N = 2 superkonformní algebra - N = 2 superconformal algebra
v matematická fyzika, 2D N = 2 superkonformní algebra je nekonečně dimenzionální Lež superalgebra, související s supersymetrie, který se vyskytuje v teorie strun a teorie dvourozměrného konformního pole. Má důležité aplikace v zrcadlová symetrie. Představili jej M. Ademollo, L. Brink a A. D'Adda a kol. (1976 ) jako měřicí algebra fermionické struny U (1).
Definice
Existují dva mírně odlišné způsoby, jak popsat N = 2 superkonformní algebra, nazývaná N = 2 Ramondova algebra a N = 2 Neveu – Schwarzova algebra, které jsou izomorfní (viz níže), ale liší se výběrem standardní báze. The N = 2 superkonformní algebra je Lieova superalgebra se základem sudých prvků C, Ln, Jn, pro n celé číslo a liché prvky G+
r, G−
r, kde (pro Ramondův základ) nebo (na základě Neveu – Schwarz) definované následujícími vztahy:[1]
- C je ve středu
Li v těchto vztazích to přinášíN = 2 Ramondova algebra; zatímco pokud jsou napůl celá čísla, dává N = 2 Neveu – Schwarzova algebra. Provozovatelé generovat Lieovu subalgebru isomorfní s Virasoro algebra. Společně s provozovateli , generují Lieovu superalgebru isomorfní s super Virasoro algebra, což dává Ramondovu algebru, pokud jsou celá čísla a jinak Neveu – Schwarzova algebra. Při zastoupení jako operátoři na a komplexní vnitřní produktový prostor, se chová jako násobení skutečným skalárem, označeným stejným písmenem a nazývaným centrální poplatek, a adjoint struktura je následující:
Vlastnosti
- The N = 2 Ramond a Neveu – Schwarzovy algebry jsou izomorfní izomorfismem spektrálního posunu z Schwimmer & Seiberg (1987):
- s inverzí:
- V N = 2 Ramondova algebra, operátoři nulového režimu , , a konstanty tvoří pětidimenzionální Lieovu superalgebru. Uspokojují stejné vztahy jako základní operátoři v Kählerova geometrie, s odpovídající Laplacian, operátor titulu a the a operátory.
- Dokonce i celočíselné síly spektrálního posunu dávají automatorfismy N = 2 superkonformní algebry, nazývané automatorfismy spektrálního posunu. Další automorfismus , období dva, je dáno
- Pokud jde o provozovatele Kähler, odpovídá konjugaci složité struktury. Od té doby , automatorfismy a generovat skupinu automorfismů N = 2 superkonformní algebra isomorfní s nekonečná dihedrální skupina .
- Zkroucené operátory byly představeny Eguchi & Yang (1990) a uspokojit:
- aby tito operátoři uspokojili vztah Virasoro s centrálním nábojem 0. Konstanta stále se objevuje ve vztazích pro a upravené vztahy
Stavby
Stavba volného pole
Green, Schwarz & Witten (1988) dát konstrukci pomocí dvou dojíždění skutečné bosonická pole ,
a komplex fermionické pole
je definován jako součet operátorů Virasoro přirozeně spojených s každým ze tří systémů
kde normální objednávání byl použit pro bosony a fermiony.
Aktuální operátor je definována standardní konstrukcí z fermionů
a dva supersymetrické operátory podle
Tím se získá N = 2 Neveu – Schwarzova algebra sC = 3.
SU (2) supersymetrická konstrukce cosetu
Di Vecchia a kol. (1986) dal cosetovou konstrukci N = 2 superkonformní algebry zobecňující cosetové konstrukce z Goddard, Kent & Olive (1986) pro diskrétní řady reprezentací Virasoro a super Virasoro algebry. Vzhledem k zastoupení afinní Kac – Moodyho algebra z SU (2) na úrovni se základem uspokojující
supersymetrické generátory jsou definovány
Tím se získá N = 2 superkonformní algebra s
- .
