Externí (matematika) - External (mathematics)
![]() | tento článek ne uvést žádný Zdroje.Prosinec 2007) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
Termín externí je užitečné pro popis určitých algebraických struktur. Termín pochází z konceptu externí binární operace což je binární operace, která čerpá z některých externí sada. Přesněji řečeno, a levá externí binární operace na S přes R je funkce a a pravá externí binární operace na S přes R je funkce kde S je sada, na které je operace definována, a R je externí sada (sada operace je definována přes).[1]
Zobecnění
The externí pojem je spíše zobecněním než specializací, a jako takový se liší od mnoha pojmů v matematice. Podobný, ale opačný koncept je koncept interní binární funkce z R na S, definované jako funkce . Interní binární funkce jsou jako binární funkce, ale jsou formou specializace, takže přijímají pouze podmnožinu domén binárních funkcí. Zde uvádíme tyto výrazy s funkce podpisy spolu s několika příklady znamenají:
- (binární funkce )
- Příklad: umocňování ( jako v ),
- Příklad: nastavit členství ( kde je kategorie sad )
- Příklady: násobení matic, tenzorový produkt a kartézský součin
- (interní binární funkce)
- Příklad: interní binární vztahy ()
- Příklady: Tečkovaný produkt, vnitřní produkt, a metriky.
- (externí binární operace )
- Příklady: dynamický systém teče, skupinové akce, projekční mapy, a skalární násobení.
- (binární operace ).
- Příklady: přidání, násobení, obměny a křížový produkt.
Externí monoidy
Od té doby monoidy jsou definovány v pojmech binární operace, můžeme definovat externí monoid ve smyslu externí binární operace. Kvůli jednoduchosti, pokud není uvedeno jinak, a vlevo, odjet externí binární operace je implikována. Používání termínu externímůžeme zobecnit:
- An externí magma přes R je sada S s externí binární operací. To uspokojuje pro všechny (externí uzavření ).
- An externí poloskupina přes je vnější magma, které uspokojuje pro všechny (navenek asociativní ).
- An externí monoidní přes je externí poloskupina, ve které existuje takhle pro všechny (má externí prvek identity ).
Moduly jako externí kroužky
Hodně ze strojů moduly a vektorové prostory jsou poměrně jednoduché nebo diskutované výše. Jedinou věcí, která dosud není pokryta, jsou jejich distribuční axiomy. Násobení externího vyzvánění je externě distribuční v přes prsten iff:
- pro všechny a:
- pro všechny
Pomocí této terminologie můžeme provést následující místní zevšeobecnění:
- An externí semiring přes semiring je komutativní monoidní a externí monoid kde je externě distribuční v přes semiring .
- An vnější kroužek přes prsten je abelianská skupina a externí monoid kde je externě distribuční v přes prsten .
Další příklady
Nyní, když máme veškerou terminologii, kterou potřebujeme, můžeme provádět jednoduchá propojení mezi různými strukturami:
- Složitá umocňování tvoří vnější monoidní přes abelianská skupina .
- Prime faktorizační lesy tvoří vnější semiring přes semiring .
- A dynamický systém je externí monoid přes monoidní .
- A semimodul je externí semiring přes semiring.
- A modul je vnější kroužek přes prsten.
- A vektorový prostor je vnější kroužek přes pole.
Účelnost
Dalo by se argumentovat, že již máme pojmy pro zde popsané pojmy, jako dynamické systémy, skupinové akce, moduly, a vektorové prostory. Stále však není k dispozici žádná jiná terminologie externí monoid pro které nám tato terminologie dává výstižné vyjádření. To je především důvod, proč by tento termín měl být použit v matematické komunitě.
Reference
- ^ Fraleigh, John B. (1976), První kurz v abstraktní algebře (2. vydání), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1