Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte
vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu
diskusní stránka .
(Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek vyžaduje pozornost odborníka na chemii . Specifický problém je: Editor zpochybnil přesnost transformační matice zobrazené v části „Převod na kartézské souřadnice“ (viz diskusní stránka článku). Chemie WikiProject může pomoci s náborem odborníka. (Červen 2012 )
(Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)
v krystalografie , a zlomkový souřadný systém je souřadnicový systém ve kterém okraje jednotková buňka se používají jako základní vektory popsat polohy atomových jader. Jednotkovou buňkou je a rovnoběžnostěn definované délkami jeho okrajů A , b , C {displaystyle a, b, c} α , β , y {displaystyle alpha, eta, gamma}
Obecný případ Zvažte systém periodické struktury v prostoru a použití A {displaystyle {mathbf {a}}} b {displaystyle mathbf {b}} C {displaystyle mathbf {c}} r {displaystyle mathbf {r}}
r = u A + proti b + w C . {displaystyle {mathbf {r}} = u {mathbf {a}} + v {mathbf {b}} + w {mathbf {c}}.} Naším úkolem je vypočítat skalární koeficienty známé jako zlomkové souřadnice u {displaystyle u} proti {displaystyle v} w {displaystyle w} r {displaystyle mathbf {r}} A {displaystyle mathbf {a}} b {displaystyle mathbf {b}} C {displaystyle mathbf {c}}
Za tímto účelem vypočítáme následující vektor povrchu buňky
σ A = b × C , {displaystyle mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} = {mathbf {b}} imes {mathbf {c}},} pak
b ⋅ σ A = 0 , C ⋅ σ A = 0 , {displaystyle {mathbf {b}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} = 0, {mathbf {c}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} = 0,} a objem buňky je
Ω = A ⋅ σ A . {displaystyle Omega = {mathbf {a}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {a}}.} Pokud uděláme vektorový vnitřní (tečkovaný) produkt následovně
r ⋅ σ A = u A ⋅ σ A + proti b ⋅ σ A + w C ⋅ σ A = u A ⋅ σ A = u Ω , {displaystyle {egin {aligned} {mathbf {r}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} & = u {mathbf {a}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} + v {mathbf {b}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} + w {mathbf {c}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} & = u {mathbf {a}} cdot mathbf {sigma } _ {mathbf {a}} & = uOmega, konec {zarovnáno}}} pak dostaneme
u = 1 Ω r ⋅ σ A . {displaystyle u = {frac {1} {Omega}} {{mathbf {r}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {a}}}.} Podobně,
σ b = C × A , C ⋅ σ b = 0 , A ⋅ σ b = 0 , b ⋅ σ b = Ω , {displaystyle mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} = {mathbf {c}} imes {mathbf {a}}, {mathbf {c}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} = 0, { mathbf {a}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} = 0, {mathbf {b}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} = Omega,} r ⋅ σ b = u A ⋅ σ b + proti b ⋅ σ b + w C ⋅ σ b = proti b ⋅ σ b = proti Ω , {displaystyle {mathbf {r}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} = u {mathbf {a}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} + v {mathbf {b}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} + w {mathbf {c}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} = v {mathbf {b}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} = vOmega,} dorazíme na
