Akce Einstein – Hilbert - Einstein–Hilbert action

Část série článků o
Obecná relativita
${ displaystyle G _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}}$
Úvod Dějiny Matematická formulace Testy
Základní koncepty Princip relativity Teorie relativity Referenční rámec Inerciální referenční rámec Odpočinek Rámeček středu hybnosti Světelný kužel Princip ekvivalence Ekvivalence hmoty a energie Speciální relativita Dvojnásobně speciální relativita de Sitterova invariantní speciální relativita Měřítko relativity Světová linie Správný čas Riemannova geometrie Energetický stav
Jevy Gravitoelektromagnetismus Keplerův problém Gravitace Gravitační pole Gravitace dobře Gravitační čočky Gravitační vlny Gravitační rudý posuv Rudý posuv Blueshift Dilatace času Gravitační dilatace času Shapiro časové zpoždění Gravitační potenciál Gravitační komprese Gravitační kolaps Přetažení rámu Geodetický účinek Zdánlivý horizont Horizont událostí Gravitační singularita Nahá singularita Černá díra Bílá díra Vesmírný čas Prostor Čas Časoprostorové diagramy Minkowského časoprostor Uzavřená časová křivka (CTC) Červí díra Ellis červí díra
Rovnice Formalismy Rovnice Linearizovaná gravitace Einsteinovy ​​rovnice pole Friedmann Geodetika Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Zakřivení neměnné (obecná relativita) Lorentzian potrubí Formalismy ADM BSSN Newman – Penrose Post-Newtonian Pokročilá teorie Teorie Kaluza – Klein Kvantová gravitace Supergravitace
Řešení Schwarzschild (interiér ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-vlna van Stockum prach Weyl – Lewis – Papapetrou Vakuové řešení
Věty Birkhoffova věta Gerochova věta o rozdělení Goldberg – Sachsova věta Lovelockova věta Věta bez vlasů Věty o singularitě Penrose – Hawking Věta o pozitivní energii
Vědci Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Kolář Robertson Bardeen chodec Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nový muž Yau Thorne ostatní

The Akce Einstein – Hilbert (označovaný také jako Hilbertova akce^[1]) v obecná relativita je akce který dává Einsteinovy ​​rovnice pole skrz zásada nejmenší akce. S (− + + +) metrický podpis, je gravitační část akce dána jako^[2]

${ displaystyle S = {1 nad 2 kappa} int R { sqrt {-g}} , mathrm {d} ^ {4} x,}$

kde ${ displaystyle g = det (g _ { mu nu})}$ je určující pro metrický tenzor matice, ${ displaystyle R}$ je Ricci skalární, a ${ displaystyle kappa = 8 pi Gc ^ {- 4}}$ je Einsteinova gravitační konstanta (${ displaystyle G}$ je gravitační konstanta a ${ displaystyle c}$ je rychlost světla ve vakuu). Pokud konverguje, převezme integrál celek vesmírný čas. Pokud se nespojuje, ${ displaystyle S}$ již není dobře definovaná, ale upravená definice, kde se člověk integruje přes libovolně velké, relativně kompaktní domény, stále poskytuje Einsteinovu rovnici jako Euler-Lagrangeova rovnice akce Einstein – Hilbert.

Akci poprvé navrhl David Hilbert v roce 1915.

Diskuse

Odvození pohybových rovnic od akce má několik výhod. Nejprve umožňuje snadné sjednocení obecné relativity s jinými klasickými polními teoriemi (např Maxwellova teorie ), které jsou rovněž formulovány z hlediska žaloby. V tomto procesu derivace identifikuje přirozeného kandidáta na zdrojový termín spojující metriku s poli hmoty. Symetrie akce navíc umožňují snadnou identifikaci konzervovaných veličin Noetherova věta.

