Barycentrický souřadnicový systém - Barycentric coordinate system

v geometrie, a barycentrický souřadný systém je souřadnicový systém ve kterém je umístění bodu specifikováno odkazem na a simplexní (A trojúhelník pro body v a letadlo, a čtyřstěn pro body v trojrozměrný prostor, atd.). The barycentrické souřadnice bodu lze interpretovat jako masy umístěné na vrcholech simplexu, takže bod je těžiště (nebo barycentrum) těchto mas. Tyto hmotnosti mohou být nulové nebo záporné; všechny jsou pozitivní právě tehdy, pokud je bod uvnitř simplexu.

Každý bod má barycentrické souřadnice a jejich součet není nulový. Dva n-tice barycentrických souřadnic specifikujte stejný bod právě tehdy, pokud jsou proporcionální; to znamená, pokud lze jednu n-tici získat vynásobením prvků druhé n-tice stejným nenulovým číslem. Proto jsou barycentrické souřadnice považovány za definované až do násobení nenulovou konstantou nebo normalizované pro sčítání do jednoty.

Barycentrické souřadnice byly zavedeny pomocí August Ferdinand Möbius v roce 1827.^[1][2][3] Jsou zvláštní homogenní souřadnice. Barycentrické souřadnice jsou silně spojeny s Kartézské souřadnice a obecněji do afinní souřadnice (vidět Afinní prostor § Vztah mezi barycentrickými a afinními souřadnicemi ).

Barycentrické souřadnice jsou zvláště užitečné v geometrie trojúhelníku pro studium vlastností, které nezávisí na úhlech trojúhelníku, jako např Cevova věta. v Počítačem podporovaný design, jsou užitečné pro definování nějakého druhu Bézierovy povrchy. ^[4][5]

Definice

Nechat ${ displaystyle A_ {0}, ldots, A_ {n}}$ být n + 1 body v a Euklidovský prostor, a byt nebo afinní prostor ${ displaystyle mathbf {A}}$ dimenze n to jsou afinně nezávislý; to znamená, že neexistuje afinní podprostor dimenze n který obsahuje všechny body, nebo ekvivalentně, že body definují a simplexní. Vzhledem k jakémukoli bodu ${ displaystyle P in mathbf {A},}$ existují skaláry ${ displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {n}}$ které nejsou všechny nulové, takové

${ displaystyle (a_ {0} + cdots + a_ {n}) { overrightarrow {OP}} = a_ {0} { overrightarrow {OA_ {0}}} + cdots + a_ {n} { overrightarrow {OA_ {n}}},}$

pro jakýkoli bod Ó. (Jako obvykle, notace ${ displaystyle { overrightarrow {AB}}}$ představuje překladový vektor nebo volný vektor který mapuje bod A do té míry B.)

Prvky a (n + 1)n-tice ${ displaystyle (a_ {0}: dotsc: a_ {n})}$ které splňují tuto rovnici se nazývají barycentrické souřadnice z P s ohledem na ${ displaystyle A_ {0}, ldots, A_ {n}.}$ Použití dvojteček v zápisu n-tice znamená, že barycentrické souřadnice jsou jakýmsi způsobem homogenní souřadnice, to znamená, že bod se nezmění, pokud jsou všechny souřadnice vynásobeny stejnou nenulovou konstantou. Kromě toho se barycentrické souřadnice také nezmění, pokud se jedná o pomocný bod Ó, původ, se změnilo.

Barycentrické souřadnice bodu jsou jedinečné až do A škálování. To znamená dvě n-tice ${ displaystyle (a_ {0}: dotsc: a_ {n})}$ a ${ displaystyle (b_ {0}: dotsc: b_ {n})}$ jsou barycentrické souřadnice stejného bodu kdyby a jen kdyby existuje nenulový skalár ${ displaystyle lambda}$ takhle ${ displaystyle b_ {i} = lambda a_ {i}}$ pro každého i.

V některých kontextech je užitečné vytvořit jedinečné barycentrické souřadnice bodu. Toho je dosaženo uložením podmínky

${ displaystyle sum a_ {i} = 1,}$

nebo ekvivalentně dělením každého ${ displaystyle a_ {i}}$ součtem všech ${ displaystyle a_ {i}.}$ Tyto specifické barycentrické souřadnice se nazývají normalizováno nebo absolutní barycentrické souřadnice.^[6] Někdy se jim také říká afinní souřadnice, i když tento termín obecně označuje poněkud odlišný koncept.

Někdy se nazývají normalizované barycentrické souřadnice barycentrické souřadnice. V tomto případě se volají výše definované souřadnice homogenní barycentrické souřadnice.

