Julia set - Julia set - Wikipedia

Sada Julia

Přehrát média

Trojrozměrné řezy skrz (čtyřrozměrnou) sadu Julie funkce na čtveřice

V kontextu komplexní dynamika, téma matematika, Julia set a Fatou set jsou dva doplňkové sady (Julia „tkaničky“ a Fatou „prachy“) definované z a funkce. Fatouova sada funkce se neformálně skládá z hodnot s vlastností, pod kterou se všechny blízké hodnoty chovají podobně opakovaná iterace funkce a sada Julia se skládá z hodnot, které jsou libovolně malé rozrušení může způsobit drastické změny v posloupnosti iterovaných hodnot funkcí. Chování funkce na sadě Fatou je tedy „běžné“, zatímco na sadě Julia je její chování „chaotický ".

Sada funkce Julia F se běžně označuje J(F) a je označena množina Fatou F(F).^[1] Tyto sady jsou pojmenovány podle francouzských matematiků Gaston Julia^[2] a Pierre Fatou^[3] jehož práce zahájila studium komplexní dynamika na počátku 20. století.

Formální definice

Nechat F(z) být nekonstantní holomorfní funkce z Riemannova koule na sebe. Takový F(z) jsou přesně nekonstantní komplex racionální funkce, to znamená, ${ displaystyle f (z) = p (z) / q (z)}$, kde str(z) a q(z) jsou složité polynomy. Předpokládat, že str a q nemají společné kořeny a alespoň jeden má stupeň větší než 1. Pak je konečný počet otevřené sady F₁, ..., F_r, které jsou ponechány neměnnými F(z) a jsou takové, že:

1. spojení množin F_i je hustý v rovině a
2. F(z) se chová pravidelně a stejně na každé ze sad F_i.

Poslední výrok znamená, že konce sekvencí iterací generovaných body F_i jsou buď přesně stejná množina, která je pak konečným cyklem, nebo jsou to konečné cykly kruhových nebo prstencovitých tvarových množin, které leží soustředně. V prvním případě je cyklus přitahovat, ve druhém je neutrální.

Tyto sady F_i jsou Fatou domény z F(z) a jejich svazkem je sada Fatouů F(F) z F(z). Každá z domén Fatou obsahuje alespoň jednu kritický bod z F(z), tj. (konečný) bod z uspokojující ${ displaystyle f '(z) = 0}$nebo ${ displaystyle f (z) = infty}$, pokud je stupeň čitatele str(z) je nejméně o dva větší než stupeň jmenovatele q(z), nebo když ${ displaystyle f (z) = 1 / g (z) + c}$ pro některé C a racionální funkce G(z) splňující tuto podmínku.

Doplněk F(F) je sada Julia J(F) z F(z). Pokud jsou všechny kritické body preperiodické, to znamená, že nejsou periodické, ale nakonec přistávají v periodickém cyklu J(F) je celá sféra; v opačném případě, J(F) není nikde hustá sada (je bez vnitřních bodů) a nespočet sada (stejná mohutnost jako reálná čísla). Jako F(F), J(F) je ponechán neměnný od F(z), a na této sadě je iterace odpuzující, což znamená, že ${ displaystyle | f (z) -f (w) |> | z-w |}$ pro všechny w v sousedství z (v rámci J(F)). Tohle znamená tamto F(z) se na setu Julia chová chaoticky. Přestože v sadě Julia existují body, jejichž posloupnost iterací je konečná, existuje pouze a počitatelný počet takových bodů (a tvoří nekonečně malou část sady Julia). Sekvence generované body mimo tuto množinu se chovají chaoticky, což je jev zvaný deterministický chaos.

