První Hurwitz triplet - First Hurwitz triplet

V matematické teorii Riemannovy povrchy, první Hurwitz triplet je trojitý výrazný Hurwitzovy povrchy se shodnou skupinou automorfismu s nejnižším možným rodem, konkrétně 14 (rody 3 a 7 každý připouští jedinečný povrch Hurwitz, resp. Kleinova kvartika a Macbeathův povrch ). Vysvětlení tohoto jevu je aritmetické. Jmenovitě, v kruhu celých čísel příslušného číselného pole se racionální prvočíslo 13 rozdělí jako produkt tří odlišných prvočísel. Ředitel kongruenční podskupiny definovaný tripletem připraví prvočísla Fuchsijské skupiny odpovídá tripletu Riemannův povrchů.

Aritmetická konstrukce

Nechat ${displaystyle K}$ být skutečné podpole ${displaystyle mathbb {Q} [ho]}$ kde ${displaystyle ho}$ je 7. primitivní kořen jednoty. The kruh celých čísel z K. je ${displaystyle mathbb {Z} [eta]}$ , kde ${displaystyle eta = 2cos ({frac {2pi} {7}})}$ . Nechat ${displaystyle D}$ být čtveřice algebra nebo algebra symbolů ${displaystyle (eta, eta) _ {K}}$ . Také nechte ${displaystyle au = 1 + eta + eta ^ {2}}$ a ${displaystyle j '= {frac {1} {2}} (1 + eta i + au j)}$ . Nechat ${displaystyle {mathcal {Q}} _ {mathrm {Hur}} = mathbb {Z} [eta] [i, j, j ']}$ . Pak ${displaystyle {mathcal {Q}} _ {mathrm {Hur}}}$ je maximum objednat z ${displaystyle D}$ (vidět Řád čtveřice Hurwitzů ), výslovně popsal Noam Elkies [1].

Aby bylo možné sestrojit první Hurwitzův triplet, zvažte primární rozklad 13 palců ${displaystyle mathbb {Z} [eta]}$ , jmenovitě

{displaystyle 13 = eta (eta +2) (2eta -1) (3-2eta) (eta +3),}

kde ${displaystyle eta (eta +2)}$ je invertibilní. Zvažte také hlavní ideály generované nevratnými faktory. Podskupina hlavní kongruence definovaná takovým ideálním ideálem Já je podle definice skupina

{displaystyle {mathcal {Q}} _ {mathrm {Hur}} ^ {1} (I) = {xin {mathcal {Q}} _ {mathrm {Hur}} ^ {1}: xequiv 1 {pmod {I { mathcal {Q}} _ {mathrm {Hur}}}}},}

jmenovitě skupina prvků snížená norma 1 palec ${displaystyle {mathcal {Q}} _ {mathrm {Hur}}}$ ekvivalent 1 modulo ideální ${displaystyle I {mathcal {Q}} _ {mathrm {H} ur}}$ . Odpovídající fuchsiová skupina se získá jako obraz hlavní podskupiny kongruence pod reprezentací PSL (2, R).

Každý ze tří Riemannův povrchů v prvním Hurwitzově tripletu může být vytvořen jako a Fuchsijský model kvocient z hyperbolická rovina jednou z těchto tří fuchsijských skupin.

Mez pro systolickou délku a systolický poměr

The Věta o Gauss-Bonnetovi tvrdí, že

{displaystyle chi (Sigma) = {frac {1} {2pi}} int _ {Sigma} K (u), dA,}

kde ${displaystyle chi (Sigma)}$ je Eulerova charakteristika povrchu a ${displaystyle K (u)}$ je Gaussovo zakřivení . V případě ${displaystyle g = 14}$ my máme

{displaystyle chi (Sigma) = - 26}

a

{displaystyle K (u) = - 1,}

tak získáme, že plocha těchto povrchů je

{displaystyle 52pi}

.

Dolní mez na systola jak je uvedeno v [2], a to

{displaystyle {frac {4} {3}} log (g (Sigma)),}

je 3,5187.

Některé konkrétní podrobnosti o každém z povrchů jsou uvedeny v následujících tabulkách (počet systolických smyček je převzat z [3]). Termín Systolická stopa označuje nejméně sníženou stopu prvku v příslušné podskupině ${displaystyle {mathcal {Q}} _ {Hur} ^ {1} (I)}$ . Systolický poměr je poměr čtverce systoly k ploše.

Ideál	${displaystyle 3-2eta vartriangleleft O_ {K}}$
Systole	5.9039
Systolická stopa	${displaystyle -4eta ^ {2} -8eta -3}$
Systolický poměr	0.2133
Počet systolických smyček	91

Ideál	${displaystyle eta + 3vartriangleleft O_ {K}}$
Systole	6.3933
Systolická stopa	${displaystyle 5eta ^ {2} + 11eta +3}$
Systolický poměr	0.2502
Počet systolických smyček	78

Ideál	${displaystyle 2eta -1vartriangleleft O_ {K}}$
Systole	6.8879
Systolická stopa	${displaystyle -7eta ^ {2} -14eta -3}$
Systolický poměr	0.2904
Počet systolických smyček	364

Viz také

(2,3,7) trojúhelníková skupina

Reference

Elkies, N. (1999). Kleinova kvartika v teorii čísel. Osmkrát. Matematika. Sci. Res. Inst. Publ. 35. Cambridge: Cambridge Univ. Lis. str. 51–101.
Katz, M .; Schaps, M .; Vishne, U. (2007). "Logaritmický růst systoly aritmetických Riemannův povrchů v kongruenčních podskupinách". J. Diferenciální Geom. 76: 399–422. arXiv:math.DG / 0505007.
Vogeler, R. (2003). "Na geometrii povrchů Hurwitzu". Teze. Florida State University. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)