Objednávka (teorie prstenů) - Order (ring theory)

v matematika, an objednat ve smyslu teorie prstenů je podřízený ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ a prsten ${ displaystyle A}$, takový, že

1. ${ displaystyle A}$ je konečně-dimenzionální algebra přes pole ${ displaystyle mathbb {Q}}$ z racionální čísla
2. ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ rozpětí ${ displaystyle A}$ přes ${ displaystyle mathbb {Q}}$, a
3. ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ je ${ displaystyle mathbb {Z}}$-mříž v ${ displaystyle A}$.

Poslední dvě podmínky lze uvést méně formálně: Aditivní, ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ je bezplatná abelianská skupina generováno základem pro ${ displaystyle A}$ přes ${ displaystyle mathbb {Q}}$.

Obecněji pro ${ displaystyle R}$ integrální doména obsažená v poli ${ displaystyle K}$, definujeme ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ být ${ displaystyle R}$-objednejte si v ${ displaystyle K}$-algebra ${ displaystyle A}$ pokud se jedná o podřetězec z ${ displaystyle A}$ což je plné ${ displaystyle R}$-lattice.^[1]

Když ${ displaystyle A}$ není komutativní prsten, myšlenka řádu je stále důležitá, ale jevy se liší. Například Hurwitzovy čtveřice tvoří a maximální pořadí v čtveřice s racionálními souřadnicemi; nejsou to čtveřice s celočíselnými souřadnicemi v tom nejzřejmějším smyslu. Maximální objednávky existují obecně, ale nemusí být jedinečné: obecně neexistuje žádná největší objednávka, ale řada maximálních objednávek. Důležitou třídou příkladů je integrál skupinové kroužky.

Příklady

Některé příklady objednávek jsou:^[2]

• Li ${ displaystyle A}$ je maticový prsten ${ displaystyle M_ {n} (K)}$ přes ${ displaystyle K}$, pak maticový kruh ${ displaystyle M_ {n} (R)}$ přes ${ displaystyle R}$ je ${ displaystyle R}$- objednejte se ${ displaystyle A}$
• Li ${ displaystyle R}$ je integrální doménou a ${ displaystyle L}$ konečný oddělitelný nástavec z ${ displaystyle K}$, pak integrální uzávěr ${ displaystyle S}$ z ${ displaystyle R}$ v ${ displaystyle L}$ je ${ displaystyle R}$- objednejte se ${ displaystyle L}$.
• Li ${ displaystyle a}$ v ${ displaystyle A}$ je integrální prvek přes ${ displaystyle R}$, pak polynomiální kruh ${ displaystyle R [a]}$ je ${ displaystyle R}$- pořadí v algebře ${ displaystyle K [a]}$
• Li ${ displaystyle A}$ je skupinové vyzvánění ${ displaystyle K [G]}$ konečné skupiny ${ displaystyle G}$, pak ${ displaystyle R [G]}$ je ${ displaystyle R}$- objednejte si ${ displaystyle K [G]}$

Základní vlastnost ${ displaystyle R}$-order je, že každý prvek an ${ displaystyle R}$-objednávka je integrální přes ${ displaystyle R}$.^[3]

Pokud je integrální uzávěr ${ displaystyle S}$ z ${ displaystyle R}$ v ${ displaystyle A}$ je ${ displaystyle R}$- objednávka, pak to ukazuje tento výsledek ${ displaystyle S}$ musí být^{[je zapotřebí objasnění ]} maximální ${ displaystyle R}$- objednejte se ${ displaystyle A}$. Tato hypotéza však není vždy splněna: skutečně ${ displaystyle S}$ nemusí být ani prsten, i když ${ displaystyle S}$ je prsten (například když ${ displaystyle A}$ je komutativní) ${ displaystyle S}$ nemusí být ${ displaystyle R}$-lattice.^[3]

Algebraická teorie čísel

Hlavním příkladem je případ, kdy ${ displaystyle A}$ je pole s číslem ${ displaystyle K}$ a ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ je jeho kruh celých čísel. v algebraická teorie čísel existují příklady pro všechny ${ displaystyle K}$ jiné než racionální pole správných podřetězců kruhu celých čísel, které jsou také řády. Například v rozšíření pole ${ displaystyle A = mathbb {Q} (i)}$ z Gaussovské racionály přes ${ displaystyle mathbb {Q}}$, integrální uzavření ${ displaystyle mathbb {Z}}$ je prsten z Gaussova celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z} [i]}$ a toto je jedinečný maximální ${ displaystyle mathbb {Z}}$-objednávka: všechny ostatní objednávky v ${ displaystyle A}$ jsou v něm obsaženy. Například můžeme vzít podřetězec komplexních čísel ve formě ${ displaystyle a + 2bi}$, s ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ celá čísla.^[4]

Otázka maximálního pořadí může být zkoumána na a místní pole úroveň. Tato technika se používá v algebraické teorii čísel a teorie modulární reprezentace.

Viz také

• Řád čtveřice Hurwitzů - Příklad pořadí vyzvánění

Poznámky

Reference

• Pohst, M .; Zassenhaus, H. (1989). Algoritmická algebraická teorie čísel. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 30. Cambridge University Press. ISBN  0-521-33060-2. Zbl  0685.12001.
• Reiner, I. (2003). Maximální objednávky. Monografie London Mathematical Society. Nová řada. 28. Oxford University Press. ISBN  0-19-852673-3. Zbl  1024.16008.