Figurky Gosset – Elte - Gosset–Elte figures

The 4₂₁ polytop 8-prostoru

v geometrie, Figurky Gosset – Elte, pojmenovaný Coxeter po Thorold Gosset a E. L. Elte, jsou skupina jednotné polytopy které nejsou pravidelný, generované a Wythoffova konstrukce se zrcadly, která všechna souvisí s úhly řádu 2 a řádu 3 Mohou být viděni jako na jednom konci prsten Coxeter – Dynkinovy ​​diagramy.

The Coxeter symbol pro tyto údaje má formu k_{já, j}, kde každé písmeno představuje délku větví řádu 3 na Coxeter – Dynkinově diagramu s jediným kroužkem na koncovém uzlu k délka větví. The vrchol obrázek z k_{já, j} je (k − 1)_{já, j}, a každý z jeho aspektů je reprezentován odečtením jednoho z jednoho z nenulových indexů, tj. k_i − 1,j a k_i,j − 1.^[1]

Opraveno jednoduchosti jsou zahrnuty v seznamu jako omezující případy s k= 0. Podobně 0_{i, j, k} představuje rozdvojený graf s prstencovým centrálním uzlem.

Dějiny

Coxeter pojmenoval tyto údaje jako k_{já, j} (nebo k_ij) ve zkratce a uznal jejich objev Gossetovi a Elte:^[2]

• Thorold Gosset nejprve zveřejnil seznam pravidelné a polopravidelné postavy v prostoru n rozměry^[3] v roce 1900 výčet polytopů s jedním nebo více typy běžný mnohostěn tváře. To zahrnovalo rektifikovaný 5článkový 0₂₁ ve 4-prostoru, demipenteract 1₂₁ v 5-prostoru, 2₂₁ v 6-prostoru, 3₂₁ v 7-prostoru, 4₂₁ v 8-prostoru, a 5₂₁ nekonečná mozaikování v 8-prostoru.
• E. L. Elte ve své knize z roku 1912 samostatně vyjmenoval jiný semiregulární seznam, Semiregular Polytopes of the Hyperpaces.^[4] Zavolal jim semiregular polytopes prvního druhu, omezující jeho vyhledávání na jeden nebo dva typy pravidelných nebo semiregulárních k-tváří.

Eltein výčet zahrnoval všechny k_ij polytopes kromě 1₄₂ který má 3 typy 6 tváří.

Sada čísel sahá do voštin (2,2,2), (3,3,1) a (5,4,1) rodin v 6,7,8 rozměrných euklidovských prostorech. Seznam Gosset zahrnoval 5₂₁ plástev jako jediný semiregulární ve své definici.

Definice

Jednoduše přichycené skupiny ADE

Polytopes a voštiny v této rodině lze vidět uvnitř Klasifikace ADE.

Konečný mnohostěn k_ij existuje, pokud

${displaystyle {frac {1} {i + 1}} + {frac {1} {j + 1}} + {frac {1} {k + 1}}> 1}$

nebo stejné pro euklidovské voštiny a méně pro hyperbolické voštiny.

The Skupina coxeterů [3^{i, j, k}] může generovat až 3 jedinečné uniformy Figurky Gosset – Elte s Coxeter – Dynkinovy ​​diagramy s jedním koncovým uzlem zazvoněným. Podle Coxeter Každý zápis je reprezentován k_ij znamená koncový uzel na ksekvence délky je vyzváněna.

The simplexní rodinu lze považovat za omezující případ s k= 0 a všechny opraveno (single-ring) Coxeter – Dynkinovy ​​diagramy.

A-rodina [3ⁿ] (opraveno.) jednoduchosti )

Rodina n-jednoduchosti obsahovat Gosset – Elte figurky formuláře 0_ij jako všichni opraveno formy n-simplex (i + j = n − 1).

Jsou uvedeny níže spolu s jejich Coxeter – Dynkinův diagram, přičemž každá dimenzionální rodina je nakreslena jako grafika ortogonální projekce v rovině Petrie polygon pravidelného simplexu.

Skupina coxeterů	Simplexní	Opraveno	Usměrněný	Trirectified	Quadrirectified
A1 [30]	= 000
A2 [31]	= 010
A3 [32]	= 020	= 011
A4 [33]	= 030	= 021
A5 [34]	= 040	= 031	= 022
A6 [35]	= 050	= 041	= 032
A7 [36]	= 060	= 051	= 042	= 033
A8 [37]	= 070	= 061	= 052	= 043
A9 [38]	= 080	= 071	= 062	= 053	= 044
A10 [39]	= 090	= 081	= 072	= 063	= 054
...	...