Tam byl rozsáhlý výzkum na sadě Fatou a Julia set iterated racionální funkce, známé jako racionální mapy. Například je známo, že Fatouova sada racionální mapy má buď 0, 1, 2 nebo nekonečně mnoho komponenty.^[4] Každá složka Fatouovy sady racionální mapy může být rozdělena do jedné z čtyři různé třídy.^[5]

Ekvivalentní popisy sady Julia

• J(F) je nejmenší uzavřená množina obsahující alespoň tři body, která je zcela neměnná F.
• J(F) je uzavření sady odpuzující periodické body.
• Za všechny, ale maximálně dva body z ∈ X, sada Julia je sada mezních bodů celé zpětné dráhy ${ displaystyle bigcup _ {n} f ^ {- n} (z)}$. (To naznačuje jednoduchý algoritmus pro vykreslování sad Julia, viz níže.)
• Li F je celá funkce, pak J(F) je hranice množiny bodů, které se při iteraci sbíhají do nekonečna.
• Li F je tedy polynom J(F) je hranicí naplnil Julii; tj. ty body, jejichž oběžné dráhy procházejí iteracemi F zůstat omezený.

Vlastnosti sady Julia a Fatou

Sada Julia a sada Fatou F jsou oba zcela neměnný pod iteracemi holomorfní funkce F:^[6]

${ displaystyle f ^ {- 1} (J (f)) = f (J (f)) = J (f),}$

${ displaystyle f ^ {- 1} (F (f)) = f (F (f)) = F (f).}$

Příklady

Pro ${ displaystyle f (z) = z ^ {2}}$ množina Julia je jednotkový kruh a na tomto je iterace dána zdvojnásobením úhlů (operace, která je chaotická v bodech, jejichž argument není racionálním zlomkem ${ displaystyle 2 pi}$). Existují dvě domény Fatou: vnitřní a vnější kruh, s iterací směrem k 0 a ∞.

Pro ${ displaystyle g (z) = z ^ {2} -2}$ množina Julie je úsečka mezi −2 a 2. Existuje jedna Fatou doména: body, které nejsou na úsečce, iterují směrem k ∞. (Kromě posunu a změny měřítka domény je tato iterace ekvivalentní ${ displaystyle x až 4 (x - { tfrac {1} {2}}) ^ {2}}$ na jednotkovém intervalu, který se běžně používá jako příklad chaotického systému.)

Funkce f a g mají tvar ${ displaystyle z ^ {2} + c}$, kde C je komplexní číslo. Pro takovou iteraci není množina Julie obecně jednoduchá křivka, ale je to fraktál a pro některé hodnoty C může to mít překvapivé tvary. Podívejte se na obrázky níže.

Sada Julia (v bílé barvě) pro racionální funkci přidruženou k Newtonova metoda pro F : z→z³-1. Zbarvení Fatou podle atraktoru (kořeny F)

Pro některé funkce F(z) můžeme předem říci, že množina Julie je fraktál a ne jednoduchá křivka. Důvodem je následující výsledek iterací racionální funkce:

Teorém. Každá z domén Fatou má stejnou hranici, což je následně sada Julia.

To znamená, že každý bod sady Julia je bodem akumulace pro každou z domén Fatou. Pokud tedy existují více než dvě domény Fatou, každý bod sady Julia musí mít body více než dvou různých otevřených sad nekonečně blízko, což znamená, že sada Julia nemůže být jednoduchá křivka. K tomuto jevu dochází například, když F(z) je Newtonova iterace pro řešení rovnice ${ displaystyle P (z): = z ^ {n} -1 = 0, n> 2}$:

${ displaystyle f (z) = z - { frac {P (z)} {P '(z)}} = { frac {1+ (n-1) z ^ {n}} {nz ^ {n -1}}} ,.}$

Obrázek vpravo ukazuje případ n = 3.

Kvadratické polynomy

Julia se připravuje ${ displaystyle z ^ {2} +0,7885 , e ^ {ia}}$, kde A se pohybuje od 0 do ${ displaystyle 2 pi}$

Přehrát média

Video z Julie je nastaveno výše

Velmi populární komplexní dynamický systém je dán rodinou složité kvadratické polynomy, speciální případ racionální mapy. Takové kvadratické polynomy lze vyjádřit jako

