Nerovnost hnisu - Pus inequality - Wikipedia

Animace Římský povrch zastupující RP² v R³

v diferenciální geometrie, Pu je nerovnost, prokázáno Pao Ming Pu, se týká plocha libovolného Riemannova plocha homeomorfní k skutečná projektivní rovina s délky uzavřených křivek v něm obsažených.

Prohlášení

Student Charles Loewner, Pu prokázal ve své práci z roku 1950 (Pu 1952 ) že každý Riemannian povrch ${ displaystyle M}$ homeomorfní k skutečná projektivní rovina uspokojuje nerovnost

${ displaystyle operatorname {Area} (M) geq { frac {2} { pi}} operatorname {Systole} (M) ^ {2},}$

kde ${ displaystyle operatorname {Systole} (M)}$ je systola z ${ displaystyle M}$Rovnosti je dosaženo přesně tehdy, když má metrika konstantní hodnotu Gaussovo zakřivení.

Jinými slovy, pokud vše nekontrolovatelné smyčky v ${ displaystyle M}$ mít alespoň délku ${ displaystyle L}$, pak ${ displaystyle operatorname {Area} (M) geq { frac {2} { pi}} L ^ {2},}$ a rovnost platí tehdy a jen tehdy ${ displaystyle M}$ se získává z euklidovské sféry o poloměru ${ displaystyle r = L / pi}$ identifikací každého bodu s jeho antipodálem.

Papův článek také uvedl poprvé Loewnerova nerovnost, podobný výsledek pro Riemannovy metriky na torus.

Důkaz

Pu původní důkaz se opírá o věta o uniformizaci a používá průměrný argument, jak následuje.

Tím, uniformizace, Riemannian povrch ${ displaystyle (M, g)}$ je konformně difeomorfní do kruhové projektivní roviny. To znamená, že můžeme předpokládat, že povrch ${ displaystyle M}$ se získává z euklidovské sféry jednotek ${ displaystyle S ^ {2}}$ identifikací antipodálních bodů a Riemannovým délkovým prvkem v každém bodě ${ displaystyle x}$ je

${ displaystyle mathrm {dLength} = f (x) mathrm {dLength} _ { text {Euclidean}},}$

kde ${ displaystyle mathrm {dLength} _ { text {Euclidean}}}$ je euklidovský prvek délky a funkce ${ displaystyle f: S ^ {2} do (0, + infty)}$, nazvaný konformní faktor, splňuje ${ displaystyle f (-x) = f (x)}$.

Přesněji řečeno, univerzální kryt ${ displaystyle M}$ je ${ displaystyle S ^ {2}}$, smyčka ${ displaystyle gamma subseteq M}$ je nezpochybnitelná právě tehdy, když je zvednutá ${ displaystyle { widetilde { gamma}} subseteq S ^ {2}}$ jde z jednoho bodu do jeho protikladu a délka každé křivky ${ displaystyle gamma}$ je

${ displaystyle operatorname {Length} ( gamma) = int _ { widetilde { gamma}} f , mathrm {dLength} _ { text {Euclidean}}.}$

S výhradou omezení, že každá z těchto délek je alespoň ${ displaystyle L}$, chceme najít ${ displaystyle f}$ který minimalizuje

${ displaystyle operatorname {Area} (M, g) = int _ {S _ {+} ^ {2}} f (x) ^ {2} , mathrm {dArea} _ { text {Euclidean}} (X),}$

kde ${ displaystyle S _ {+} ^ {2}}$ je horní polovina koule.

Klíčovým poznatkem je, že když průměrujeme několik různých ${ displaystyle f_ {i}}$ které splňují omezení délky a mají stejnou plochu ${ displaystyle A}$, pak získáme lepší konformní faktor ${ displaystyle f _ { text {nový}} = { frac {1} {n}} součet _ {0 leq i$, který také splňuje omezení délky a má

${ displaystyle operatorname {Area} (M, g _ { text {new}}) = int _ {S _ {+} ^ {2}} left ({ frac {1} {n}} sum _ {i} f_ {i} (x) right) ^ {2} mathrm {dArea} _ { text {Euclidean}} (x)}$

${ displaystyle qquad qquad leq { frac {1} {n}} součet _ {i} left ( int _ {S _ {+} ^ {2}} f_ {i} (x) ^ { 2} mathrm {dArea} _ { text {Euclidean}} (x) right) = A,}$

a nerovnost je přísná, pokud funkce nefunguje ${ displaystyle f_ {i}}$ jsou rovny.

Způsob, jak vylepšit jakoukoli nekonstantní ${ displaystyle f}$ je získat různé funkce ${ displaystyle f_ {i}}$ z ${ displaystyle f}$ použitím rotace koule ${ displaystyle R_ {i} v SO ^ {3}}$, definování ${ displaystyle f_ {i} (x) = f (R_ {i} (x))}$. Kdybychom průměr za všechny možné rotace, pak dostaneme ${ displaystyle f _ { text {nový}}}$ to je konstantní ve všech sférách. Tuto konstantu můžeme dále snížit na minimální hodnotu ${ displaystyle r = { frac {L} { pi}}}$ povoleno omezením délky. Poté získáme metodu získání jedinečné metriky, která dosahuje minimální plochy ${ displaystyle 2 pi r ^ {2} = { frac {2} { pi}} L ^ {2}}$.