D-rodina [3^n−3,1,1] demihypercube

Každý D_n skupina má dvě postavy Gosset – Elte, n-demihypercube tak jako 1_k1a alternativní forma n-orthoplex, k₁₁, konstruované se střídavými simplexními fazetami. Opraveno n-demihypercubes, forma nižší symetrie birectified n-cube, může být také reprezentován jako 0_k11.

Třída	Demihypercubes	Orthoplexes (Pravidelný)	Usměrněné demicubes
D3 [31,1,0]	= 110		= 0110
D4 [31,1,1]	= 111		= 0111
D5 [32,1,1]	= 121	= 211	= 0211
D6 [33,1,1]	= 131	= 311	= 0311
D7 [34,1,1]	= 141	= 411	= 0411
D8 [35,1,1]	= 151	= 511	= 0511
D9 [36,1,1]	= 161	= 611	= 0611
D10 [37,1,1]	= 171	= 711	= 0711
...	...	...
Dn [3n−3,1,1]	... = 1n−3,1	... = (n−3)11	... = 0n−3,1,1

E_n rodina [3^n−4,2,1]

Každý E_n skupina od 4 do 8 má dvě nebo tři figurky Gosset – Elte, reprezentované jedním z prstencových koncových uzlů:k₂₁, 1_k2, 2_k1. Opravený 1_k2 série může být také reprezentována jako 0_k21.

	2k1	1k2	k21	0k21
E4 [30,2,1]	= 201	= 120	= 021
E5 [31,2,1]	= 211	= 121	= 121	= 0211
E6 [32,2,1]	= 221	= 122	= 221	= 0221
E7 [33,2,1]	= 231	= 132	= 321	= 0321
E8 [34,2,1]	= 241	= 142	= 421	= 0421

Euklidovské a hyperbolické voštiny

Existují tři euklidovští (afinní ) Skupiny coxeterů v rozměrech 6, 7 a 8:^[5]

Skupina coxeterů	Voštiny
${displaystyle {ilde {E}} _ {6}}$ = [32,2,2]	= 222			= 0222
${displaystyle {ilde {E}} _ {7}}$ = [33,3,1]	= 331	= 133		= 0331
${displaystyle {ilde {E}} _ {8}}$ = [35,2,1]	= 251	= 152	= 521	= 0521

Existují tři hyperbolické (paracompact ) Skupiny coxeterů v rozměrech 7, 8 a 9:

Skupina coxeterů	Voštiny
${displaystyle {ar {T}} _ {7}}$ = [33,2,2]	= 322	= 232		= 0322
${displaystyle {ar {T}} _ {8}}$ = [34,3,1]	= 431	= 341	= 143	= 0431
${displaystyle {ar {T}} _ {9}}$ = [36,2,1]	= 261	= 162	= 621	= 0621

Jako zobecnění lze v tomto symbolu vyjádřit také více větví řádu 3. 4-dimenzionální afinita Skupina coxeterů, ${displaystyle {ilde {Q}} _ {4}}$, [3^1,1,1,1], má čtyři větve řádu 3 a může vyjádřit jednu voštinu, 1₁₁₁, , představuje formu nižší symetrie 16článkový plástev, a 0₁₁₁₁, pro rektifikovaný 16článkový plástev. 5-dimenzionální hyperbolický Skupina coxeterů, ${displaystyle {ar {L}} _ {4}}$, [3^1,1,1,1,1], má pět větví řádu 3 a může vyjádřit jednu voštinu, 1₁₁₁₁, a jeho oprava jako 0₁₁₁₁₁, .

Poznámky

Reference

• Gosset, Thorold (1900). „Na pravidelné a polopravidelné postavy v prostoru n rozměry". Posel matematiky. 29: 43–48.
• Elte, E. L. (1912), Semiregular Polytopes of the Hyperpaces, Groningen: University of Groningen, ISBN  1-4181-7968-X [1] [2]
• Coxeter, H.S.M. (3. vydání, 1973) Pravidelné Polytopes Vydání Dover, ISBN  0-486-61480-8
• Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis (1991)
  • N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966