${ displaystyle f_ {c} (z) = z ^ {2} + c,}$

kde C je komplexní parametr. Opravte některé ${ displaystyle R> 0}$ dost velký na to ${ displaystyle R ^ {2} -R geq | c |}$. (Například pokud ${ displaystyle c}$ je tedy v sadě Mandelbrot ${ displaystyle | c | leq 2}$, takže to můžeme jednoduše nechat ${ displaystyle R = 2}$.) Poté je naplněná sada Julia pro tento systém podmnožinou komplexní roviny dané

${ displaystyle K (f_ {c}) = left {z in mathbb {C}: forall n in mathbb {N}, | f_ {c} ^ {n} (z) | leq R doprava },}$

kde ${ displaystyle f_ {c} ^ {n} (z)}$ je nth opakovat z ${ displaystyle f_ {c} (z)}$. Sada Julia ${ displaystyle J (f_ {c})}$ této funkce je hranice ${ displaystyle K (f_ {c})}$.

• 

  Naplněná Julia pro F_C, C = 1 - φ, kde φ je Zlatý řez

• 

  Julia se vydala F_C, C = (φ - 2) + (φ - 1)i = −0.4 + 0.6i

• 

  Julia se vydala F_C, C = 0.285 + 0i

• 

  Julia se vydala F_C, C = 0.285 + 0.01i

• 

  Julia se vydala F_C, C = 0.45 + 0.1428i

• 

  Julia se vydala F_C, C = −0.70176 − 0.3842i

• 

  Julia se vydala F_C, C = −0.835 − 0.2321i

• 

  Julia se vydala F_C, C = −0.8 + 0.156i

• 

  Julia se vydala F_C, C = −0.7269 + 0.1889i

• 

  Julia se vydala F_C, C = −0.8i

Sbírka sad Julia rozložená do mřížky 100 × 100 tak, aby střed každého obrazu odpovídal stejné poloze v komplexní rovině jako hodnota sady. Když je takto rozloženo, celkový obraz připomíná sadu Mandelbrot.

Rovina parametrů kvadratických polynomů - tedy rovina možných C hodnoty - dává vzniknout slavnému Mandelbrotova sada. Ve skutečnosti je Mandelbrotova množina definována jako množina všech C takhle ${ displaystyle J (f_ {c})}$ je připojeno. U parametrů mimo sadu Mandelbrot je sada Julia a Cantorův prostor: v tomto případě se někdy označuje jako Fatou prach.

V mnoha případech byla sada Julia C vypadá jako Mandelbrot zasazený do dostatečně malých čtvrtí C. To platí zejména pro tzv Misiurewicz parametry, tj. parametry C u nichž je kritický bod předperiodický. Například:

• Na C = i, kratší přední špička přední části chodidla, sada Julia vypadá jako rozvětvený blesk.
• Na C = -2, špička dlouhého špičatého ocasu, sada Julia je přímkový segment.

Jinými slovy, Julia zapadá ${ displaystyle J (f_ {c})}$ jsou místně podobné Misiurewicz body.^[7]

Zobecnění

Definice sad Julia a Fatou se snadno přenáší na případ určitých map, jejichž obraz obsahuje jejich doménu; zejména transcendentální meromorfní funkce a Adam Epstein mapy konečného typu.

Sady Julia jsou také běžně definovány při studiu dynamiky v několika složitých proměnných.

Pseudo kód

Níže uvedené implementace pseudokódu pevně kódují funkce pro každý fraktál. Zvažte implementaci komplexní číslo operace umožňující dynamičtější a opakovaně použitelný kód.

Pseudokód pro normální sady Julia

${ displaystyle f (z) = z ^ {2} + c}$

R = uniknout poloměr  # zvolte R> 0 tak, aby R ** 2 - R> = sqrt (cx ** 2 + cy ** 2)pro každý pixel (X, y) na the obrazovka, dělat:   {    zx = zmenšen X koordinovat z pixel # (měřítko bude mezi -R a R)       # zx představuje skutečnou část z.    z y = zmenšen y koordinovat z pixel # (měřítko bude mezi -R a R)       # zy představuje imaginární část z.    opakování = 0    max_iteration = 1000      zatímco (zx * zx + z y * z y < R**2  A  opakování < max_iteration)     {        xtemp = zx * zx - z y * z y        z y = 2 * zx * z y  + cy         zx = xtemp + cx            opakování = opakování + 1     }      -li (opakování == max_iteration)        vrátit se Černá;    jiný        vrátit se opakování;}