S výše uvedeným zápisem jsou homogenní barycentrické souřadnice A_i jsou všechny nulové, kromě indexu i. Při práci nad reálná čísla (výše uvedená definice se také používá pro afinní prostory nad libovolným pole ), body, jejichž všechny normalizované barycentrické souřadnice jsou nezáporné, tvoří konvexní obal z ${ displaystyle {A_ {0}, ldots, A_ {n} },}$ který je simplexní který má tyto body jako své vrcholy.

S výše uvedeným zápisem, n-tice ${ displaystyle (a_ {1}, ldots, a_ {n})}$ takhle

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} = 0}$

nedefinuje žádný bod, ale vektor

${ displaystyle a_ {0} { overrightarrow {OA_ {0}}} + cdots + a_ {n} { overrightarrow {OA_ {n}}}}$

je nezávislý na původu Ó. Protože směr tohoto vektoru se nezmění, pokud vše ${ displaystyle a_ {i}}$ jsou vynásobeny stejnou skalární, homogenní n-ticí ${ displaystyle (a_ {0}: dotsc: a_ {n})}$ definuje směr čar, tj. a bod v nekonečnu. Další podrobnosti naleznete níže.

Vztah s kartézskými nebo afinními souřadnicemi

Barycentrické souřadnice jsou silně spojeny s Kartézské souřadnice a obecněji afinní souřadnice. Pro prostor dimenze n, tyto souřadnicové systémy jsou definovány vzhledem k bodu Ó, původ, jejichž souřadnice jsou nulové, a n bodů ${ displaystyle A_ {1}, ldots, A_ {n},}$ jehož souřadnice jsou nulové kromě indexu i to se rovná jedné.

Bod má souřadnice

${ displaystyle (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$

pro takový souřadnicový systém právě tehdy, jsou-li jeho normalizované barycentrické souřadnice

${ displaystyle (1-x_ {1} - cdots -x_ {n}, x_ {1}, ldots, x_ {n})}$

relativně k bodům ${ displaystyle O, A_ {1}, ldots, A_ {n}.}$

Hlavní výhodou barycentrických souřadnicových systémů je být symetrický vzhledem k n + 1 určující body. Proto jsou často užitečné pro studium vlastností, které jsou vzhledem k symetrické n + 1 bodů. Na druhou stranu jsou vzdálenosti a úhly obecně obtížné vyjádřit v barycentrických souřadnicových systémech, a pokud jsou zahrnuty, je obecně jednodušší použít kartézský souřadný systém.

Vztah s projektivními souřadnicemi

S některými také silně souvisí homogenní barycentrické souřadnice projektivní souřadnice. Tento vztah je však jemnější než v případě afinních souřadnic a pro jasné pochopení vyžaduje definici projektivní dokončení z afinní prostor a definice a projektivní rám.

The projektivní dokončení afinního prostoru dimenze n je projektivní prostor stejné dimenze, která obsahuje afinní prostor jako doplněk a nadrovina. Projektivní dokončení je jedinečné až do an izomorfismus. Nadrovina se nazývá nadrovina v nekonečnu a jeho body jsou body v nekonečnu afinního prostoru.^[7]

Vzhledem k projektivnímu prostoru dimenze n, a projektivní rám je objednaná sada n + 2 body, které nejsou obsaženy ve stejné nadrovině. Projektivní rámec definuje projektivní souřadný systém tak, že souřadnice (n + 2)th bod bodu jsou všechny stejné, a jinak, všechny souřadnice ibod je nula, kromě iten jeden.^[7]

Při konstrukci projektivního dokončení z afinního souřadnicového systému se obvykle definuje s ohledem na projektivní rámec skládající se z průsečíků s nadrovinou v nekonečnu souřadnicové osy, počátek afinního prostoru a bod, který má všechny afinní souřadnice rovné jedné. To znamená, že body v nekonečnu mají svou poslední souřadnici rovnou nule a že projektivní souřadnice bodu afinního prostoru jsou získány doplněním jeho afinních souřadnic o jednu jako (n + 1)ta souřadnice.

Když jeden má n + 1 body v afinním prostoru, které definují barycentrický souřadný systém, je to další projektivní rámec projektivního dokončení, který je vhodné zvolit. Tento rámec se skládá z těchto bodů a jejich těžiště, to je bod, který má všechny své barycentrické souřadnice stejné. V tomto případě jsou homogenní barycentrické souřadnice bodu v afinním prostoru stejné jako projektivní souřadnice tohoto bodu. Bod je v nekonečnu právě tehdy, je-li součet jeho souřadnic nulový. Tento bod je ve směru vektoru definovaného na konci § Definice.

