Tangenciální úhel - Tangential angle
v geometrie, tangenciální úhel křivky v kartézské rovině v určitém bodě je úhel mezi tečnou k křivce v daném bodě a X-osa.[1] (Všimněte si, že někteří autoři definují úhel jako odchylku od směru křivky v určitém pevném počátečním bodě. To je ekvivalentní zde uvedené definici přidáním konstanty k úhlu nebo otočením křivky.[2])
Rovnice
Pokud je křivka parametricky dána vztahem (X(t), y(t)), pak tečný úhel φ na t je definován (až do násobku 2π) od[3]
Tady je hlavní symbol označuje derivát s ohledem na t. Tangenciální úhel tedy určuje směr rychlost vektor (X(t), y(t)), zatímco Rychlost určuje jeho velikost. Vektor
se nazývá jednotkový tangens vektor, takže ekvivalentní definice je, že tangenciální úhel v t je úhel φ takhle (cos φ, hřích φ) je jednotkový tečný vektor v t.
Pokud je křivka parametrizována pomocí délka oblouku s, tak |X′(s), y′(s)| = 1, pak se definice zjednodušuje na
V tomto případě zakřivení κ darováno φ′(s), kde κ je považován za kladný, pokud se křivka ohýbá doleva, a záporný, pokud se křivka ohýbá doprava.[1]
Pokud je křivka dána vztahem y = F(X)pak si můžeme vzít (X, F(X)) jako parametrizace, a můžeme předpokládat φ je mezi −π/2 a π/2. Tím se vytvoří explicitní výraz
Polární tangenciální úhel[4]
v polární souřadnice, polární tangenciální úhel je definován jako úhel mezi tečnou čárou ke křivce v daném bodě a paprskem od počátku do bodu.[5] Li ψ označuje polární tangenciální úhel ψ = φ − θ, kde φ je jako výše a θ je jako obvykle polární úhel.
Pokud je křivka definována v polárních souřadnicích pomocí r = F(θ), pak polární tangenciální úhel ψ na θ je definován (až do násobku 2π) od
- .
Pokud je křivka parametrizována délkou oblouku s tak jako r = r(s), θ = θ(s), tak |r′(s), rθ′(s)| = 1, pak se definice stane
- .
The logaritmická spirála lze definovat křivku, jejíž polární tangenciální úhel je konstantní.[4][5]
Viz také
Reference
- ^ A b Weisstein, Eric W. "Přírodní rovnice". MathWorld.
- ^ Například: Whewell, W. (1849). „Vnitřní rovnice křivky a její aplikace“. Cambridge filozofické transakce. 8: 659–671. Tento článek používá φ znamená úhel mezi tečnou a tečnou v počátku. Toto je článek představující Whewellovu rovnici, aplikaci tangenciálního úhlu.
- ^ Weisstein, Eric W. "Tangenciální úhel". MathWorld.
- ^ A b Williamson, Benjamin (1899). "Úhel mezi tečnami a poloměrem". Základní pojednání o diferenciálním počtu (9. vydání). p. 222.
- ^ A b Logaritmická spirála na PlanetMath.org.
Další čtení
- „Notace“. Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (francouzsky).
- Yates, R. C. (1952). Příručka o křivkách a jejich vlastnostech. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. str. 123–126.