Pseudokód pro multi-Julia sady

${ displaystyle f (z) = z ^ {n} + c}$

R = uniknout poloměr # zvolte R> 0 tak, aby R ** n - R> = sqrt (cx ** 2 + cy ** 2)pro každý pixel (X, y) na the obrazovka, dělat:{    zx = zmenšen X koordinovat z pixel # (měřítko bude mezi -R a R)    z y = zmenšen y koordinovat z pixel # (měřítko bude mezi -R a R)      opakování = 0    max_iteration = 1000      zatímco (zx * zx + z y * z y < R**2  A  opakování < max_iteration)     {        xtmp = (zx * zx + z y * z y) ^ (n / 2) * cos(n * atan2(z y, zx)) + cx;	    z y = (zx * zx + z y * z y) ^ (n / 2) * hřích(n * atan2(z y, zx)) + cy;	    zx = xtmp;            opakování = opakování + 1    }     -li (opakování == max_iteration)        vrátit se Černá;    jiný        vrátit se opakování;}

Potenciální funkce a skutečné číslo iterace

Julia se vydala ${ displaystyle f (z) = z ^ {2}}$ je jednotkový kruh a na vnější doméně Fatou je potenciální funkce φ (z) je definována φ (z) = log |z|. Ekvipotenciální čáry pro tuto funkci jsou soustředné kružnice. Tak jako ${ displaystyle | f (z) | = | z | ^ {2}}$ my máme

${ displaystyle varphi (z) = lim _ {k to infty} { frac { log | z_ {k} |} {2 ^ {k}}},}$

kde ${ displaystyle z_ {k}}$ je sekvence iterace generovaná z. Pro obecnější iteraci ${ displaystyle f (z) = z ^ {2} + c}$, bylo prokázáno, že pokud je připojena sada Julia (tj. pokud C patří do (obvyklé) sady Mandelbrot), pak existují a biholomorfní mapa ψ mezi vnější doménou Fatou a vnějškem jednotkové kružnice tak, že ${ displaystyle | psi (f (z)) | = | psi (z) | ^ {2}}$.^[8] To znamená, že potenciální funkce na vnější doméně Fatou definované touto korespondencí je dána vztahem:

${ displaystyle varphi (z) = lim _ {k to infty} { frac { log | z_ {k} |} {2 ^ {k}}}.}$

Tento vzorec má význam také v případě, že sada Julia není spojena, takže jsme pro všechny C pomocí tohoto vzorce může definovat potenciální funkci na doméně Fatou obsahující ∞. Pro obecnou racionální funkci F(z) takový, že ∞ je kritický bod a pevný bod, tj. takový, že stupeň m čitatele je nejméně o dva větší než stupeň n jmenovatele definujeme potenciální funkce na doméně Fatou obsahující ∞ od:

${ displaystyle varphi (z) = lim _ {k to infty} { frac { log | z_ {k} |} {d ^ {k}}},}$

kde d = m − n je míra racionální funkce.^[9]

Li N je velmi velké číslo (např.10¹⁰⁰), a pokud k je první iterační číslo takové, že ${ displaystyle | z_ {k} |> N}$, máme to

${ displaystyle { frac { log | z_ {k} |} {d ^ {k}}} = { frac { log (N)} {d ^ { nu (z)}}}}}$

pro nějaké skutečné číslo ${ displaystyle nu (z)}$, který by měl být považován za skutečné iterační čísloa máme to:

${ displaystyle nu (z) = k - { frac { log ( log | z_ {k} | / log (N))} { log (d)}},}$

kde poslední číslo je v intervalu [0, 1).

