Základní vektorové pole - Fundamental vector field

Ve studii o matematika a hlavně diferenciální geometrie, základní vektorová pole jsou nástrojem, který popisuje nekonečně malé chování a hladký Lež skupina akce na a hladké potrubí. Takový vektorová pole najít důležité aplikace ve studiu Teorie lži, symplektická geometrie a studium Hamiltonovské skupinové akce.

Motivace

Důležité pro aplikace v matematice a fyzika^[1] je pojem a tok na potrubí. Zejména pokud ${displaystyle M}$ je hladké potrubí a ${displaystyle X}$ je hladký vektorové pole, jeden má zájem najít integrální křivky na ${displaystyle X}$ . Přesněji řečeno ${displaystyle pin M}$ jednoho zajímají křivky ${displaystyle gamma _ {p}: mathbb {R} o M}$ takhle

{displaystyle gamma _ {p} '(t) = X_ {gamma _ {p} (t)}, qquad gamma _ {p} (0) = p,}

pro které místní řešení zaručuje Věta o existenci a jedinečnosti obyčejných diferenciálních rovnic. Li ${displaystyle X}$ je dále a kompletní vektorové pole, pak tok ${displaystyle X}$ , definovaný jako soubor všech integrálních křivek pro ${displaystyle X}$ , je difeomorfismus z ${displaystyle M}$ . Proud ${displaystyle phi _ {X}: mathbb {R} imes M o M}$ dána ${displaystyle phi _ {X} (t, p) = gama _ {p} (t)}$ je ve skutečnosti akce přísady Lež skupina ${displaystyle (mathbb {R}, +)}$ na ${displaystyle M}$ .

Naopak každá plynulá akce ${displaystyle A: mathbb {R} imes M o M}$ definuje úplné vektorové pole ${displaystyle X}$ pomocí rovnice

{displaystyle X_ {p} = vlevo. {frac {d} {dt}} večer | _ {t = 0} A (t, p).}

Je to pak jednoduchý výsledek^[2] že existuje bijektivní korespondence mezi ${displaystyle mathbb {R}}$ akce na ${displaystyle M}$ a vyplňte vektorová pole ${displaystyle M}$ .

V jazyce teorie toku vektorové pole ${displaystyle X}$ se nazývá nekonečně malý generátor.^[3] Chování toku v každém bodě intuitivně odpovídá „směru“ označenému vektorovým polem. Je přirozenou otázkou ptát se, zda lze navázat podobnou korespondenci mezi vektorovými poli a libovolnějšími akcemi Lieových skupin ${displaystyle M}$ .

Definice

Nechat ${displaystyle G}$ být Lieovou skupinou s odpovídajícími Lež algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ . Kromě toho ${displaystyle M}$ být plynulé potrubí vybavené a plynulá akce ${displaystyle A: G imes M o M}$ . Označte mapu ${displaystyle A_ {p}: G o M}$ takhle ${displaystyle A_ {p} (g) = A (g, p)}$ , nazvaný oběžná mapa ${displaystyle A}$ souhlasí s ${displaystyle p}$ .^[4] Pro ${displaystyle Xin {mathfrak {g}}}$ , základní vektorové pole ${displaystyle X ^ {#}}$ souhlasí s ${displaystyle X}$ je některá z následujících ekvivalentních definic:^[2]^[4]^[5]

${displaystyle X_ {p} ^ {#} = d_ {e} A_ {p} (X)}$
${displaystyle X_ {p} ^ {#} = d _ {(e, p)} Aleft (X, 0_ {T_ {p} M} vpravo)}$
${displaystyle X_ {p} ^ {#} = vlevo. {frac {d} {dt}} večer | _ {t = 0} Aleft (exp (tX), pight)}$

kde ${displaystyle d}$ je diferenciál hladké mapy a ${displaystyle 0_ {T_ {p} M}}$ je nulový vektor v vektorový prostor ${displaystyle T_ {p} M}$ .

Mapa ${displaystyle {mathfrak {g}} o Gamma (TM), Xmapsto X ^ {#}}$ pak se může ukázat jako a Homomorfismus lže algebry.^[5]

Aplikace

Lež skupiny

Lieova algebra skupiny Lie ${displaystyle G}$ může být identifikován buď s levým nebo pravým invariantním vektorovým polem ${displaystyle G}$ . Je to dobře známý výsledek^[3] že taková vektorová pole jsou izomorfní ${displaystyle T_ {e} G}$ , tečný prostor v identitě. Ve skutečnosti, pokud to necháme ${displaystyle G}$ působí na sebe pomocí multiplikace vpravo, příslušná základní vektorová pole jsou přesně levá invariantní vektorová pole.

Hamiltonovské skupinové akce

V motivace, bylo prokázáno, že existuje bijektivní korespondence mezi hladkým ${displaystyle mathbb {R}}$ akce a vyplnění vektorových polí. Podobně existuje bijektivní korespondence mezi symplektickými akcemi (indukované difeomorfismy všichni jsou symplectomorphisms ) a dokončit symplektická vektorová pole.

Úzce související myšlenkou je myšlenka Hamiltonovské vektorové pole. Vzhledem k symplektickému potrubí ${displaystyle (M, omega)}$ , říkáme to ${displaystyle X_ {H}}$ je Hamiltonovské vektorové pole, pokud existuje a plynulá funkce ${displaystyle H: M o mathbb {R}}$ uspokojující

{displaystyle dH = iota _ {X_ {H}} omega}

kde je mapa ${displaystyle iota}$ je vnitřní produkt. To motivuje definici a Hamiltonovská skupinová akce takto: Pokud ${displaystyle G}$ je Lieova skupina s Lieovou algebrou ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ a ${displaystyle A: G imes M o M}$ je skupinová akce uživatele ${displaystyle G}$ na hladkém potrubí ${displaystyle M}$ , pak to říkáme ${displaystyle A}$ je Hamiltonovská skupinová akce, pokud existuje a momentová mapa ${displaystyle mu: M o {mathfrak {g}} ^ {*}}$ takové, že pro každého ${displaystyle Xin {mathfrak {g}}}$ ,