Obecně se relativita předpokládá, že akce je a funkční metriky (a hmotných polí) a spojení je dán Připojení Levi-Civita. The Formulace Palatini obecné relativity předpokládá, že metrika a spojení jsou nezávislé, a liší se vzhledem k oběma nezávisle, což umožňuje zahrnout pole fermionové hmoty s neceločíselným spinem.

Einsteinovy ​​rovnice v přítomnosti hmoty jsou dány přidáním akce hmoty k akci Einstein-Hilbert.

Odvození Einsteinových rovnic

Předpokládejme, že celá akce teorie je dána Einstein-Hilbertovým termínem plus termínem ${ displaystyle { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}}$ popisující všechna hmotná pole objevující se v teorii.

${ displaystyle S = int left [{ frac {1} {2 kappa}} R + { mathcal {L}} _ { mathrm {M}} right] { sqrt {-g}} , mathrm {d} ^ {4} x}$.

(1)

The princip akce pak nám říká, že abychom obnovili fyzikální zákon, musíme požadovat, aby variace této akce s ohledem na inverzní metriku byla nulová, čímž se získá

${ displaystyle { begin {aligned} 0 & = delta S & = int left [{ frac {1} {2 kappa}} { frac { delta ({ sqrt {-g}} R)} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac { delta ({ sqrt {-g}} { mathcal {L}} _ { mathrm {M}})}} delta g ^ { mu nu}}} vpravo] delta g ^ { mu nu} , mathrm {d} ^ {4} x & = int left [{ frac { 1} {2 kappa}} left ({ frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac {R} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} right) + { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta ({ sqrt {-g}} { mathcal {L}} _ { mathrm {M}})} { delta g ^ { mu nu}}} right] delta g ^ { mu nu} { sqrt {-g}} , mathrm {d} ^ {4} x end {zarovnáno}}}$.

Protože tato rovnice by měla platit pro všechny variace ${ displaystyle delta g ^ { mu nu}}$, to znamená

${ displaystyle { frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac {R} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt { -g}}} { delta g ^ { mu nu}}} = - 2 kappa { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta ({ sqrt {- g}} { mathcal {L}} _ { mathrm {M}})} { delta g ^ { mu nu}}}}$

(2)

je pohybová rovnice pro metrické pole. Pravá strana této rovnice je (podle definice) úměrná tenzor napětí a energie,^[3]

${ displaystyle T _ { mu nu}: = { frac {-2} { sqrt {-g}}} { frac { delta ({ sqrt {-g}} { mathcal {L}} _ { mathrm {M}})} { delta g ^ { mu nu}}} = - 2 { frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}} + g _ { mu nu} { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}}$.

Pro výpočet levé strany rovnice potřebujeme variace Ricciho skaláru ${ displaystyle R}$ a determinant metriky. Lze je získat standardními výpočty učebnic, jako je ten uvedený níže, který je silně založen na výpočtu uvedeném v Carroll 2004 chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFCarroll2004 (Pomoc).

Variace Riemannova tenzoru, Ricciho tenzoru a Ricciho skaláru

Pro výpočet variace Ricci skalární nejprve spočítáme variaci Riemannův tenzor zakřivení, a pak variace Ricciho tenzoru. Tenzor Riemannova zakřivení je tedy definován jako

${ displaystyle {R ^ { rho}} _ { sigma mu nu} = částečné _ { mu} gama _ { nu sigma} ^ { rho} - částečné _ { nu} Gamma _ { mu sigma} ^ { rho} + Gamma _ { mu lambda} ^ { rho} Gamma _ { nu sigma} ^ { lambda} - Gamma _ { nu lambda} ^ { rho} Gamma _ { mu sigma} ^ { lambda}}$.