Pro iteraci směrem ke konečnému cyklu přitahování řádu r, máme to, pokud z * je tedy bodem cyklu ${ displaystyle f (f (... f (z ^ {*}))) = z ^ {*}}$ (dále jen rsložené složení) a číslo

${ displaystyle alpha = { frac {1} { vlevo | (d (f (f ( cdots f (z)))) / dz) _ {z = z ^ {*}} vpravo |}} qquad (> 1)}$

je atrakce cyklu. Li w je velmi blízko z * a w ' je w iterováno r krát to máme

${ displaystyle alpha = lim _ {k to infty} { frac {| w-z ^ {*} |} {| w'-z ^ {*} |}}.}$

Proto číslo ${ displaystyle | z_ {kr} -z ^ {*} | alpha ^ {k}}$ je téměř nezávislý na k. Definujeme potenciální funkci v doméně Fatou pomocí:

${ displaystyle varphi (z) = lim _ {k to infty} { frac {1} {(| z_ {kr} -z ^ {*} | alpha ^ {k})}}}}$

Pokud je ε velmi malé číslo a k je první iterační číslo takové, že ${ displaystyle | z_ {k} -z ^ {*} | < epsilon}$, máme to

${ displaystyle varphi (z) = { frac {1} {( varepsilon alpha ^ { nu (z)})}}}$

pro nějaké skutečné číslo ${ displaystyle nu (z)}$, které by mělo být považováno za skutečné číslo iterace, a máme toto:

${ displaystyle nu (z) = k - { frac { log ( varepsilon / | z_ {k} -z ^ {*} |)} { log ( alpha)}}.}$

Pokud je přitažlivost ∞, znamená to, že cyklus je super přitahující, což znamená, že jeden z bodů cyklu je kritickým bodem, musíme nahradit α za

${ displaystyle alpha = lim _ {k to infty} { frac { log | w'-z ^ {*} |} { log | w-z ^ {*} |}},}$

kde w ' je w iterováno r časy a vzorec pro φ (z) od:

${ displaystyle varphi (z) = lim _ {k to infty} { frac { log (1 / | z_ {kr} -z ^ {*} |)} { alpha ^ {k}} }.}$

A skutečné číslo iterace je dáno vztahem:

${ displaystyle nu (z) = k - { frac { log ( log | z_ {k} -z ^ {*} | / log ( varepsilon))} { log ( alpha)}} .}$

Pro zbarvení musíme mít cyklickou škálu barev (například matematicky vytvořenou) a obsahující H barvy očíslované od 0 do H−1 (H = 500, například). Vynásobíme skutečné číslo ${ displaystyle nu (z)}$ pevným reálným číslem určujícím hustotu barev na obrázku, a vezměte integrální část tohoto čísla modulo H.

Definice potenciální funkce a náš způsob barvení předpokládají, že cyklus přitahuje, tedy není neutrální. Pokud je cyklus neutrální, nemůžeme doménu Fatou zabarvit přirozeným způsobem. Jelikož terminem iterace je otáčivý pohyb, můžeme například vybarvit minimální vzdálenost od cyklu ponechaného fixovanou iterací.

Siločáry

Ekvipotenciální čáry pro iteraci do nekonečna

Polní řádky pro iteraci formuláře ${ displaystyle { frac {(1-z ^ {3} / 6)} {(z-z ^ {2} / 2) ^ {2}}} + c}$

V každé doméně Fatou (která není neutrální) existují dva systémy vzájemně kolmých čar: the ekvipotenciální vedení (pro potenciální funkci nebo skutečné číslo iterace) a siločáry.

Pokud zbarvíme doménu Fatou podle čísla iterace (a ne skutečné iterační číslo ${ displaystyle nu (z)}$, jak je definováno v předchozí části), pásy iterace ukazují průběh ekvipotenciálních čar. Pokud je iterace směrem k ∞ (jako je tomu u vnější domény Fatou pro obvyklou iteraci ${ displaystyle z ^ {2} + c}$), můžeme snadno ukázat průběh siločar, konkrétně změnou barvy podle toho, jak je poslední bod v pořadí iterace nad nebo pod X-osa (první obrázek), ale v tomto případě (přesněji: když je doména Fatou super přitahující), nemůžeme koherentně nakreslit siločáry - alespoň ne metodou, kterou zde popisujeme. V tomto případě se polní čára také nazývá vnější paprsek.