proti = 1 Ω r ⋅ σ b , {displaystyle v = {frac {1} {Omega}} {{mathbf {r}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}}},} a
σ C = A × b , A ⋅ σ C = 0 , b ⋅ σ C = 0 , C ⋅ σ C = Ω , {displaystyle mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} = {mathbf {a}} imes {mathbf {b}}, {mathbf {a}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} = 0, { mathbf {b}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} = 0, {mathbf {c}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} = Omega,} r ⋅ σ C = u A ⋅ σ C + proti b ⋅ σ C + w C ⋅ σ C = w C ⋅ σ C = w Ω , {displaystyle {mathbf {r}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} = u {mathbf {a}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} + v {mathbf {b}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} + w {mathbf {c}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} = w {mathbf {c}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} = wOmega,} w = 1 Ω r ⋅ σ C . {displaystyle w = {frac {1} {Omega}} {{mathbf {r}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}}}.} Pokud jich je mnoho r {displaystyle mathbf {r}}
u = r ⋅ σ A ′ , proti = r ⋅ σ b ′ , w = r ⋅ σ C ′ , {displaystyle {egin {aligned} u & = {{mathbf {r}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} ^ {prime}}, v & = {{mathbf {r}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} ^ {prime}}, w & = {{mathbf {r}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} ^ {prime}}, konec {zarovnáno}}} kde
σ A ′ = 1 Ω σ A , σ b ′ = 1 Ω σ b , σ C ′ = 1 Ω σ C . {displaystyle {egin {aligned} mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} ^ {prime} = {frac {1} {Omega}} {mathbf {sigma} _ {mathbf {a}}}, mathbf {sigma } _ {mathbf {b}} ^ {prime} = {frac {1} {Omega}} {mathbf {sigma} _ {mathbf {b}}}, mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} ^ { prime} = {frac {1} {Omega}} {mathbf {sigma} _ {mathbf {c}}}. konec {zarovnáno}}} V krystalografii v krystalografie , délky ( A {displaystyle a} b {displaystyle b} C {displaystyle c} α {displaystyle alpha} β {displaystyle eta} y {displaystyle gamma} A {displaystyle mathbf {a}} b {displaystyle mathbf {b}} C {displaystyle mathbf {c}} rovnoběžnostěn jednotková buňka jsou známy. Pro jednoduchost je zvolen tak, aby hranový vektor A {displaystyle mathbf {a}} X {displaystyle x} b {displaystyle mathbf {b}} X − y {displaystyle x-y} y {displaystyle y} C {displaystyle mathbf {c}} z {displaystyle z}
Definice jednotkové buňky pomocí rovnoběžnostěnu s délkami
A {displaystyle a} ,
b {displaystyle b} ,
C {displaystyle c} a úhly mezi stranami dané
α {displaystyle alpha} ,
β {displaystyle eta} , a
y {displaystyle gamma} [1] Potom lze okrajové vektory zapsat jako