Protože Riemannovo zakřivení závisí pouze na Připojení Levi-Civita ${ displaystyle Gamma _ { mu nu} ^ { lambda}}$, lze variaci Riemannova tenzoru vypočítat jako

${ displaystyle delta {R ^ { rho}} _ { sigma mu nu} = částečné _ { mu} delta gama _ { nu sigma} ^ { rho} - částečné _ { nu} delta Gamma _ { mu sigma} ^ { rho} + delta Gamma _ { mu lambda} ^ { rho} Gamma _ { nu sigma} ^ { lambda } + Gamma _ { mu lambda} ^ { rho} delta Gamma _ { nu sigma} ^ { lambda} - delta Gamma _ { nu lambda} ^ { rho} Gamma _ { mu sigma} ^ { lambda} - Gamma _ { nu lambda} ^ { rho} delta Gamma _ { mu sigma} ^ { lambda}}$.

Nyní, protože ${ displaystyle delta gama _ { nu sigma} ^ { rho}}$ je rozdíl dvou spojení, je to tenzor a můžeme tedy vypočítat jeho kovarianční derivace,

${ displaystyle nabla _ { mu} vlevo ( delta gama _ { nu sigma} ^ { rho} vpravo) = částečné _ { mu} ( delta gama _ { nu sigma} ^ { rho}) + Gamma _ { mu lambda} ^ { rho} delta Gamma _ { nu sigma} ^ { lambda} - Gamma _ { mu nu} ^ { lambda} delta Gamma _ { lambda sigma} ^ { rho} - Gamma _ { mu sigma} ^ { lambda} delta Gamma _ { nu lambda} ^ { rho }}$.

Nyní můžeme pozorovat, že výraz pro změnu Riemannova tenzoru zakřivení výše se rovná rozdílu dvou takových členů,

${ displaystyle delta {R ^ { rho}} _ { sigma mu nu} = nabla _ { mu} left ( delta Gamma _ { nu sigma} ^ { rho} vpravo) - nabla _ { nu} vlevo ( delta gama _ { mu sigma} ^ { rho} vpravo)}$.

Nyní můžeme získat variantu Ricciho tenzor zakřivení jednoduše kontrakcí dvou indexů variace Riemannova tenzoru a získejte Identita Palatini:

${ displaystyle delta R _ { sigma nu} equiv delta {R ^ { rho}} _ { sigma rho nu} = nabla _ { rho} left ( delta Gamma _ { nu sigma} ^ { rho} right) - nabla _ { nu} left ( delta Gamma _ { rho sigma} ^ { rho} right)}$.

The Ricci skalární je definován jako

${ displaystyle R = g ^ { sigma nu} R _ { sigma nu}}$.

Proto jeho variace s ohledem na inverzní metriku ${ displaystyle g ^ { sigma nu}}$ darováno

${ displaystyle { begin {aligned} delta R & = R _ { sigma nu} delta g ^ { sigma nu} + g ^ { sigma nu} delta R _ { sigma nu} & = R _ { sigma nu} delta g ^ { sigma nu} + nabla _ { rho} left (g ^ { sigma nu} delta Gamma _ { nu sigma} ^ { rho} -g ^ { sigma rho} delta Gamma _ { mu sigma} ^ { mu} right) end {zarovnáno}}}$

Ve druhém řádku jsme použili metrickou kompatibilitu kovariantní derivace, ${ displaystyle nabla _ { sigma} g ^ { mu nu} = 0}$a dříve získaný výsledek pro variaci Ricciho zakřivení (ve druhém termínu přejmenování fiktivních indexů ${ displaystyle rho}$ a ${ displaystyle nu}$ na ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle rho}$ příslušně).

Poslední termín

${ displaystyle nabla _ { rho} vlevo (g ^ { sigma nu} delta gama _ { nu sigma} ^ { rho} -g ^ { sigma rho} delta gama _ { mu sigma} ^ { mu} vpravo)}$, tj. ${ displaystyle nabla _ { rho} A ^ { rho} equiv A ^ { lambda} {} _ {; lambda}}$ s ${ displaystyle A ^ { rho} = g ^ { sigma nu} delta gama _ { nu sigma} ^ { rho} -g ^ { sigma rho} delta gama _ { mu sigma} ^ { mu}}$,

vynásobeno ${ displaystyle { sqrt {-g}}}$, se stává celková derivace, protože pro všechny vektor ${ displaystyle A ^ { lambda}}$ a jakékoli hustota tenzoru ${ displaystyle { sqrt {-g}} , A ^ { lambda}}$ my máme:

${ displaystyle { sqrt {-g}} , A _ {; lambda} ^ { lambda} = ({ sqrt {-g}} , A ^ { lambda}) _ {; lambda} = ({ sqrt {-g}} , A ^ { lambda}) _ {, lambda}}$ nebo ${ displaystyle { sqrt {-g}} , nabla _ { mu} A ^ { mu} = nabla _ { mu} vlevo ({ sqrt {-g}} , A ^ { mu} right) = částečný _ { mu} left ({ sqrt {-g}} , A ^ { mu} right)}$

a tedy Stokesova věta poskytuje hraniční výraz, pouze když je integrován. Hraniční člen je obecně nenulový, protože integrand závisí nejen na ${ displaystyle delta g ^ { mu nu},}$ ale také na jeho dílčích derivátech ${ displaystyle částečné _ { lambda} , delta g ^ { mu nu} ekviv delta , částečné _ { lambda} g ^ { mu nu}}$; viz článek Gibbons – Hawking – York hraniční člen pro detaily. Když však variace metriky ${ displaystyle delta g ^ { mu nu}}$ zmizí v sousedství hranice nebo pokud hranice neexistuje, tento výraz nepřispívá k variaci akce. A tak získáváme

${ displaystyle { frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}}} = R _ { mu nu}}$.

(3)

na Události ne v uzavření hranice.

Variace determinantu

Jacobiho vzorec, pravidlo pro rozlišení a určující, dává:

${ displaystyle delta g = delta det (g _ { mu nu}) = gg ^ { mu nu} delta g _ { mu nu}}$,

nebo by se dalo transformovat do souřadnicového systému, kde ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ je úhlopříčka a poté použijte pravidlo produktu k odlišení produktu faktorů na hlavní úhlopříčce. Pomocí toho dostaneme

${ displaystyle delta { sqrt {-g}} = - { frac {1} {2 { sqrt {-g}}}} delta g = { frac {1} {2}} { sqrt {-g}} left (g ^ { mu nu} delta g _ { mu nu} right) = - { frac {1} {2}} { sqrt {-g}} left (g _ { mu nu} delta g ^ { mu nu} vpravo)}$

V poslední rovnosti jsme použili skutečnost, že

${ displaystyle g _ { mu nu} delta g ^ { mu nu} = - g ^ { mu nu} delta g _ { mu nu}}$

který vyplývá z pravidla diferenciace inverze matice

${ displaystyle delta g ^ { mu nu} = - g ^ { mu alpha} left ( delta g _ { alpha beta} right) g ^ { beta nu}}$.

Tak jsme dospěli k závěru, že

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} = - { frac {1} {2}} g _ { mu nu}}$.

(4)

Pohybová rovnice

Nyní, když máme k dispozici všechny potřebné varianty, můžeme vložit (3) a (4) do pohybové rovnice (2) pro získání metrického pole

${ displaystyle R _ { mu nu} - { frac {1} {2}} g _ { mu nu} R = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}}$,

(5)

který je Einsteinovy ​​rovnice pole, a

${ displaystyle kappa = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}}}$

byl zvolen tak, aby se nerelativistické mezní výnosy dostaly obvyklá forma Newtonova gravitačního zákona, kde ${ displaystyle G}$ je gravitační konstanta (vidět tady pro detaily).