Nechat z být bodem v přitahující doméně Fatou. Pokud to opakujeme z velkým počtem opakování je terminál posloupnosti iterace konečným cyklem C, a doména Fatou je (podle definice) množina bodů, jejichž posloupnost iterace konverguje k C. Polní čáry vycházejí z bodů C a z (nekonečného počtu) bodů, které iterují do bod C. A končí Julií v bodech, které nejsou chaotické (tj. Generují konečný cyklus). Nechat r být pořadí cyklu C (jeho počet bodů) a nechat z * být bodem v C. My máme ${ displaystyle f (f ( tečky f (z ^ {*}))) = z ^ {*}}$ (složení skladby r) a definujeme komplexní číslo α

${ displaystyle alpha = (d (f (f ( tečky f (z)))) / dz) _ {z = z ^ {*}}.}$

Pokud body C jsou ${ displaystyle z_ {i}, i = 1, tečky, r (z_ {1} = z ^ {*})}$, α je produktem r čísla ${ displaystyle f '(z_ {i})}$. Skutečné číslo 1 / | α | je atrakce cyklu a náš předpoklad, že cyklus není ani neutrální, ani přitahující, znamená, že 1 <1 / | α | <∞. Bod z * je pevný bod pro ${ displaystyle f (f ( dots f (z)))}$a poblíž tohoto bodu na mapě ${ displaystyle f (f ( dots f (z)))}$ má (ve spojení s polními čarami) charakter rotace s argumentem β α (tj. ${ displaystyle alpha = | alpha | e ^ { beta i}}$).

Abychom zabarvili doménu Fatou, vybrali jsme malé číslo ε a nastavili sekvence iterace ${ displaystyle z_ {k} (k = 0,1,2, tečky, z_ {0} = z)}$ zastavit kdy ${ displaystyle | z_ {k} -z ^ {*} | < epsilon}$a vybarvujeme bod z podle počtu k (nebo skutečné iterační číslo, pokud dáváme přednost plynulému vybarvení). Pokud zvolíme směr z z * daný úhlem θ, siločára vycházející z z * v tomto směru se skládá z bodů z takový, že argument ψ čísla ${ displaystyle z_ {k} -z ^ {*}}$ splňuje podmínku, že

${ displaystyle psi -k beta = theta mod pi. ,}$

Pokud projdeme iterační pásmo ve směru siločar (a dále od cyklu), iterační číslo k se zvýší o 1 a číslo ψ se zvýší o β, tedy číslo ${ displaystyle psi -k beta mod pi}$ je konstantní podél siločáry.

Obrázky v polních řádcích pro iteraci formuláře ${ displaystyle z ^ {2} + c}$

Zbarvení siločar v doméně Fatou znamená, že vybarvujeme mezery mezi dvojicemi siločar: zvolíme řadu pravidelně umístěných směrů vycházejících z z *a v každém z těchto směrů volíme dva směry kolem tohoto směru. Jak se může stát, že dvě siločáry páru nekončí ve stejném bodě sady Julia, mohou se naše barevné siločáry (nekonečně) rozvětvovat směrem k sadě Julia. Můžeme barvit na základě vzdálenosti od středové čáry polní čáry a můžeme toto zbarvení smíchat s obvyklým zbarvením. Takové obrázky mohou být velmi dekorativní (druhý obrázek).

Barevná siločára (doména mezi dvěma siločáry) je rozdělena iteračními pásmy a taková část může být uvedena do korespondence jedna k jedné s jednotkovým čtvercem: jedna souřadnice je (počítáno z) vzdálenost z jedné z hraničních siločar, druhá je (počítáno z) vzdálenost od vnitřku hraničních iteračních pásem (toto číslo je neintegrovanou součástí skutečného iteračního čísla). Proto můžeme umístit obrázky do siločar (třetí obrázek).

