Hadwigersova věta - Hadwigers theorem - Wikipedia

v integrální geometrie (jinak se nazývá geometrická teorie pravděpodobnosti), Hadwigerova věta charakterizuje ocenění na konvexní těla v Rⁿ. Dokázal to Hugo Hadwiger.

Úvod

Ocenění

Nechat K.ⁿ být kolekcí všech kompaktních konvexních sad Rⁿ. A ocenění je funkce proti:K.ⁿ → R takhle proti(∅) = 0 a pro všechny S,T ∈K.ⁿ pro který S∪T∈K.ⁿ,

${ displaystyle v (S) + proti (T) = proti (S čepici T) + proti (S šálku T) ~.}$

Ocenění se nazývá kontinuální, pokud je kontinuální s ohledem na Hausdorffova metrika. Ocenění se nazývá invariantní podle rigidních pohybů, pokud proti(φ(S)) = proti(S) kdykoli S ∈ K.ⁿ a φ je buď a překlad nebo a otáčení z Rⁿ.

Quermassintegrals

Quermassintegrals Ž_j: K.ⁿ → R jsou definovány Steinerovým vzorcem

${ displaystyle mathrm {Vol} _ {n} (K + tB) = součet _ {j = 0} ^ {n} { binom {n} {j}} W_ {j} (K) t ^ { j} ~,}$

kde B je euklidovská koule. Například, Ž₀ je objem, Ž₁ je úměrná povrchová míra, Ž_n-1 je úměrná střední šířka, a Ž_n je konstantní sv_n(B).

Ž_j je ocenění, které je homogenní stupně n-j, to znamená,

${ displaystyle W_ {j} (tK) = t ^ {n-j} W_ {j} (K) ~, quad t geq 0 ~.}$

Prohlášení

Jakékoli průběžné ocenění proti na K.ⁿ to je neměnné pod tuhými pohyby může být reprezentováno jako

${ displaystyle v (S) = součet _ {j = 0} ^ {n} c_ {j} W_ {j} (S) ~.}$

Důsledek

Jakékoli průběžné ocenění proti na K.ⁿ to je neměnné pod tuhými pohyby a homogenní stupně j je násobkem Ž_n-j.

Reference

Účet a důkaz Hadwigerovy věty lze nalézt v

• Klain, D.A .; Rota, G.-C. (1997). Úvod do geometrické pravděpodobnosti. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-59362-X. PAN  1608265.

Základní a samostatný důkaz podal Beifang Chen v

• Chen, B. (2004). "Zjednodušený elementární důkaz Hadwigerovy věty o objemu". Geom. Dedicata. 105: 107–120. doi:10.1023 / b: geom.0000024665.02286.46. PAN  2057247.