Hermitova konstanta - Hermite constant

v matematika, Hermitova konstanta, pojmenoval podle Charles Hermite, určuje, jak krátký je prvek a mříž v Euklidovský prostor může být.

Konstanta y_n pro celá čísla n > 0 je definována následovně. Pro mříž L v euklidovském prostoru Rⁿ jednotka covolume, tj. objem (Rⁿ/L) = 1, nechť λ₁(L) označuje nejmenší délku nenulového prvku L. Pak √y_n je maximum λ₁(L) přes všechny takové svazy L.

The odmocnina v definici Hermitovy konstanty jde o historickou konvenci. S uvedenou definicí se ukazuje, že Hermitova konstanta roste lineárně dovnitř n.

Alternativně Hermitova konstanta y_n lze definovat jako druhou mocninu maxima systola bytu n-dimenzionální torus jednotkového objemu.

Příklad

Hermitova konstanta je známa v rozměrech 1–8 a 24.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	24
${ displaystyle gamma _ {n} ^ {n}}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle { frac {4} {3}}}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle 4}$	${ displaystyle 8}$	${ displaystyle { frac {64} {3}}}$	${ displaystyle 64}$	${ displaystyle 2 ^ {8}}$	${ displaystyle 4 ^ {24}}$

Pro n = 2, jeden má y₂ = 2/√3. Této hodnoty je dosaženo šestihranná mříž z Eisensteinova celá čísla.^[1]

Odhady

Je známo že^[2]

${ displaystyle gamma _ {n} leq left ({ frac {4} {3}} right) ^ { frac {n-1} {2}}.}$

Silnější odhad kvůli Hans Frederick Blichfeldt^[3] je^[4]

${ displaystyle gamma _ {n} leq left ({ frac {2} { pi}} right) gamma left (2 + { frac {n} {2}} right) ^ { frac {2} {n}},}$

kde ${ Displaystyle Gamma (x)}$ je funkce gama.

Viz také

• Nerovnost torusu Loewnera

Reference

• Cassels, J.W.S. (1997). Úvod do geometrie čísel. Classics in Mathematics (dotisk z roku 1971 ed.). Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-61788-4.
• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Aritmetika kvadratických forem. Cambridge Tracts v matematice. 106. Cambridge University Press. ISBN  0-521-40475-4. Zbl  0785.11021.
• Schmidt, Wolfgang M. (1996). Diophantine aproximace a Diophantine rovnice. Přednášky z matematiky. 1467 (2. vyd.). Springer-Verlag. p. 9. ISBN  3-540-54058-X. Zbl  0754.11020.