A = ( A , 0 , 0 ) , b = ( b cos ( y ) , b hřích ( y ) , 0 ) , C = ( C X , C y , C z ) , {displaystyle {egin {aligned} {mathbf {a}} & = (a, 0,0), {mathbf {b}} & = (bcos (gamma), bsin (gamma), 0), {mathbf { c}} & = (c_ {x}, c_ {y}, c_ {z}), konec {zarovnáno}}} kde všichni A {displaystyle a} b {displaystyle b} C {displaystyle c} hřích ( y ) {displaystyle sin (gamma)} C z {displaystyle c_ {z}} C {displaystyle mathbf {c}}
C ⋅ A = A C cos ( β ) = C X A , C ⋅ b = b C cos ( α ) = C X b cos ( y ) + C y b hřích ( y ) , C ⋅ C = C 2 = C X 2 + C y 2 + C z 2 . {displaystyle {egin {aligned} {mathbf {c}} cdot {mathbf {a}} & = accos (eta) = c_ {x} a, {mathbf {c}} cdot {mathbf {b}} & = bccos (alfa) = c_ {x} bcos (gama) + c_ {y} bsin (gama), {mathbf {c}} cdot {mathbf {c}} & = c ^ {2} = c_ {x} ^ { 2} + c_ {y} ^ {2} + c_ {z} ^ {2}. End {zarovnáno}}} Pak
C X = C cos ( β ) , C y = C cos ( α ) − cos ( y ) cos ( β ) hřích ( y ) , C z 2 = C 2 − C X 2 − C y 2 = C 2 { 1 − cos 2 ( β ) − [ cos ( α ) − cos ( y ) cos ( β ) ] 2 hřích 2 ( y ) } . {displaystyle {egin {aligned} c_ {x} & = ccos (eta), c_ {y} & = c {frac {cos (alpha) -cos (gamma) cos (eta)} {sin (gamma)}} , c_ {z} ^ {2} & = c ^ {2} -c_ {x} ^ {2} -c_ {y} ^ {2} = c ^ {2} vlevo {1-cos ^ {2} (eta) - {frac {[cos (alfa) -cos (gama) cos (eta)] ^ {2}} {sin ^ {2} (gama)}} hned}. end {zarovnáno}}} Poslední pokračuje
C z 2 = C 2 hřích 2 ( y ) − hřích 2 ( y ) cos 2 ( β ) − [ cos ( α ) − cos ( y ) cos ( β ) ] 2 hřích 2 ( y ) = C 2 hřích 2 ( y ) { hřích 2 ( y ) − hřích 2 ( y ) cos 2 ( β ) − [ cos ( α ) − cos ( y ) cos ( β ) ] 2 } {displaystyle {egin {aligned} c_ {z} ^ {2} & = c ^ {2} {frac {sin ^ {2} (gamma) -sin ^ {2} (gamma) cos ^ {2} (eta) - [cos (alfa) -cos (gama) cos (eta)] ^ {2}} {sin ^ {2} (gama)}} & = {frac {c ^ {2}} {sin ^ {2} (gama)}} vlevo {sin ^ {2} (gama) -sin ^ {2} (gama) cos ^ {2} (eta) - [cos (alfa) -cos (gama) cos (eta)] ^ { 2} hned} konec {zarovnáno}}} kde
hřích 2 ( y ) − hřích 2 ( y ) cos 2 ( β ) − [ cos ( α ) − cos ( y ) cos ( β ) ] 2 = hřích 2 ( y ) − hřích 2 ( y ) cos 2 ( β ) − cos 2 ( α ) − cos 2 ( y ) cos 2 ( β ) + 2 cos ( α ) cos ( y ) cos ( β ) = hřích 2 ( y ) − cos 2 ( α ) − hřích 2 ( y ) cos 2 ( β ) − cos 2 ( y ) cos 2 ( β ) + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( y ) = hřích 2 ( y ) − cos 2 ( α ) − [ hřích 2 ( y ) + cos 2 ( y ) ] cos 2 ( β ) + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( y ) = hřích 2 ( y ) − cos 2 ( α ) − cos 2 ( β ) + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( y ) = 1 − cos 2 ( α ) − cos 2 ( β ) − cos 2 ( y ) + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( y ) . {displaystyle {egin {aligned} & sin ^ {2} (gamma) -sin ^ {2} (gamma) cos ^ {2} (eta) - [cos (alfa) -cos (gamma) cos (eta)] ^ { 2} & = sin ^ {2} (gama) -sin ^ {2} (gama) cos ^ {2} (eta) -cos ^ {2} (alfa) -cos ^ {2} (gama) cos ^ {2} (eta) + 2cos (alfa) cos (gama) cos (eta) & = sin ^ {2} (gama) -cos ^ {2} (alfa) -sin ^ {2} (gama) cos ^ {2} (eta) -cos ^ {2} (gama) cos ^ {2} (eta) + 2cos (alfa) cos (eta) cos (gama) & = sin ^ {2} (gama) -cos ^ {2} (alfa) - [sin ^ {2} (gama) + cos ^ {2} (gama)] cos ^ {2} (eta) + 2cos (alfa) cos (eta) cos (gama) & = sin ^ {2} (gama) -cos ^ {2} (alfa) -cos ^ {2} (eta) + 2cos (alfa) cos (eta) cos (gama) & = 1-cos ^ {2} ( alfa) -cos ^ {2} (eta) -cos ^ {2} (gama) + 2cos (alfa) cos (eta) cos (gama). end {zarovnáno}}} Vzpomínka C z {displaystyle c_ {z}} C {displaystyle c} hřích ( y ) {displaystyle sin (gamma)}
