Seznam běžných transformací souřadnic - List of common coordinate transformations

Toto je seznam některých nejčastěji používaných transformací souřadnic.

2-dimenzionální

Nechť (x, y) je standard Kartézské souřadnice, a r a θ standard polární souřadnice.

Na kartézské souřadnice

Z polárních souřadnic

{displaystyle {egin {aligned} x & = r, cos heta y & = r, sin heta {frac {částečný (x, y)} {částečný (r, heta)}} & = {egin {pmatrix} cos heta & -r, sin heta sin heta & r, protože heta konec {pmatrix}} Jacobian = det {frac {částečný (x, y)} {částečný (r, heta)}} & = vykreslení {zarovnáno}}}

Z log-polárních souřadnic

{displaystyle {egin {aligned} x & = e ^ {ho} cos heta, y & = e ^ {ho} sin heta .end {aligned}}}

Pomocí komplexních čísel ${displaystyle (x, y) = x + iy '}$ , transformaci lze zapsat jako

{displaystyle x + iy = e ^ {ho + i heta}}

Je to dáno komplexní exponenciální funkcí.

Z bipolárních souřadnic

{displaystyle {egin {aligned} x & = a {frac {sinh au} {cosh au -cos sigma}} y & = a {frac {sin sigma} {cosh au -cos sigma}} konec {zarovnáno}}}

Ze 2-středových bipolárních souřadnic

{displaystyle {egin {aligned} x & = {frac {1} {4c}} vlevo (r_ {1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2} ight) y & = pm {frac {1} {4c }} {sqrt {16c ^ {2} r_ {1} ^ {2} - (r_ {1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2} + 4c ^ {2}) ^ {2}}} konec {zarovnáno}}}

Z rovnice Cesàro

{displaystyle {egin {aligned} x & = int cos left [int kappa (s), dsight] ds y & = int sin left [int kappa (s), dsight] dsend {aligned}}}

Na polární souřadnice

Z kartézských souřadnic

{displaystyle {egin {aligned} r & = {sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} heta ^ {prime} & = arctan left | {frac {y} {x}} ight | end {aligned }}}

Poznámka: řešení pro ${displaystyle heta ^ {prime}}$ vrací výsledný úhel v prvním kvadrantu ( ${displaystyle 0$ ). Najít ${displaystyle heta}$ , je třeba odkazovat na původní kartézskou souřadnici, určit kvadrant, ve kterém ${displaystyle heta}$ leží (ex (3, -3) [kartézský] leží v QIV), pak použijte následující řešení pro ${displaystyle heta}$ :

Pro ${displaystyle heta ^ {prime}}$ v QI:
${displaystyle heta = heta ^ {prime}}$
Pro ${displaystyle heta ^ {prime}}$ v QII:
${displaystyle heta = pi - heta ^ {prime}}$
Pro ${displaystyle heta ^ {prime}}$ v QIII:
${displaystyle heta = pi + heta ^ {prime}}$
Pro ${displaystyle heta ^ {prime}}$ v QIV:
${displaystyle heta = 2pi - heta ^ {prime}}$

Hodnota pro ${displaystyle heta}$ musí být vyřešen tímto způsobem, protože pro všechny hodnoty ${displaystyle heta}$ , ${displaystyle an heta}$ je definováno pouze pro ${displaystyle - {frac {pi} {2}}$ , a je periodický (s tečkou ${displaystyle pi}$ ). To znamená, že inverzní funkce bude dávat hodnoty pouze v doméně funkce, ale bude omezena na jediné období. Rozsah inverzní funkce je tedy pouze polovina celého kruhu.

Všimněte si, že lze také použít

{displaystyle {egin {aligned} r & = {sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} heta ^ {prime} & = 2arctan {frac {y} {x + r}} end {aligned}} }

Ze 2-středových bipolárních souřadnic

{displaystyle {egin {aligned} r & = {sqrt {frac {r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2} -2c ^ {2}} {2}}} heta & = arctan left [ {sqrt {{frac {8c ^ {2} (r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2} -2c ^ {2})} {r_ {1} ^ {2} -r_ {2 } ^ {2}}} - 1}} hned] konec {zarovnáno}}}

Kde 2C je vzdálenost mezi póly.

Zaznamenávat polární souřadnice z kartézských souřadnic

{displaystyle {egin {aligned} ho & = log {sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}, heta & = arctan {frac {y} {x}}. end {aligned}}}

Délka oblouku a zakřivení

V kartézských souřadnicích

{displaystyle {egin {aligned} kappa & = {frac {x'y '' - y'x ''} {({x '} ^ {2} + {y'} ^ {2}) ^ {frac {3 } {2}}}} s & = int _ {a} ^ {t} {sqrt {{x '} ^ {2} + {y'} ^ {2}}}, dtend {zarovnáno}}}

V polárních souřadnicích

{displaystyle {egin {aligned} kappa & = {frac {r ^ {2} +2 {r '} ^ {2} -rr' '} {(r ^ {2} + {r'} ^ {2}) ^ {frac {3} {2}}}} s & = int _ {a} ^ {phi} {sqrt {r ^ {2} + {r '} ^ {2}}}, konec phph {zarovnáno}} }

3 dimenzionální

Nechť (x, y, z) jsou standardní kartézské souřadnice a (ρ, θ, φ) sférické souřadnice, s θ úhel měřený od osy + Z (jako [1], viz konvence v sférické souřadnice ). Protože φ má rozsah 360 °, platí stejné úvahy jako v polárních (dvourozměrných) souřadnicích, kdykoli se vezme jejich arkustangens. θ má rozsah 180 °, běží od 0 ° do 180 °, a nepředstavuje žádný problém při výpočtu z arccosinu, ale pozor na arkustangens.

Pokud v alternativní definici θ je vybrán tak, aby běžel od -90 ° do + 90 °, v opačném směru než dřívější definice, lze jej najít jedinečně z arcsinu, ale pozor na arkotangens. V tomto případě ve všech vzorcích pod všemi argumenty v θ by měly mít sinus a kosinus vyměněny, a jako derivát také plus a minus vyměněn.

Všechna dělení nulou mají za následek zvláštní případy, že jsou směry podél jedné z hlavních os, a jsou v praxi nejsnadněji vyřešena pozorováním.