Supersolable group - Supersolvable group

v matematika, a skupina je supersolvable (nebo rozpustný) pokud má invariant normální série kde jsou všechny faktory cyklické skupiny. Supersolvabilita je silnější než představa řešitelnost.

Definice

Nechat G být skupina. G je supersolvable if there a normální série

${displaystyle {1} = H_ {0} riangleleft H_ {1} riangleleft cdots riangleleft H_ {s-1} riangleleft H_ {s} = G}$

takové, že každý kvocientová skupina ${displaystyle H_ {i + 1} / H_ {i};}$ je cyklický a každý ${displaystyle H_ {i}}$ je normální v ${displaystyle G}$.

Naproti tomu pro a řešitelná skupina definice vyžaduje, aby každý kvocient byl abelian. Jiným směrem, a polycyklická skupina musí mít subnormální série s každým kvocientem cyklickým, ale neexistuje žádný požadavek, aby každý ${displaystyle H_ {i}}$ být normální v ${displaystyle G}$. Protože každá konečná řešitelná skupina je polycyklická, lze to považovat za jeden z klíčových rozdílů mezi definicemi. Konkrétním příkladem je střídavá skupina na čtyři body, ${displaystyle A_ {4}}$, je řešitelný, ale ne supersolvable.

Základní vlastnosti

Některá fakta o supersolvable groups:

• Supersolable groups are always polycyklický, a tedy řešitelný.
• Každý definitivně generováno nilpotentní skupina je supersolvable.
• Každý metacyklická skupina je supersolvable.
• The podskupina komutátoru supersolvable group is nilpotent.
• Podskupiny a kvocientové skupiny supersolvable skupin jsou supersolvable.
• Konečná superřešitelná skupina má invariantní normální řady s každým cyklickým faktorem hlavního řádu.
• Ve skutečnosti mohou být prvočísla vybrána v pěkném pořadí: Pro každé prvočíslo p a pro π množina prvočísel větší než p, konečná supersolvovatelná skupina má jedinečný sál π- podskupina. Takovým skupinám se někdy říká uspořádané skupiny věží Sylow.
• Každá skupina bez čtverce pořadí a každá skupina s cyklickými podskupinami Sylow (a Z-skupina ), je supersolvable.
• Každý neredukovatelné komplexní zastoupení konečné supersolvovatelné skupiny je monomiální, tj. indukovaný z lineárního charakteru podskupiny. Jinými slovy, každá konečná superřešitelná skupina je a monomiální skupina.
• Každý maximální podskupina v supersolvable group has prime index.
• Konečná skupina je překonatelná právě tehdy, má-li každá maximální podskupina primární index.
• Konečná skupina je překonatelná právě tehdy, když má každý maximální řetězec podskupin stejnou délku. To je důležité pro zájemce o mřížka podskupin skupiny a někdy se mu říká Stav řetězce Jordan – Dedekind.
• Podle Baumova věta, každá supersolvable konečná skupina má DFT algoritmus běží v čase Ó(n log n).^{[je zapotřebí objasnění ]}

Reference

• Schenkman, Eugene. Skupinová teorie. Krieger, 1975.
• Schmidt, Roland. Podskupinová mřížka skupin. de Gruyter, 1994.
• Conrad, Keith, ŘADA PODskupiny II, oddíl 4 , http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/subgpseries2.pdf

Tento abstraktní algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.