Barycentrické souřadnice na trojúhelnících

Tato sekce možná matoucí nebo nejasné čtenářům. Je to zejména zbytečně technické a komplikované. Prosím, pomoz nám vyjasnit část. O tom by mohla být diskuse diskusní stránka. (Prosince 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V kontextu a trojúhelník, barycentrické souřadnice jsou také známé jako souřadnice oblasti nebo plošné souřadnice, protože souřadnice P vzhledem k trojúhelníku ABC jsou ekvivalentní (podepsaným) poměrům oblastí oblasti PBC, PCA a PAB do oblasti referenčního trojúhelníku ABC. Areal a trilineární souřadnice se používají pro podobné účely v geometrii.

Barycentrické nebo plošné souřadnice jsou mimořádně užitečné v inženýrských aplikacích zahrnujících trojúhelníkové subdomény. Díky tomu jsou analytické integrály často snazší vyhodnotit a Gaussova kvadratura tabulky jsou často prezentovány z hlediska souřadnic oblasti.

Zvažte trojúhelník ${ displaystyle T}$ definovaný svými třemi vrcholy, ${ displaystyle mathbf {r} _ {1}}$, ${ displaystyle mathbf {r} _ {2}}$ a ${ displaystyle mathbf {r} _ {3}}$. Každý bod ${ displaystyle mathbf {r}}$ umístěné uvnitř tohoto trojúhelníku lze zapsat jako jedinečný konvexní kombinace ze tří vrcholů. Jinými slovy, pro každého ${ displaystyle mathbf {r}}$ existuje jedinečná sekvence tří čísel, ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3} geq 0}$ takhle ${ displaystyle lambda _ {1} + lambda _ {2} + lambda _ {3} = 1}$ a

${ displaystyle mathbf {r} = lambda _ {1} mathbf {r} _ {1} + lambda _ {2} mathbf {r} _ {2} + lambda _ {3} mathbf { r} _ {3},}$

Tři čísla ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3}}$ uveďte „barycentrické“ nebo „plošné“ souřadnice bodu ${ displaystyle mathbf {r}}$ vzhledem k trojúhelníku. Často jsou označovány jako ${ displaystyle alpha, beta, gamma}$ namísto ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3}}$. Všimněte si, že i když existují tři souřadnice, existují pouze dvě stupně svobody, od té doby ${ displaystyle lambda _ {1} + lambda _ {2} + lambda _ {3} = 1}$. Každý bod je tedy jednoznačně definován libovolnými dvěma z barycentrických souřadnic.

Vysvětlit, proč jsou tyto souřadnice podepsané poměry ploch, předpokládejme, že pracujeme v Euklidovský prostor ${ displaystyle mathbf {E} ^ {3}}$. Zde zvažte Kartézský souřadnicový systém ${ displaystyle Oxyz}$ a související základ, jmenovitě ${ displaystyle { mathbf {i}, mathbf {j}, mathbf {k} }}$. Zvažte také pozitivně orientovaný trojúhelník ${ displaystyle ABC}$ ležící v ${ displaystyle Oxy}$ letadlo. Je známo, že pro všechny základ ${ displaystyle { mathbf {e}, mathbf {f}, mathbf {g} }}$ z ${ displaystyle mathbf {E} ^ {3}}$ a jakékoli volný vektor ${ displaystyle mathbf {h}}$ jeden má^[8]

${ displaystyle mathbf {h} = { frac {1} {( mathbf {e}, mathbf {f}, mathbf {g})}} cdot left [( mathbf {h}, mathbf {f}, mathbf {g}) mathbf {e} + ( mathbf {e}, mathbf {h}, mathbf {g}) mathbf {f} + ( mathbf {e}, mathbf {f}, mathbf {h}) mathbf {g} vpravo],}$

kde ${ displaystyle ( mathbf {e}, mathbf {f}, mathbf {g}) = ( mathbf {e} times mathbf {f}) cdot mathbf {g}}$ znamená smíšený produkt těchto tří vektorů.

Vzít ${ displaystyle mathbf {e} = { vec {AB}}, , mathbf {f} = { vec {AC}}, , mathbf {g} = mathbf {k}, , mathbf {h} = { vec {AP}}}$, kde ${ displaystyle P}$ je libovolný bod v rovině ${ displaystyle Oxy}$a poznamenejte si to

${ displaystyle ( mathbf {e}, mathbf {f}, mathbf {h}) = ({ vec {AB}} časy { vec {AC}}) cdot { vec {AP}} = ( vert { vec {AB}} times { vec {AC}} vert mathbf {k}) cdot { vec {AP}} = 0.}$

Drobný bod týkající se naší volby volných vektorů: ${ displaystyle mathbf {e}}$ je ve skutečnosti třída ekvipolence z vázaný vektor ${ displaystyle { vec {AB}}}$.

