Druhá kovarianční derivace - Second covariant derivative - Wikipedia

V matematických větvích diferenciální geometrie a vektorový počet, druhý kovarianční derivace, nebo kovarianční derivace druhého řádu, vektorového pole je derivace jeho derivace vzhledem k dalším dvěma tečný vektor pole.

Definice

Formálně dostal (pseudo) -Riemannian potrubí (M, G) spojené s a vektorový svazek E → M, označme ∇ Připojení Levi-Civita dané metrikou G, a označit Γ (E) prostor hladký sekce celkového prostoru E. Označit podle T^*M the kotangenský svazek z M. Potom lze druhou kovariantní derivaci definovat jako složení ze dvou čísel takto: ^[1]

${ displaystyle Gamma (E) { stackrel { nabla} { longrightarrow}} Gamma (T ^ {*} M otimes E) { stackrel { nabla} { longrightarrow}} Gamma (T ^ {*} M otimes T ^ {*} M otimes E).}$

Například daná vektorová pole u, proti, w, vteřina kovarianční derivace lze psát jako

${ displaystyle ( nabla _ {u, v} ^ {2} w) ^ {a} = u ^ {c} v ^ {b} nabla _ {c} nabla _ {b} w ^ {a} }$

používáním abstraktní indexová notace. Je také snadné to ověřit

${ displaystyle ( nabla _ {u} nabla _ {v} w) ^ {a} = u ^ {c} nabla _ {c} v ^ {b} nabla _ {b} w ^ {a} = u ^ {c} v ^ {b} nabla _ {c} nabla _ {b} w ^ {a} + (u ^ {c} nabla _ {c} v ^ {b}) nabla _ {b} w ^ {a} = ( nabla _ {u, v} ^ {2} w) ^ {a} + ( nabla _ { nabla _ {u} v} w) ^ {a}.}$

Tím pádem

${ displaystyle nabla _ {u, v} ^ {2} w = nabla _ {u} nabla _ {v} w- nabla _ { nabla _ {u} v} w.}$

Když torzní tenzor je nula, takže ${ displaystyle [u, v] = nabla _ {u} v- nabla _ {v} u}$, můžeme tuto skutečnost použít k psaní Riemannův tenzor zakřivení tak jako ^[2]

${ displaystyle R (u, v) w = nabla _ {u, v} ^ {2} w- nabla _ {v, u} ^ {2} w.}$

Podobně lze také získat druhou kovariantní derivaci funkce F tak jako

${ displaystyle nabla _ {u, v} ^ {2} f = u ^ {c} v ^ {b} nabla _ {c} nabla _ {b} f = nabla _ {u} nabla _ {v} f- nabla _ { nabla _ {u} v} f.}$

Opět pro torzní spojení Levi-Civita a pro všechna vektorová pole u a proti, když krmíme funkci F do obou stran

${ displaystyle nabla _ {u} v- nabla _ {v} u = [u, v]}$

shledáváme

${ displaystyle ( nabla _ {u} v- nabla _ {v} u) (f) = [u, v] (f) = u (v (f)) - v (u (f)).}$.

To lze přepsat jako

${ displaystyle nabla _ { nabla _ {u} v} f- nabla _ { nabla _ {v} u} f = nabla _ {u} nabla _ {v} f- nabla _ {v } nabla _ {u} f,}$

takže máme

${ displaystyle nabla _ {u, v} ^ {2} f = nabla _ {v, u} ^ {2} f.}$

To znamená, že hodnota druhé kovarianční derivace funkce je nezávislá na pořadí přijímání derivací.

Poznámky