C z = C hřích ( y ) 1 − cos 2 ( α ) − cos 2 ( β ) − cos 2 ( y ) + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( y ) . {displaystyle c_ {z} = {frac {c} {sin (gamma)}} {sqrt {1-cos ^ {2} (alpha) -cos ^ {2} (eta) -cos ^ {2} (gamma) + 2cos (alfa) cos (eta) cos (gama)}}.} Protože absolutní hodnota spodní plochy buňky je
| σ C | = A b hřích ( y ) , {displaystyle left | mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} ight | = absin (gama),} objem rovnoběžnostěnné buňky lze také vyjádřit jako
Ω = C z | σ C | = A b C 1 − cos 2 ( α ) − cos 2 ( β ) − cos 2 ( y ) + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( y ) {displaystyle Omega = c_ {z} left | mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} ight | = abc {sqrt {1-cos ^ {2} (alpha) -cos ^ {2} (eta) -cos ^ {2} (gamma) + 2cos (alfa) cos (eta) cos (gamma)}}} [2] Jakmile je objem vypočítán výše, jeden má
C z = Ω A b hřích ( y ) . {displaystyle c_ {z} = {frac {Omega} {absin (gama)}}.} Nyní shrňme výraz okrajových (tečkových) vektorů
A = ( A X , A y , A z ) = ( A , 0 , 0 ) , b = ( b X , b y , b z ) = ( b cos ( y ) , b hřích ( y ) , 0 ) , C = ( C X , C y , C z ) = ( C cos ( β ) , C cos ( α ) − cos ( β ) cos ( y ) hřích ( y ) , Ω A b hřích ( y ) ) . {displaystyle {egin {aligned} {mathbf {a}} & = ({a} _ {x}, {a} _ {y}, {a} _ {z}) = (a, 0,0), {mathbf {b}} & = ({b} _ {x}, {b} _ {y}, {b} _ {z}) = (bcos (gama), bsin (gama), 0), { mathbf {c}} & = ({c} _ {x}, {c} _ {y}, {c} _ {z}) = (ccos (eta), c {frac {cos (alfa) -cos ( eta) cos (gama)} {sin (gama)}}, {frac {Omega} {absin (gama)}}). end {zarovnáno}}} Převod z kartézských souřadnic Nejprve vypočítáme následující povrchový vektor buňky
σ A = ( σ A , X , σ A , y , σ A , z ) = b × C , {displaystyle mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} = (mathbf {sigma} _ {mathbf {a}, x}, mathbf {sigma} _ {mathbf {a}, y}, mathbf {sigma} _ {mathbf {a}, z}) = {mathbf {b}} je {mathbf {c}},} kde
σ A , X = b y C z − b z C y = b hřích ( y ) Ω A b hřích ( y ) = Ω A , σ A , y = b z C X − b X C z = − b cos ( y ) Ω A b hřích ( y ) = − Ω cos ( y ) A hřích ( y ) , σ A , z = b X C y − b y C X = b cos ( y ) C cos ( α ) − cos ( β ) cos ( y ) hřích ( y ) − b hřích ( y ) C cos ( β ) = b C { cos ( y ) cos ( α ) − cos ( β ) cos ( y ) hřích ( y ) − hřích ( y ) cos ( β ) } = b C hřích ( y ) { cos ( y ) [ cos ( α ) − cos ( β ) cos ( y ) ] − hřích 2 ( y ) cos ( β ) } = b C hřích ( y ) { cos ( y ) cos ( α ) − cos ( β ) cos 2 ( y ) − hřích 2 ( y ) cos ( β ) } = b C hřích ( y ) { cos ( α ) cos ( y ) − cos ( β ) } . {displaystyle {egin {aligned} mathbf {sigma} _ {mathbf {a}, x} & = {b} _ {y} {c} _ {z} - {b} _ {z} {c} _ {y } = bsin (gama) {frac {Omega} {absin (gama)}} = {frac {Omega} {a}}, mathbf {sigma} _ {mathbf {a}, y} & = {b} _ { z} {c} _ {x} - {b} _ {x} {c} _ {z} = - bcos (gamma) {frac {Omega} {absin (gamma)}} = - {frac {Omega cos ( gamma)} {asin (gamma)}}, mathbf {sigma} _ {mathbf {a}, z} & = {b} _ {x} {c} _ {y} - {b} _ {y} { c} _ {x} = bcos (gama) c {frac {cos (alfa) -cos (eta) cos (gama)} {sin (gama)}} - bsin (gama) ccos (eta) & = bcleft { cos (gama) {frac {cos (alfa) -cos (eta) cos (gama)} {sin (gama)}} - sin (gama) cos (eta) ight} & = {frac {bc} {sin ( gamma)}} left {cos (gamma) [cos (alpha) -cos (eta) cos (gamma)] - sin ^ {2} (gamma) cos (eta) ight} & = {frac {bc} {sin (gama)}} vlevo {cos (gama) cos (alfa) -cos (eta) cos ^ {2} (gama) -sin ^ {2} (gama) cos (eta) ight} & = {frac {bc } {sin (gama)}} vlevo {cos (alfa) cos (gama) -cos (eta) ight}. end {zarovnáno}}} Další povrchový vektor buňky
σ b = ( σ b , X , σ b , y , σ b , z ) = C × A , {displaystyle mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} = (mathbf {sigma} _ {mathbf {b}, x}, mathbf {sigma} _ {mathbf {b}, y}, mathbf {sigma} _ {mathbf {b}, z}) = {mathbf {c}} je {mathbf {a}},} kde
σ b , X = C y A z − C z A y = 0 , σ b , y = C z A X − C X A z = A Ω A b hřích ( y ) = Ω b hřích ( y ) , σ b , z = C X A y − C y A X = − A C cos ( α ) − cos ( β ) cos ( y ) hřích ( y ) = A C hřích ( y ) { cos ( β ) cos ( y ) − cos ( α ) } . {displaystyle {egin {aligned} mathbf {sigma} _ {mathbf {b}, x} & = {c} _ {y} {a} _ {z} - {c} _ {z} {a} _ {y } = 0, mathbf {sigma} _ {mathbf {b}, y} & = {c} _ {z} {a} _ {x} - {c} _ {x} {a} _ {z} = a {frac {Omega} {absin (gamma)}} = {frac {Omega} {bsin (gamma)}}, mathbf {sigma} _ {mathbf {b}, z} & = {c} _ {x} {a} _ {y} - {c} _ {y} {a} _ {x} = - ac {frac {cos (alfa) -cos (eta) cos (gama)} {sin (gama)}} & = {frac {ac} {sin (gamma)}} vlevo {cos (eta) cos (gama) -cos (alfa) ight} .end {zarovnáno}}} Poslední povrchový vektor buňky
σ C = ( σ C , X , σ C , y , σ C , z ) = A × b , {displaystyle mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} = (mathbf {sigma} _ {mathbf {c}, x}, mathbf {sigma} _ {mathbf {c}, y}, mathbf {sigma} _ {mathbf {c}, z}) = {mathbf {a}} je {mathbf {b}},} kde
σ C , X = A y b z − A z b y = 0 , σ C , y = A z b X − A X b z = 0 , σ C , z = A X b y − A y b X = A b hřích ( y ) . {displaystyle {egin {aligned} mathbf {sigma} _ {mathbf {c}, x} & = {a} _ {y} {b} _ {z} - {a} _ {z} {b} _ {y } = 0, mathbf {sigma} _ {mathbf {c}, y} & = {a} _ {z} {b} _ {x} - {a} _ {x} {b} _ {z} = 0, mathbf {sigma} _ {mathbf {c}, z} & = {a} _ {x} {b} _ {y} - {a} _ {y} {b} _ {x} = absin ( gamma) .end {zarovnáno}}} Shrnout
σ A ′ = 1 Ω σ A = ( 1 A , − cos ( y ) A hřích ( y ) , b C cos ( α ) cos ( y ) − cos ( β ) Ω hřích ( y ) ) , σ b ′ = 1 Ω σ b = ( 0 , 1 b hřích ( y ) , A C cos ( β ) cos ( y ) − cos ( α ) Ω hřích ( y ) ) , σ C ′ = 1 Ω σ C = ( 0 , 0 , A b hřích ( y ) Ω ) . {displaystyle {egin {aligned} mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} ^ {prime} & = {frac {1} {Omega}} {mathbf {sigma} _ {mathbf {a}}} = vlevo ({ frac {1} {a}}, - {frac {cos (gama)} {asin (gama)}}, bc {frac {cos (alfa) cos (gama) -cos (eta)} {Omega sin (gama) }} ight), mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} ^ {prime} & = {frac {1} {Omega}} {mathbf {sigma} _ {mathbf {b}}} = vlevo (0, {frac {1} {bsin (gamma)}}, ac {frac {cos (eta) cos (gamma) -cos (alpha)} {Omega sin (gamma)}} ight), mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} ^ {prime} & = {frac {1} {Omega}} {mathbf {sigma} _ {mathbf {c}}} = vlevo (0,0, {frac {absin (gama)} {Omega} } hned) .end {zarovnáno}}} Jako výsledek[3]
[ u proti w ] = [ 1 A − cos ( y ) A hřích ( y ) b C cos ( α ) cos ( y ) − cos ( β ) Ω hřích ( y ) 0 1 b hřích ( y ) A C cos ( β ) cos ( y ) − cos ( α ) Ω hřích ( y ) 0 0 A b hřích ( y ) Ω ] [ X y z ] {displaystyle left [{egin {matrix} u v wend {matrix}} ight] = left [{egin {matrix} {frac {1} {a}} & - {frac {cos (gamma)} {asin ( gamma)}} & bc {frac {cos (alpha) cos (gamma) -cos (eta)} {Omega sin (gamma)}} 0 & {frac {1} {bsin (gamma)}} & ac {frac {cos ( eta) cos (gamma) -cos (alpha)} {Omega sin (gamma)}} 0 & 0 & {frac {absin (gamma)} {Omega}} konec {matrix}} vpravo] vlevo [{egin {matrix} x y zend {matrix}} ight]} kde ( X {displaystyle (x} y {displaystyle y} z ) {displaystyle z)} r {displaystyle mathbf {r}}
Převod na kartézské souřadnice Chcete-li vrátit ortogonální souřadnice v ångströms z zlomkových souřadnic lze použít první rovnici nahoře a vyjádření okrajových (periodických) vektorů[4] [5]
[ X y z ] = [ A b cos ( y ) C cos ( β ) 0 b hřích ( y ) C cos ( α ) − cos ( β ) cos ( y ) hřích ( y ) 0 0 Ω A b hřích ( y ) ] [ u proti w ] . {displaystyle left [{egin {matrix} x y zend {matrix}} ight] = left [{egin {matrix} a & bcos (gamma) & ccos (eta) 0 & bsin (gamma) & c {frac {cos (alpha) - cos (eta) cos (gama)} {sin (gama)}} 0 & 0 & {frac {Omega} {absin (gama)}} konec {matice}} vpravo] vlevo [{egin {matice} u v wend { matice}} hned].} Pro speciální případ a monoklinická buňka (běžný případ) kde α = y = 90 ∘ {displaystyle alpha = gamma = 90 ^ {circ}} β > 90 ∘ {displaystyle eta> 90 ^ {circ}}
X = A u + C w cos ( β ) , y = b proti , z = Ω A b w = C w hřích ( β ) . {displaystyle {egin {aligned} x & = au + cwcos (eta), y & = bv, z & = {frac {Omega} {ab}} w = cwsin (eta) .end {aligned}}} Podpora formátů souborů Reference ^ "Definice jednotkové buňky pomocí rovnoběžnostěnu s délkami A , b , C a úhly mezi hranami dané α , β , y " . Ccdc.cam.ac.uk . Archivovány od originál dne 04.10.2008. Citováno 2016-08-17 .^ „Transformace souřadnicového systému“ . www.ruppweb.org . Citováno 2016-10-19 .^ „Transformace souřadnicového systému“ . Ruppweb.org . Citováno 2016-10-19 .^ Sussman, J .; Holbrook, S .; Church, G .; Kim, S (1977). "Postup zdokonalování strukturních faktorů nejmenších čtverců pro makromolekulární struktury využívající omezené a omezené parametry". Acta Crystallogr. A . 33 (5): 800–804. Bibcode :1977AcCrA..33..800S . CiteSeerX 10.1.1.70.8631 doi :10.1107 / S0567739477001958 . ^ Rossmann, M .; Blow, D. (1962). "Detekce podjednotek uvnitř krystalografické asymetrické jednotky". Acta Crystallogr . 15 : 24–31. CiteSeerX 10.1.1.319.3019 doi :10.1107 / S0365110X62000067 . 
