Lež konformní algebra - Lie conformal algebra

A Lež konformní algebra je v určitém smyslu zobecněním a Lež algebra v tom je také „Lieova algebra“, i když v jiné pseudotenzor kategorie. Lež konformní algebry jsou velmi úzce spjaty vrcholné algebry a mají mnoho aplikací v jiných oblastech algebry a integrovatelných systémů.

Definice a vztah k Lieovým algebrám

Liege algebra je definována jako vektorový prostor s a zkosení symetrické bilineární násobení, které uspokojí Jacobi identita. Obecněji je Lieova algebra objektem, ${ displaystyle L}$ v kategorii vektorové prostory (číst: ${ displaystyle mathbb {C}}$-modulů) s a morfismus

${ displaystyle [ cdot, cdot]: L otimes L rightarrow L}$

to je šikmo symetrické a splňuje Jacobi identitu. Lež konformní algebra je tedy objekt ${ displaystyle R}$ v kategorii ${ displaystyle mathbb {C} [ částečné]}$-moduly s morfismem

${ displaystyle [ cdot _ { lambda} cdot]: R otimes R rightarrow mathbb {C} [ lambda] otimes R}$

nazývá se lambda závorka, která splňuje upravené verze bilinearity, zkosené symetrie a Jacobiho identity:

${ displaystyle [ částečné a _ { lambda} b] = - lambda [a _ { lambda} b], [a _ { lambda} částečné b] = ( lambda + částečné) [a _ { lambda} b],}$

${ displaystyle [a _ { lambda} b] = - [b _ {- lambda - částečné} a], ,}$

${ displaystyle [a _ { lambda} [b _ { mu} c]] - [b _ { mu} [a _ { lambda} c]] = [[a _ { lambda} b] _ { lambda + mu} c]. ,}$

Je vidět, že odstraněním všech lambda, mu a partials z hranatých závorek má jeden definici Lieovy algebry.

Příklady Lieových konformních algeber

Jednoduchým a velmi důležitým příkladem Lie konformní algebry je Virasoro konformní algebra. Přes ${ displaystyle mathbb {C} [ částečné]}$ je generován jediným prvkem ${ displaystyle L}$ s držákem lambda daným

${ displaystyle [L _ { lambda} L] = (2 lambda + částečné) L. ,}$

Wakimoto ve skutečnosti ukázal, že jakákoli konformní algebra Lie s konzolou lambda uspokojující Jacobiho identitu na jednom generátoru je ve skutečnosti konformní algebra Virasoro.

Klasifikace

Ukázalo se, že jakýkoli konečně generovaný (jako a ${ displaystyle mathbb {C} [ částečné]}$-module) jednoduchá Lie konformní algebra je izomorfní s konformní algebrou Virasoro, aktuální konformní algebrou nebo polopřímým součinem obou.

Existují také částečné klasifikace nekonečných subalgeb ${ displaystyle { mathfrak {gc}} _ {n}}$ a ${ displaystyle { mathfrak {cend}} _ {n}}$.

Zobecnění

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Ledna 2011)

Použití v integrovatelných systémech a vztah k variačnímu počtu

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Ledna 2011)

Reference

• Victor Kac „Vertexové algebry pro začátečníky“. Série univerzitních přednášek, 10. American Mathematical Society, 1998. viii + 141 stran ISBN  978-0-8218-0643-2