Transformace souřadnic úhlem
An
xy-Kartézský souřadný systém otočený o úhel

do
x'y '-Kartézský souřadnicový systém
v matematika, a otáčení os ve dvou rozměrech je a mapování z xy-Kartézský souřadnicový systém do x'y '-Kartézský souřadnicový systém, ve kterém původ je udržována pevná a X' a y ' Osy se získají otočením X a y osy proti směru hodinových ručiček o úhel
. Bod P má souřadnice (X, y) s ohledem na původní systém a souřadnice (X', y ') s ohledem na nový systém.[1] V novém souřadném systému bod P bude vypadat, že byl natočen v opačném směru, to znamená ve směru hodinových ručiček o úhel
. Podobně je definováno otáčení os ve více než dvou rozměrech.[2][3] Rotace os je a lineární mapa[4][5] a a rigidní transformace.
Motivace
Souřadnicové systémy jsou nezbytné pro studium rovnic křivky pomocí metod analytická geometrie. Chcete-li použít metodu souřadnicové geometrie, osy se umístí do vhodné polohy vzhledem k uvažované křivce. Například studovat rovnice elipsy a hyperboly, ohniska jsou obvykle umístěny na jedné z os a jsou umístěny symetricky vzhledem k počátku. Pokud křivka (hyperbola, parabola, elipsa atd.) je ne umístěn pohodlně vzhledem k osám, měl by být změněn souřadný systém tak, aby křivka byla umístěna na vhodné a známé místo a orientaci. Proces provádění této změny se nazývá a transformace souřadnic.[6]
Řešení mnoha problémů lze zjednodušit otáčením souřadnicových os pro získání nových os se stejným počátkem.
Derivace
Rovnice definující transformaci ve dvou dimenzích, která rotuje xy osy proti směru hodinových ručiček o úhel
do x'y ' osy, jsou odvozeny následovně.
V xy systém, nechte bod P mít polární souřadnice
. Pak v x'y ' Systém, P bude mít polární souřadnice
.
Použitím trigonometrické funkce, my máme
 | | (1) |
 | | (2) |
a pomocí standardu trigonometrické vzorce pro rozdíly máme
 | | (3) |
 | | (4) |
Dosazením rovnic (1) a (2) do rovnic (3) a (4), získáváme
 | | (5) |
[7] | | (6) |
Rovnice (5) a (6) lze reprezentovat v maticové formě jako

což je standardní maticová rovnice rotace os ve dvou rozměrech.[8]
Inverzní transformace je
 | | (7) |
[9] | | (8) |
nebo

Příklady ve dvou rozměrech
Příklad 1
Najděte souřadnice bodu
poté, co se osy otočí o úhel
nebo 30 °.
Řešení:


Osy byly otočeny proti směru hodinových ručiček o úhel
a nové souřadnice jsou
. Všimněte si, že bod se zdá být otočen ve směru hodinových ručiček
vzhledem k pevným osám, takže se nyní shoduje s (novým) X' osa.
Příklad 2
Najděte souřadnice bodu
poté, co se osy otočí ve směru hodinových ručiček o 90 °, tj. o úhel
nebo -90 °.
Řešení:

Osy byly otočeny o úhel
, který je ve směru hodinových ručiček a nové souřadnice jsou
. Opět si všimněte, že se zdá, že bod byl otočen proti směru hodinových ručiček
s ohledem na pevné osy.
Rotace kuželovitých řezů
Nejobecnější rovnice druhého stupně má tvar
(  ne celá nula). [10] | | (9) |
Změnou souřadnic (rotací os a a překlad os ), rovnice (9) lze vložit do a standardní forma, se kterým se obvykle pracuje snáze. Vždy je možné otočit souřadnice takovým způsobem, že v novém systému není x'y ' období. Dosazením rovnic (7) a (8) do rovnice (9), získáváme
 | | (10) |
kde
     
| | (11) |
Li
je vybrána tak, že
budeme mít
a x'y ' výraz v rovnici (10) zmizí.[11]
Když nastane problém s B, D a E všechny odlišné od nuly, mohou být odstraněny postupným střídáním (eliminace B) a překlad (eliminace D a E podmínky).[12]
Identifikace otočených kuželových řezů
Nedegenerovaný kuželovitý řez daný rovnicí (9) lze identifikovat hodnocením
. Kónická část je:
[13]
Zobecnění do několika dimenzí
Předpokládejme, že je obdélníkový xyz-koordinovaný systém se otáčí kolem z osa proti směru hodinových ručiček (při pohledu dolů kladné z osa) o úhel
, tj. pozitivní X osa se okamžitě otočí do kladného bodu y osa. The z souřadnice každého bodu se nemění a X a y souřadnice se transformují výše. Staré souřadnice (X, y, z) bodu Q souvisí s jeho novými souřadnicemi (X', y ', z ') od