Reformulace

Alternativně každá metrika koule ${ displaystyle S ^ {2}}$ invariant pod antipodální mapou připouští dvojici protilehlých bodů ${ displaystyle p, q v S ^ {2}}$ na Riemannovu vzdálenost ${ displaystyle d = d (p, q)}$ uspokojující ${ displaystyle d ^ {2} leq { frac { pi} {4}} operatorname {area} (S ^ {2}).}$

Podrobnější vysvětlení tohoto hlediska lze nalézt na stránce Úvod do systolické geometrie.

Domněnka o vyplnění oblasti

Alternativní formulace Puovy nerovnosti je následující. Ze všech možných náplní Riemannov kruh délky ${ displaystyle 2 pi}$ podle a ${ displaystyle 2}$-dimenzionální disk se silně izometrickou vlastností, kulatý polokoule má nejmenší plochu.

Abychom vysvětlili tuto formulaci, začneme pozorováním, že rovníková kružnice jednotky ${ displaystyle 2}$-koule ${ displaystyle S ^ {2} podmnožina mathbb {R} ^ {3}}$ je Riemannov kruh ${ displaystyle S ^ {1}}$ délky ${ displaystyle 2 pi}$. Přesněji řečeno, Riemannova vzdálenostní funkce ${ displaystyle S ^ {1}}$ je indukován z okolní Riemannovy vzdálenosti na kouli. Všimněte si, že tato vlastnost není uspokojena standardním vložením kruhové jednotky do euklidovské roviny. Ve skutečnosti je euklidovská vzdálenost mezi dvojicí protilehlých bodů kruhu pouze ${ displaystyle 2}$zatímco v Riemannově kruhu je ${ displaystyle pi}$.

Zvažujeme všechny výplně ${ displaystyle S ^ {1}}$ podle a ${ displaystyle 2}$-dimenzionální disk, takže metrika indukovaná zahrnutím kruhu jako hranice disku je Riemannianmetrická kružnice délky ${ displaystyle 2 pi}$. Zahrnutí kruhu jako hranice se pak nazývá silně izometrické vložení kruhu.

Gromov domnělý že kulatá hemisféra poskytuje „nejlepší“ způsob vyplnění kruhu, i když má plnicí plocha pozitivní rod (Gromov 1983 ).

Izoperimetrická nerovnost

Puova nerovnost se zvědavě podobá té klasické izoperimetrická nerovnost

${ displaystyle L ^ {2} geq 4 pi A}$

pro Jordan křivky v letadle, kde ${ displaystyle L}$ je délka křivky while ${ displaystyle A}$ je oblast oblasti, kterou ohraničuje. Totiž v obou případech je 2-rozměrná veličina (plocha) ohraničena (druhou mocninou) 1-rozměrnou veličinou (délkou). Nerovnost však jde opačným směrem. Puovu nerovnost lze tedy považovat za „opačnou“ izoperimetrickou nerovnost.

Viz také

• Domněnka o vyplnění oblasti
• Gromovova systolická nerovnost pro základní potrubí
• Gromovova nerovnost pro složitý projektivní prostor
• Nerovnost torusu Loewnera
• Systolická geometrie
• Systoly povrchů

Reference

• Gromov, Mikhael (1983). „Plnění Riemannovských potrubí“. J. Diferenciální Geom. 18 (1): 1–147. doi:10,4310 / jdg / 1214509283. PAN  0697984.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Gromov, Mikhael (1996). "Systoly a intersystémové nerovnosti". V Besse, Arthur L. (ed.). Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992) [Sborník kulatého stolu o diferenciální geometrii]. Séminaires et Congrès. 1. Paris: Soc. Matematika. Francie. str. 291–362. ISBN  2-85629-047-7. PAN  1427752.
• Gromov, Misha (1999) [1981]. Metrické struktury pro Riemannovy a neriemannovské prostory. Pokrok v matematice. 152. S dodatky M. Katze, P. Pansu a S. Semmese. Z francouzštiny přeložil Sean Michael Bates. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN  0-8176-3898-9. PAN  1699320.
• Katz, Michail G. (2007). Systolická geometrie a topologie. Matematické průzkumy a monografie. 137. S dodatkem J. Solomona. Providence, RI: Americká matematická společnost. doi:10.1090 / přežít / 137. ISBN  978-0-8218-4177-8. PAN  2292367.
• Pu, Pao Ming (1952). „Některé nerovnosti v určitých neorientovatelných Riemannovských varietách“. Pacific J. Math. 2 (1): 55–71. doi:10.2140 / pjm.1952.2.55. PAN  0048886.CS1 maint: ref = harv (odkaz)