Super Virasoro algebra - Super Virasoro algebra

v matematická fyzika, a super Virasoro algebra je rozšíření z Virasoro algebra do a Lež superalgebra. V systému existují dvě rozšíření se zvláštním významem teorie superstrun: Ramondova algebra (pojmenoval podle Pierre Ramond )^[1] a Neveu – Schwarzova algebra (pojmenoval podle André Neveu a John Henry Schwarz ).^[2] Obě algebry mají N = 1 supersymetrie a rovnoměrná část daná Virasoro algebrou. Popisují symetrie superstruny ve dvou různých sektorech, které se nazývají Ramondův sektor a Sektor Neveu – Schwarz.

The N = 1 super Virasoro algebry

Existují dvě minimální rozšíření Virasoro algebry s N = 1 supersymetrie: Ramondova algebra a Neveu – Schwarzova algebra. Oba jsou Lieovy superalgebry, jejichž sudou částí je Virasoroova algebra: tato Lieova algebra má základ skládající se z centrální prvek C a generátory L_m (pro celé číslo m) uspokojující

${ displaystyle [L_ {m}, L_ {n}] = (mn) L_ {m + n} + { frac {c} {12}} m (m ^ {2} -1) delta _ {m + n, 0}}$

kde ${ displaystyle delta _ {i, j}}$ je Kroneckerova delta.

Zvláštní část algebry má základ ${ displaystyle G_ {r}}$ , kde ${ displaystyle r}$ je buď celé číslo (případ Ramond), nebo polovina liché celé číslo (případ Neveu – Schwarz). V obou případech, ${ displaystyle c}$ je v superalgebře ústřední a další odstupňované závorky jsou dány vztahem

${ displaystyle [L_ {m}, G_ {r}] = doleva ({ frac {m} {2}} - r doprava) G_ {m + r}}$

${ displaystyle {G_ {r}, G_ {s} } = 2L_ {r + s} + { frac {c} {3}} vlevo (r ^ {2} - { frac {1} { 4}} vpravo) delta _ {r + s, 0}}$

Tato poslední závorka je antikomutátor, nikoli komutátor, protože oba generátory jsou liché.

Ramondova algebra má a prezentace pokud jde o 2 generátory a 5 podmínek; a algebra Neveu-Schwarz má prezentaci, pokud jde o 2 generátory a 9 podmínek.^[3]

Zastoupení

Unitární reprezentace s nejvyšší hmotností z těchto algeber mají klasifikaci analogickou ke klasifikaci pro Virasoro algebru, s kontinuem reprezentací spolu s nekonečnou diskrétní řadou. Existenci těchto diskrétních řad předpokládal Daniel Friedan, Zongan Qiu a Stephen Shenker (1984). Bylo prokázáno Peter Goddard, Adrian Kent a David Olive (1986), za použití supersymetrické generalizace cosetová konstrukce nebo GKO konstrukce.

Aplikace na teorii superstrun

V teorii superstrun je fermionická pole na uzavřený řetězec mohou být na kruhu kolem řetězce periodické nebo antiperiodické. Státy v „ramondském sektoru“ připouštějí jednu možnost (periodické podmínky se označují jako Ramond okrajové podmínky), popsaný Ramondovou algebrou, zatímco ti v „sektoru Neveu – Schwarz“ připouštějí i další (antiodiodické podmínky se označují jako Okrajové podmínky Neveu – Schwarz), popsaný algebrou Neveu – Schwarz.

Pro fermionické pole, periodicita závisí na volbě souřadnic na světový list. V w-rám, ve kterém je světový list stavu jednoho řetězce popsán jako dlouhý válec, jsou státy v sektoru Neveu – Schwarz antioperiodické a státy v sektoru Ramond jsou periodické. V rám z, ve kterém je světový list stavu jednoho řetězce popsán jako nekonečná propíchnutá rovina, opak je pravdou.

Sektor Neveu – Schwarz a Ramondův sektor jsou také definovány v otevřeném řetězci a závisí na okrajových podmínkách fermionické pole na okrajích otevřeného řetězce.

Viz také

Poznámky

^ Ramond, P. (1971-05-15). „Duální teorie pro volné fermiony“. Fyzický přehled D. Americká fyzická společnost (APS). 3 (10): 2415–2418. doi:10.1103 / physrevd.3.2415. ISSN 0556-2821.
^ Neveu, A .; Schwarz, J.H. (1971). „Duální model bez tachyonu s trajektorií pozitivního zachycení“. Fyzikální písmena B. Elsevier BV. 34 (6): 517–518. doi:10.1016/0370-2693(71)90669-1. ISSN 0370-2693.
^ Fairlie, D. B .; Nuyts, J .; Zachos, C. K. (1988). "Prezentace pro algebry Virasoro a super-Virasoro". Komunikace v matematické fyzice. 117 (4): 595. Bibcode:1988CMaPh.117..595F. doi:10.1007 / BF01218387.

Reference

Becker, K .; Becker, M .; Schwarz, J.H. (2007), Teorie strun a teorie M: Moderní úvod, Cambridge University Press, ISBN 0-521-86069-5
Goddard, P.; Kent, A .; Olive, D. (1986), „Jednotná zobrazení algebry Virasoro a super-Virasoro“, Comm. Matematika. Phys., 103: 105–119, Bibcode:1986CMaPh.103..105G, doi:10.1007 / bf01464283, archivovány z originál dne 2012-12-09
Zelená, Michael B.; Schwarz, John H.; Witten, Edward (1988a), Teorie superstrun, svazek 1: Úvod, Cambridge University Press, ISBN 0521357527
Kac, Victor G .; Todorov, Ivan T. (1985), „Superkonformní proudové algebry a jejich unitární reprezentace“, Comm. Matematika. Phys., 102: 337–347, Bibcode:1985CMaPh.102..337K, doi:10.1007 / bf01229384
Kazama, Yoichi; Suzuki, Hisao (1989), „Nové N = 2 superkonformní teorie pole a zhutnění superstrun "", Jaderná fyzika B, 321: 232–268, Bibcode:1989NuPhB.321..232K, doi:10.1016/0550-3213(89)90250-2
Mezincescu, L .; Nepomechie, I .; Zachos, C. K. (1989). "(Super) konformní algebra na (super) torusu". Jaderná fyzika B. 315: 43. Bibcode:1989NuPhB.315 ... 43M. doi:10.1016/0550-3213(89)90448-3.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)

[1] Ramond, P. (1971-05-15). „Duální teorie pro volné fermiony“. Fyzický přehled D. Americká fyzická společnost (APS). 3 (10): 2415–2418. doi:10.1103 / physrevd.3.2415. ISSN 0556-2821.

[2] Neveu, A .; Schwarz, J.H. (1971). „Duální model bez tachyonu s trajektorií pozitivního zachycení“. Fyzikální písmena B. Elsevier BV. 34 (6): 517–518. doi:10.1016/0370-2693(71)90669-1. ISSN 0370-2693.

[3] Fairlie, D. B .; Nuyts, J .; Zachos, C. K. (1988). "Prezentace pro algebry Virasoro a super-Virasoro". Komunikace v matematické fyzice. 117 (4): 595. Bibcode:1988CMaPh.117..595F. doi:10.1007 / BF01218387.

[1]

[2]

[3]