Kosmologická konstanta

Když kosmologická konstanta Λ je součástí Lagrangian, akce:

${ displaystyle S = int left [{ frac {1} {2 kappa}} (R-2 Lambda) + { mathcal {L}} _ { mathrm {M}} right] { sqrt {-g}} , mathrm {d} ^ {4} x}$

Varianty s ohledem na inverzní metriku:

${ displaystyle { begin {aligned} & delta S = int left [{ frac { sqrt {-g}} {2 kappa}} { frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac {R} {2 kappa}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} - { frac { Lambda} { kappa}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { sqrt {-g}} { frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { mathcal {L}} _ { mathrm {M}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} vpravo] delta g ^ { mu nu} mathrm {d} ^ {4} x = & = int left [{ frac {1} {2 kappa}} { frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac {R} {2 kappa}} { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} - { frac { Lambda} { kappa}} { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac {{ mathcal { L}} _ { mathrm {M}}} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} vpravo] delta g ^ { mu nu} { sqrt {-g}} , mathrm {d} ^ {4} x end {zarovnáno}}}$

Za použití princip akce:

${ displaystyle { begin {aligned} & delta S = 0 & { frac {1} {2 kappa}} { frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}} } + { frac {R} {2 kappa}} { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} - { frac { Lambda} { kappa}} { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac {{ mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} = 0 konec {zarovnáno}}}$

Kombinace tohoto výrazu s výsledky získanými před:

${ displaystyle { begin {aligned} & { frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}}} = R _ { mu nu} & { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} = { frac {-g _ { mu nu}} { 2}} & T _ { mu nu} = { mathcal {L}} _ { mathrm {M}} g _ { mu nu} -2 { frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}} konec {zarovnáno}}}$

Můžeme získat:

${ displaystyle { begin {aligned} & { frac {1} {2 kappa}} R _ { mu nu} + { frac {R} {2 kappa}} { frac {-g _ { mu nu}} {2}} - { frac { Lambda} { kappa}} { frac {-g _ { mu nu}} {2}} + left ({ frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { mathcal {L}} _ { mathrm {M}} { frac {-g_ { mu nu}} {2}} right) = 0 & R _ { mu nu} - { frac {R} {2}} g _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} + kappa left (2 { frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}} - { mathcal { L}} _ { mathrm {M}} g _ { mu nu} right) = 0 & R _ { mu nu} - { frac {R} {2}} g _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} - kappa T _ { mu nu} = 0 end {zarovnáno}}}$

S ${ displaystyle kappa = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}}}$, výraz se stane polními rovnicemi s a kosmologická konstanta:

${ displaystyle R _ { mu nu} - { frac {1} {2}} g _ { mu nu} R + Lambda g _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}.}$

Viz také

• Tenzor Belinfante – Rosenfeld
• Brans – Dickeova teorie (ve kterém je konstanta k je nahrazeno skalárním polem).
• Einstein-Cartanova teorie
• Einstein – Maxwell – Dirac rovnice
• f (R) gravitace (ve kterém je Ricciho skalár nahrazen funkcí Ricciho zakřivení)
• Gibbons – Hawking – York hraniční člen
• Teorie Kaluza – Klein
• Komarův superpotenciál
• Palatini akce
• Teleparallelism
• Tetradic Palatini akce
• Variační metody v obecné relativitě
• Vermeilova věta

Poznámky

Bibliografie

• Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitace, W. H. Freeman, ISBN  978-0-7167-0344-0
• Wald, Robert M. (1984), Obecná relativita, University of Chicago Press, ISBN  978-0-226-87033-5
• Carroll, Sean M. (2004), Prostoročas a geometrie: Úvod do obecné relativity, San Francisco: Addison-Wesley, ISBN  978-0-8053-8732-2
• Hilbert, D. (1915) Die Grundlagen der Physik (Německý originál zdarma) (Anglický překlad za 25 $), Konigl. Gesell. d. Wiss. Göttingen, Nachr. Math.-Phys. Kl. 395-407
• Sokolov, D.D. (2001) [1994], "Kosmologická konstanta", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Feynman, Richard P. (1995), Feynman Přednášky o gravitaci, Addison-Wesley, ISBN  0-201-62734-5
• Christopher M. Hirata Přednáška 33: Lagrangeova formulace GR (27. dubna 2012).