Gromovova nerovnost pro komplexní projektivní prostor - Gromovs inequality for complex projective space - Wikipedia

v Riemannova geometrie, Gromov je optimální stabilní 2systolický nerovnost je nerovnost

${ displaystyle mathrm {stsys} _ {2} {} ^ {n} leq n! ; mathrm {vol} _ {2n} ( mathbb {CP} ^ {n})}$,

platí pro libovolnou Riemannovu metriku na složitý projektivní prostor, kde je optimální mez dosažena symetricky Fubini - metrika studia, poskytující přirozenou geometrizaci kvantová mechanika. Tady ${ displaystyle operatorname {stsys_ {2}}}$ je stabilní 2-systola, kterou v tomto případě lze definovat jako infimum oblastí racionálních 2-cyklů představujících třídu komplexní projektivní linie ${ displaystyle mathbb {CP} ^ {1} podmnožina mathbb {CP} ^ {n}}$ v 2-dimenzionální homologii.

Nerovnost se poprvé objevila v roce Gromov (1981) jako věta 4.36.

Důkaz Gromovovy nerovnosti se opírá o Wirtingerova nerovnost pro vnější 2 formy.

Projektivní roviny nad divizními algeberami ${ displaystyle mathbb {R, C, H}}$

Ve zvláštním případě n = 2 se stane Gromovova nerovnost ${ displaystyle mathrm {stsys} _ {2} {} ^ {2} leq 2 mathrm {vol} _ {4} ( mathbb {CP} ^ {2})}$. Tuto nerovnost lze považovat za analogii Nerovnost Pu pro skutečnou projektivní rovinu ${ displaystyle mathbb {RP} ^ {2}}$. V obou případech je hraniční případ rovnosti dosažen symetrickou metrikou projektivní roviny. Mezitím, v kvaternionickém případě, symetrická metrika zapnuta ${ displaystyle mathbb {HP} ^ {2}}$ není jeho systolicky optimální metrika. Jinými slovy, potrubí ${ displaystyle mathbb {HP} ^ {2}}$ připouští Riemannovu metriku s vyšším systolickým poměrem ${ displaystyle mathrm {stsys} _ {4} {} ^ {2} / mathrm {vol} _ {8}}$ než pro jeho symetrickou metriku (Bangert a kol. 2009 ).

Viz také

• Nerovnost torusu Loewnera
• Pu je nerovnost
• Gromovova nerovnost (disambiguation)
• Gromovova systolická nerovnost pro základní potrubí
• Systolická geometrie

Reference

• Bangert, Victor; Katz, Michail G .; Shnider, Steve; Weinberger, Shmuel (2009). "E₇, Wirtingerovy nerovnosti, Cayley 4-forma a homotopy ". Duke Mathematical Journal. 146 (1): 35–70. arXiv:math.DG / 0608006. doi:10.1215/00127094-2008-061. PAN  2475399.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Gromov, Michail (1981). J. Lafontaine; P. Pansu. (eds.). Structures métriques pour les variétés riemanniennes [Metrické struktury pro Riemannova potrubí]. Textes Mathématiques (ve francouzštině). 1. Paříž: CEDIC. ISBN  2-7124-0714-8. PAN  0682063.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Katz, Michail G. (2007). Systolická geometrie a topologie. Matematické průzkumy a monografie. 137. S dodatkem od Jakea P. Solomona. Providence, R.I .: Americká matematická společnost. str. 19. doi:10.1090 / přežít / 137. ISBN  978-0-8218-4177-8. PAN  2292367.