Vytvoření soupravy Julia

Přehrát média

Binární rozklad vnitřku v případě vnitřního úhlu 0

Metody:

• Metoda odhadu vzdálenosti pro sadu Julia (DEM / J)
• Metoda inverzní iterace (IIM)

Použití zpětné (inverzní) iterace (IIM)

Děj sady Julia, generovaný pomocí náhodného IIM

Děj sady Julia, generovaný pomocí MIIM

Jak bylo uvedeno výše, sadu Julia lze nalézt jako sadu mezních bodů sady předobrazů (v podstatě) daného bodu. Můžeme se tedy pokusit vykreslit sadu Julia dané funkce následujícím způsobem. Začněte s jakýmkoli bodem z víme, že jsme v množině Julia, jako je odpuzující periodický bod, a vypočítáme všechny předobrazy z pod nějakou vysokou iterací ${ displaystyle f ^ {n}}$ z F.

Bohužel, jak počet iterovaných předobrazů exponenciálně roste, není to výpočetně proveditelné. Tuto metodu však můžeme upravit podobným způsobem jako metodu „náhodné hry“ iterované funkční systémy. To znamená, že v každém kroku náhodně vybereme jeden z inverzních obrazů F.

Například pro kvadratický polynom F_C, zpětnou iteraci popisuje

${ displaystyle z_ {n-1} = { sqrt {z_ {n} -c}}.}$

V každém kroku je náhodně vybrána jedna ze dvou odmocnin.

Všimněte si, že některé části sady Julia jsou poměrně obtížně přístupné pomocí reverzního Julia algoritmu. Z tohoto důvodu je nutné upravit IIM / J (nazývá se MIIM / J) nebo použít jiné metody k vytvoření lepších obrázků.

Pomocí DEM / J

• Snímky Julie pro fc (z) = z * z + c
• 

  c = -0,74543 + 0,11301 * i

• 

  c = -0,75 + 0,11 * i

• 

  c = -0,1 + 0,651 * i

• 

  Sada Julia nakreslená odhadem vzdálenosti, iterace je ve tvaru 1-z ^ 2 + z ^ 5 / (2 + 4z) + c

• 

  Trojrozměrné vykreslování sady Julia pomocí odhadu vzdálenosti

Jelikož je sada Julia nekonečně tenká, nemůžeme ji efektivně nakreslit zpětnou iterací z pixelů. Vypadá to roztříštěně kvůli nepraktičnosti zkoumání nekonečně mnoha počátečních bodů. Vzhledem k tomu, že se počet iterací v blízkosti sady Julia energicky mění, je částečným řešením naznačit obrys sady z nejbližších barevných kontur, ale sada bude mít tendenci vypadat blátivě.

Lepším způsobem, jak černě a bíle nakreslit sadu Julia, je odhadnout vzdálenost pixelů (DEM) od sady a vybarvit každý pixel, jehož střed je blízko sady. Vzorec pro odhad vzdálenosti je odvozen ze vzorce pro potenciální funkci φ (z). Když ekvipotenciální čáry pro φ (z) leží blízko, číslo ${ displaystyle | varphi '(z) |}$ je velký, a naopak, ekvipotenciální čáry pro funkci ${ displaystyle delta (z) = varphi (z) / | varphi '(z) |}$ by měla ležet přibližně pravidelně. Bylo prokázáno, že hodnota nalezená tímto vzorcem (až do konstantního faktoru) konverguje ke skutečné vzdálenosti pro z konvergující k množině Julia.^[9]

To předpokládáme F(z) je racionální, to znamená, ${ displaystyle f (z) = p (z) / q (z)}$ kde str(z) a q(z) jsou složité polynomy stupňů m a n, respektive, a musíme najít derivaci výše uvedených výrazů pro φ (z). A jak to je jen ${ displaystyle z_ {k}}$ to se liší, musíme vypočítat derivaci ${ displaystyle z '_ {k}}$ z ${ displaystyle z_ {k}}$ s ohledem na z. Ale jako ${ displaystyle z_ {k} = f (f ( cdots f (z)))}$ (dále jen ksložené složení), ${ displaystyle z '_ {k}}$ je součin čísel ${ displaystyle f '(z_ {k})}$a tuto sekvenci lze vypočítat rekurzivně pomocí ${ displaystyle z '_ {k + 1} = f' (z_ {k}) z '_ {k}}$, začínání s ${ displaystyle z '_ {0} = 1}$ (před výpočet další iterace ${ displaystyle z_ {k + 1} = f (z_ {k})}$).