![{displaystyle {egin {aligned} c_ {x} & = ccos (eta), c_ {y} & = c {frac {cos (alpha) -cos (gamma) cos (eta)} {sin (gamma)}} , c_ {z} ^ {2} & = c ^ {2} -c_ {x} ^ {2} -c_ {y} ^ {2} = c ^ {2} vlevo {1-cos ^ {2} (eta) - {frac {[cos (alfa) -cos (gamma) cos (eta)] ^ {2}} {sin ^ {2} (gama)}} hned}. end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f4b2b245ad322aa239174a1c015a928cde0a45)
![{displaystyle {egin {aligned} c_ {z} ^ {2} & = c ^ {2} {frac {sin ^ {2} (gamma) -sin ^ {2} (gamma) cos ^ {2} (eta) - [cos (alfa) -cos (gama) cos (eta)] ^ {2}} {sin ^ {2} (gama)}} & = {frac {c ^ {2}} {sin ^ {2} (gama)}} vlevo {sin ^ {2} (gama) -sin ^ {2} (gama) cos ^ {2} (eta) - [cos (alfa) -cos (gama) cos (eta)] ^ { 2} hned} konec {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/935e638c35a037b78b7b2bd379351fb7cbaf8691)
![{displaystyle {egin {aligned} & sin ^ {2} (gamma) -sin ^ {2} (gamma) cos ^ {2} (eta) - [cos (alfa) -cos (gamma) cos (eta)] ^ { 2} & = sin ^ {2} (gama) -sin ^ {2} (gama) cos ^ {2} (eta) -cos ^ {2} (alfa) -cos ^ {2} (gama) cos ^ {2} (eta) + 2cos (alfa) cos (gama) cos (eta) & = sin ^ {2} (gama) -cos ^ {2} (alfa) -sin ^ {2} (gama) cos ^ {2} (eta) -cos ^ {2} (gama) cos ^ {2} (eta) + 2cos (alfa) cos (eta) cos (gama) & = sin ^ {2} (gama) -cos ^ {2} (alfa) - [sin ^ {2} (gama) + cos ^ {2} (gama)] cos ^ {2} (eta) + 2cos (alfa) cos (eta) cos (gama) & = sin ^ {2} (gama) -cos ^ {2} (alfa) -cos ^ {2} (eta) + 2cos (alfa) cos (eta) cos (gama) & = 1-cos ^ {2} ( alfa) -cos ^ {2} (eta) -cos ^ {2} (gama) + 2cos (alfa) cos (eta) cos (gama). end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84639c5dd72fa894c1b432deb4a37048ec16689c)
![{displaystyle {egin {aligned} mathbf {sigma} _ {mathbf {a}, x} & = {b} _ {y} {c} _ {z} - {b} _ {z} {c} _ {y } = bsin (gama) {frac {Omega} {absin (gama)}} = {frac {Omega} {a}}, mathbf {sigma} _ {mathbf {a}, y} & = {b} _ { z} {c} _ {x} - {b} _ {x} {c} _ {z} = - bcos (gamma) {frac {Omega} {absin (gamma)}} = - {frac {Omega cos ( gamma)} {asin (gamma)}}, mathbf {sigma} _ {mathbf {a}, z} & = {b} _ {x} {c} _ {y} - {b} _ {y} { c} _ {x} = bcos (gama) c {frac {cos (alfa) -cos (eta) cos (gama)} {sin (gama)}} - bsin (gama) ccos (eta) & = bcleft { cos (gama) {frac {cos (alfa) -cos (eta) cos (gama)} {sin (gama)}} - sin (gama) cos (eta) ight} & = {frac {bc} {sin ( gamma)}} left {cos (gamma) [cos (alpha) -cos (eta) cos (gamma)] - sin ^ {2} (gamma) cos (eta) ight} & = {frac {bc} {sin (gama)}} vlevo {cos (gama) cos (alfa) -cos (eta) cos ^ {2} (gama) -sin ^ {2} (gama) cos (eta) ight} & = {frac {bc } {sin (gama)}} vlevo {cos (alfa) cos (gama) -cos (eta) ight}. end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eadbb81a1bf8feb74e2a08963ebe9b631ef39bcf)
![{displaystyle left [{egin {matrix} u v wend {matrix}} ight] = left [{egin {matrix} {frac {1} {a}} & - {frac {cos (gamma)} {asin ( gamma)}} & bc {frac {cos (alpha) cos (gamma) -cos (eta)} {Omega sin (gamma)}} 0 & {frac {1} {bsin (gamma)}} & ac {frac {cos ( eta) cos (gama) -cos (alfa)} {Omega sin (gama)}} 0 a 0 & {frac {absin (gama)} {Omega}} konec {matrix}} vpravo] vlevo [{egin {matrix} x y zend {matrix}} ight]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbf2aa3407bf0ee76088a2a068ba2fcd067d7cd)
![{displaystyle left [{egin {matrix} x y zend {matrix}} ight] = left [{egin {matrix} a & bcos (gamma) & ccos (eta) 0 & bsin (gamma) & c {frac {cos (alpha) - cos (eta) cos (gama)} {sin (gama)}} 0 & 0 & {frac {Omega} {absin (gama)}} konec {matice}} vpravo] vlevo [{egin {matice} u v wend { matice}} hned].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e44ae0b4bf199429eb0763ac90ea96872c37690)
