Nerovnost torusů u Loewners - Loewners torus inequality - Wikipedia

Charles Loewner v roce 1963

v diferenciální geometrie, Nerovnost torusu Loewnera je nerovnost kvůli Charles Loewner. Týká se to systola a plocha libovolného Riemannova metrika na 2-torus.

Prohlášení

Nejkratší smyčka na torusu

V roce 1949 Charles Loewner dokázal, že každá metrika na 2torus ${ displaystyle mathbb {T} ^ {2}}$ uspokojuje optimální nerovnost

${ displaystyle operatorname {sys} ^ {2} leq { frac {2} { sqrt {3}}} ; operatorname {area} ( mathbb {T} ^ {2}),}$

kde „sys“ je jeho systola, tj. nejmenší délka nezrušitelné smyčky. Konstanta zobrazená na pravé straně je Hermitova konstanta ${ displaystyle gamma _ {2}}$ v dimenzi 2, aby bylo možné Loewnerovu nerovnost torusu přepsat jako

${ displaystyle operatorname {sys} ^ {2} leq gamma _ {2} ; operatorname {area} ( mathbb {T} ^ {2}).}$

Nerovnost byla poprvé zmíněna v literatuře v Pu (1952).

Případ rovnosti

Hraniční případ rovnosti je dosažen právě tehdy, když je metrika plochá a homotetická k tzv rovnostranný torus, tj. torus, jehož skupina transformací paluby je právě šestihranná mříž překlenutý krychlovými kořeny jednoty v ${ displaystyle mathbb {C}}$.

Alternativní formulace

Vzhledem k dvojnásobně periodické metrice ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ (např. vložení do ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ který je neměnný pomocí a ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$ izometrická akce), existuje nenulový prvek ${ displaystyle g in mathbb {Z} ^ {2}}$ a bod ${ displaystyle p in mathbb {R} ^ {2}}$ takhle ${ displaystyle operatorname {dist} (p, g.p) ^ {2} leq { frac {2} { sqrt {3}}} operatorname {area} (F)}$, kde ${ displaystyle F}$ je základní oblastí činnosti ${ displaystyle operatorname {dist}}$ je Riemannova vzdálenost, jmenovitě nejmenší délka spojovací cesty ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle g.p}$.

Důkaz nerovnosti torusu Loewnera

Nerovnost torusu Loewnera lze nejsnadněji prokázat pomocí výpočetního vzorce pro rozptyl,

${ displaystyle E (X ^ {2}) - (E (X)) ^ {2} = mathrm {var} (X). ,}$

Konkrétně je vzorec aplikován na míra pravděpodobnosti definovaná mírou plochého torusu jednotky v konformní třídě daného torusu. Pro náhodnou proměnnou X, vezmeme konformní faktor dané metriky s ohledem na plochou. Pak očekávaná hodnota E (X ²) z X ² vyjadřuje celkovou plochu dané metriky. Mezitím očekávaná hodnota E (X) z X lze spojit se systolou pomocí Fubiniho věta. Rozptyl X lze pak považovat za isosystolický defekt, analogický s isoperimetrickým defektem Bonnesenova nerovnost. Tento přístup proto vytváří následující verzi Loewnerovy nerovnosti torusů s isosystolickou vadou:

${ displaystyle mathrm {area} - { frac { sqrt {3}} {2}} ( mathrm {sys}) ^ {2} geq mathrm {var} (f),}$

kde ƒ je konformní faktor metriky s ohledem na plošnou metriku jednotkové plochy ve své třídě konformity.

Vyšší rod

Zda nerovnost nebo ne

${ displaystyle ( mathrm {sys}) ^ {2} leq gamma _ {2} , mathrm {oblast}}$

je uspokojen všemi povrchy nepozitivního Eulerova charakteristika není známo. Pro orientovatelné povrchy rodu 2 a rodu 20 a výše je odpověď kladná, viz práce Katze a Sabouraua níže.

Viz také

• Nerovnost Pu pro skutečnou projektivní rovinu
• Gromovova systolická nerovnost pro základní potrubí
• Gromovova nerovnost pro složitý projektivní prostor
• Eisensteinovo celé číslo (příklad šestihranné mřížky)
• Systoly povrchů

Reference

• Horowitz, Charles; Katz, Karin Usadi; Katz, Michail G. (2009). "Nerovnost torusu Loewnera s izosystolickou vadou". Journal of Geometric Analysis. 19 (4): 796–808. arXiv:0803.0690. doi:10.1007 / s12220-009-9090-r. PAN  2538936.
• Katz, Michail G. (2007). Systolická geometrie a topologie. Matematické průzkumy a monografie. 137. S dodatkem J. Solomona. Providence, RI: Americká matematická společnost. doi:10.1090 / přežít / 137. ISBN  978-0-8218-4177-8. PAN  2292367.
• Katz, Michail G .; Sabourau, Stéphane (2005). "Entropie systolicky extremálních povrchů a asymptotické hranice". Ergodická teorie dynamiky. Systémy. 25 (4): 1209–1220. arXiv:math.DG / 0410312. doi:10.1017 / S0143385704001014. PAN  2158402.
• Katz, Michail G .; Sabourau, Stéphane (2006). "Hyperelliptické povrchy jsou Loewner". Proc. Amer. Matematika. Soc. 134 (4): 1189–1195. arXiv:math.DG / 0407009. doi:10.1090 / S0002-9939-05-08057-3. PAN  2196056.
• Pu, Pao Ming (1952). „Některé nerovnosti v určitých neorientovatelných Riemannovských varietách“. Pacific J. Math. 2 (1): 55–71. PAN  0048886.CS1 maint: ref = harv (odkaz)