například pokud
a
jsou jedna forma s algebrickou hodnotou, pak jedna
![[ omega wedge eta] (v_ {1}, v_ {2}) = {1 nad 2} ([ omega (v_ {1}), eta (v_ {2})] - [ omega (v_ {2}), eta (v_ {1})]).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47f9eebad6721dd4d7996b86ce05d28474d06682)
Operace
lze také definovat jako bilineární operaci na
uspokojující
![[(g otimes alpha) wedge (h otimes beta)] = [g, h] otimes ( alpha wedge beta)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75b2bb82a263398134c17b2756affc04d17e71e)
pro všechny
a
.
Někteří autoři použili notaci
namísto
. Zápis
, který se podobá a komutátor, je odůvodněno skutečností, že pokud leží algebra
je tedy maticová algebra
není nic jiného než odstupňovaný komutátor z
a
, i. E. -li
a
pak
![[ omega wedge eta] = omega wedge eta - (-1) ^ {pq} eta wedge omega,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/127ab18af21042a199e74c283c64d6c5e6e5a5b1)
kde
jsou klínové produkty vytvořené pomocí násobení matic na
.
Operace
Nechat
být Homomorfismus lže algebry. Pokud φ je a
- tedy hodnotná forma na potrubí F(φ) je
-hodnotící forma na stejném potrubí získaná aplikací F na hodnoty φ:
.
Podobně, pokud F je multilineární funkce na
, pak se dá[1]

kde q = q1 + … + qk a φi jsou
-hodnota qi-formuláře. Navíc vzhledem k vektorovému prostoru PROTI, stejný vzorec lze použít k definování PROTI- hodnotná forma
když

je multilineární mapa, φ je a
-hodnota a η je a PROTI- hodnotná forma. Všimněte si, že když
- (*) F([X, y], z) = F(X, F(y, z)) - F(y, F(X, z)),
dávat F činí podání žaloby
na PROTI; tj., F určuje reprezentaci

a naopak libovolná reprezentace ρ určuje F s podmínkou (*). Například pokud
(závorka
), pak obnovíme definici
výše, s ρ = ad, adjunkční reprezentace. (Všimněte si vztahu mezi F a ρ výše je tedy jako vztah mezi závorkou a reklamou.)
Obecně, pokud α je
-hodnota str-form a φ je a PROTI-hodnota q-form, pak jeden více obyčejně píše α⋅φ = F(α, φ) když F(T, X) = TX. Výslovně,

S touto notací lze například:
.
Příklad: Pokud ω je a
-hodnota jednoho formuláře (například a formulář připojení ), ρ reprezentace
na vektorovém prostoru PROTI a φ a PROTI- tedy nulová forma
[2]
Formuláře s hodnotami v sousedním svazku
Nechat P být hladký hlavní svazek se strukturní skupinou G a
. G jedná
přes adjunkční reprezentace a tak lze vytvořit přidružený balíček:

Žádný
-hodnotící formuláře na základním prostoru P jsou v přirozené osobní korespondenci s jakoukoli tenzorové formy na P adjungovaného typu.
Viz také
Poznámky
- ^ Kobayashi – Nomizu, Ch. XII, § 1. chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFKobayashi – Nomizu (Pomoc)
- ^ Od té doby
, máme to![{ displaystyle ( rho ([ omega klín omega]) cdot phi) (v, w) = {1 nad 2} ( rho ([ omega klín omega]) (v, w ) phi - rho ([ omega klín omega]) (w, v) phi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3bab33cee88bf44ed715f6c624cd357fd6731d9)
je 
Reference
externí odkazy