Pro iteraci směrem k ∞ (přesněji, když m ≥ n + 2, takže ∞ je super přitažlivý pevný bod), máme

${ displaystyle | varphi '(z) | = lim _ {k to infty} { frac {| z' _ {k} |} {| z_ {k} | d ^ {k}}}, }$

(d = m − n) a následně:

${ displaystyle delta (z) = varphi (z) / | varphi '(z) | = lim _ {k to infty} log | z_ {k} || z_ {k} | / | z '_ {k} |. ,}$

Pro iteraci směrem ke konečnému cyklu přitahování (který není příliš přitahující) obsahující bod z * a mít pořádek r, my máme

${ displaystyle | varphi '(z) | = lim _ {k to infty} | z' _ {kr} | / (| z_ {kr} -z ^ {*} | ^ {2} alfa ^ {k}), ,}$

a následně:

${ displaystyle delta (z) = varphi (z) / | varphi '(z) | = lim _ {k to infty} | z_ {kr} -z ^ {*} | / | z' _ {kr} |. ,}$

Pro super přilákavý cyklus platí vzorec:

${ displaystyle delta (z) = lim _ {k to infty} log | z_ {kr} -z ^ {*} | ^ {2} / | z '_ {kr} |. ,}$

Toto číslo vypočítáme, když se iterace zastaví. Upozorňujeme, že odhad vzdálenosti je nezávislý na přitažlivosti cyklu. To znamená, že to má význam pro transcendentální funkce „stupně nekonečna“ (např. Hřích (z) a opálení (z)).

Kromě kreslení hranice lze funkci vzdálenosti zavést jako 3. dimenzi pro vytvoření pevné fraktální krajiny.

Viz také

• Douady králík
• Limit nastaven
• Stabilní a nestabilní sady
• Žádná věta o putující doméně
• Teorie chaosu

Poznámky

Reference

• Lennart Carleson a Theodore W. Gamelin, Složitá dynamika, Springer 1993
• Adrien Douady a John H. Hubbard, „Etude dynamique des polynômes complexes“, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
• John W. Milnor, Dynamika v jedné komplexní proměnné (Třetí vydání), Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press 2006 (Poprvé se objevil v roce 1990 jako a Předtisk IMS Stony Brook, k dispozici jako arXiV: math.DS / 9201272.)
• Alexander Bogomolny, "Sada Mandelbrot a indexování sad Julia " na cut-the-uzel.
• Evgeny Demidov, “Mandelbrot a Julia nastavují anatomii " (2003)
• Alan F. Beardon, Iterace racionálních funkcíSpringer 1991, ISBN  0-387-95151-2

externí odkazy

• "Julia set", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Julia Set". MathWorld.
• Julia Set Fractal (2D), Paul Bourke
• Julia Sady Jamie Sawyer
• Julia Jewels: An Exploration of Julia Sets, Michael McGoodwin
• Kruh v obilí Julia Set, Lucy Pringle
• Interaktivní Julia Set Applet, Josh Greig
• Julia a Mandelbrot nastavili Průzkumníka, David E. Joyce
• Jednoduchý program pro generování sad Julia (Windows, 370 kB)
• Sbírka appletů z nichž jeden může vykreslit sady Julia prostřednictvím systémů s iterovanou funkcí.
• Julia splňuje HTML5 Fraktální generátor HTML5 Google Labs ve vašem prohlížeči
• Julie Balíček GNU R pro generování sady Julia nebo Mandelbrot v dané oblasti a rozlišení.
• Julia zapadá Vizuální vysvětlení Julia Sets.
• Fraktály Mandelbrot, Hořící loď a odpovídající generátor sady Julia.
• Julia nastavuje online vykreslování obrázků