Algebra dojíždí s bosonickými operátory
Prostor fyzikální stavy skládá se z vlastní vektory z současně zničen je pro pozitivní a operátor přeplňování
- (Neveu – Schwarz)
- (Ramond)
Operátor přeplňování dojíždí s působením afinní Weylovy skupiny a fyzikální stavy leží na jedné oběžné dráze této skupiny, což je skutečnost, která implikuje Weyl-Kac charakter vzorec.[2]
Supersymetrická konstrukce korzetu Kazama – Suzuki
Kazama & Suzuki (1989) zobecnil cosetovou konstrukci SU (2) na jakýkoli pár skládající se z jednoduchého kompaktní Lieova skupina a uzavřená podskupina maximální hodnosti, tj. obsahující a maximální torus z , s další podmínkou, že dimenze středu je nenulová. V tomto případě kompaktní Hermitovský symetrický prostor je potrubí Kähler, například když . Fyzikální stavy leží na jedné oběžné dráze afinní Weylovy skupiny, což opět implikuje Weyl-Kacův vzorec znaků pro afinní Kac-Moodyho algebru .[3]
Viz také
Poznámky
- ^ Green, Schwarz & Witten 1998a, str. 240–241
- ^ Wassermann 2010
- ^ Wassermann 2010
Reference
- Ademollo, M .; Brink, L .; D'Adda, A .; D'Auria, R .; Napolitano, E .; Sciuto, S .; Giudice, E. Del; Vecchia, P. Di; Ferrara, S .; Gliozzi, F .; Musto, R .; Pettorino, R. (1976), „Supersymetrické řetězce a omezení barev“, Fyzikální písmena B, 62 (1): 105–110, Bibcode:1976PhLB ... 62..105A, doi:10.1016/0370-2693(76)90061-7
- Boucher, W .; Freidan, D; Kent, A. (1986), „Determinant formulas and unitarity for the N = 2 superkonformní algebry ve dvou rozměrech nebo přesné výsledky zhutnění strun ", Phys. Lett. B, 172 (3–4): 316–322, Bibcode:1986PhLB..172..316B, doi:10.1016/0370-2693(86)90260-1
- Di Vecchia, P .; Petersen, J.L .; Mňam.; Zheng, H. B. (1986), „Explicitní konstrukce jednotných reprezentací N = 2 superkonformní algebra ", Phys. Lett. B, 174 (3): 280–284, Bibcode:1986PhLB..174..280D, doi:10.1016/0370-2693(86)91099-3
- Eguchi, Tohru; Yang, Sung-Kil (1990), "N = 2 superkonformní modely jako topologické teorie pole ", Mod. Phys. Lett. A, 5: 1693–1701, doi:10.1142 / S0217732390001943
- Goddard, P.; Kent, A .; Olive, D. (1986), „Jednotná zobrazení algebry Virasoro a super-Virasoro“, Comm. Matematika. Phys., 103 (1): 105–119, Bibcode:1986CMaPh.103..105G, doi:10.1007 / bf01464283
- Zelená, Michael B.; Schwarz, John H.; Witten, Edward (1988a), Teorie superstrun, svazek 1: Úvod, Cambridge University Press, ISBN 0-521-35752-7
- Zelená, Michael B.; Schwarz, John H.; Witten, Edward (1988b), Teorie superstrun, svazek 2: Amplitudy smyčky, anomálie a fenomenologie, Cambridge University Press, Bibcode:1987cup..bookR .... G, ISBN 0-521-35753-5
- Kazama, Yoichi; Suzuki, Hisao (1989), „Nové N = 2 superkonformní teorie pole a zhutnění superstrun "", Jaderná fyzika B, 321 (1): 232–268, Bibcode:1989NuPhB.321..232K, doi:10.1016/0550-3213(89)90250-2
- Schwimmer, A .; Seiberg, N. (1987), „Komentáře k dokumentu N = 2, 3, 4 superkonformní algebry ve dvou rozměrech ", Phys. Lett. B, 184 (2–3): 191–196, Bibcode:1987PhLB..184..191S, doi:10.1016/0370-2693(87)90566-1
- Voisin, Claire (1999), Zrcadlová symetrie, Texty a monografie SMF / AMS, 1Americká matematická společnost, ISBN 0-8218-1947-X
- Wassermann, A. J. (2010) [1998]. „Poznámky k přednášce o algebrách Kac-Moodyho a Virasoro“. arXiv:1004.1287.
- West, Peter C. (1990), Úvod do supersymetrie a supergravitace (2. vyd.), World Scientific, str. 337–8, ISBN 981-02-0099-4