To jsme získali

${ displaystyle { vec {AP}} = m_ {B} cdot { vec {AB}} + m_ {C} cdot { vec {AC}}, , { mbox {kde}} , m_ {B} = { frac {({ vec {AP}}, { vec {AC}}, mathbf {k})} {({ vec {AB}}, { vec {AC}} , mathbf {k})}}, , m_ {C} = { frac {({ vec {AB}}, { vec {AP}}, mathbf {k})}} {({ vec {AB}}, { vec {AC}}, mathbf {k})}}.}$

Vzhledem k pozitivnímu (proti směru hodinových ručiček ) orientace trojúhelníku ${ displaystyle ABC}$, jmenovatel oba ${ displaystyle m_ {B}}$ a ${ displaystyle m_ {C}}$ je přesně dvojnásobek oblast trojúhelníku ${ displaystyle ABC}$. Taky,

${ displaystyle ({ vec {AP}}, { vec {AC}}, mathbf {k}) = ({ vec {PC}}, { vec {PA}}, mathbf {k}) , { mbox {and}} , ({ vec {AB}}, { vec {AP}}, mathbf {k}) = ({ vec {PA}}, { vec {PB} }, mathbf {k})}$

a tak čitatelé z ${ displaystyle m_ {B}}$ a ${ displaystyle m_ {C}}$ jsou dvojníci z podepsané oblasti trojúhelníků ${ displaystyle APC}$ resp ${ displaystyle ABP}$.

Dále to odvodíme

${ displaystyle { vec {OP}} = (1-m_ {B} -m_ {C}) cdot { vec {OA}} + m_ {B} cdot { vec {OB}} + m_ { C} cdot { vec {OC}}}$

což znamená, že čísla ${ displaystyle 1-m_ {B} -m_ {C}}$, ${ displaystyle m_ {B}}$ a ${ displaystyle m_ {C}}$ jsou barycentrické souřadnice ${ displaystyle P}$. Podobně třetí barycentrická souřadnice čte jako

${ displaystyle m_ {A} = 1-m_ {B} -m_ {C} = { frac {({ vec {PB}}, { vec {PC}}, mathbf {k})}} {( { vec {AB}}, { vec {AC}}, mathbf {k})}}.}$

Tento ${ displaystyle m}$-zápis písmene barycentrických souřadnic pochází ze skutečnosti, že bod ${ displaystyle P}$ lze interpretovat jako těžiště pro masy ${ displaystyle m_ {A}}$, ${ displaystyle m_ {B}}$, ${ displaystyle m_ {C}}$ které se nacházejí v ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$ a ${ displaystyle C}$.

Přepínání tam a zpět mezi barycentrickými souřadnicemi a jinými souřadnicovými systémy usnadňuje řešení některých problémů.

Převod mezi barycentrickými a kartézskými souřadnicemi

Daný bod ${ displaystyle mathbf {r}}$ v rovině trojúhelníku lze získat barycentrické souřadnice ${ displaystyle lambda _ {1}}$, ${ displaystyle lambda _ {2}}$ a ${ displaystyle lambda _ {3}}$ z Kartézské souřadnice ${ displaystyle (x, y)}$ nebo naopak.

Můžeme napsat kartézské souřadnice bodu ${ displaystyle mathbf {r}}$ z hlediska karteziánských složek vrcholů trojúhelníku ${ displaystyle mathbf {r} _ {1}}$, ${ displaystyle mathbf {r} _ {2}}$, ${ displaystyle mathbf {r} _ {3}}$ kde ${ displaystyle mathbf {r} _ {i} = (x_ {i}, y_ {i})}$ a pokud jde o barycentrické souřadnice ${ displaystyle mathbf {r}}$ tak jako

${ displaystyle { begin {matrix} x = lambda _ {1} x_ {1} + lambda _ {2} x_ {2} + lambda _ {3} x_ {3} y = lambda _ {1} y_ {1} + lambda _ {2} y_ {2} + lambda _ {3} y_ {3} end {matrix}}}$

To znamená, že kartézské souřadnice libovolného bodu jsou váženým průměrem kartézských souřadnic vrcholů trojúhelníku, přičemž váhy jsou barycentrické souřadnice bodu sčítající k jednotě.

Abychom našli reverzní transformaci, z kartézských souřadnic na barycentrické souřadnice, nejprve dosadíme ${ displaystyle lambda _ {3} = 1- lambda _ {1} - lambda _ {2}}$ do výše uvedeného získat

${ displaystyle { begin {matrix} x = lambda _ {1} x_ {1} + lambda _ {2} x_ {2} + (1- lambda _ {1} - lambda _ {2}) x_ {3} y = lambda _ {1} y_ {1} + lambda _ {2} y_ {2} + (1- lambda _ {1} - lambda _ {2}) y_ {3 } end {matrix}}}$

Přeskupení, to je

${ displaystyle { begin {matrix} lambda _ {1} (x_ {1} -x_ {3}) + lambda _ {2} (x_ {2} -x_ {3}) + x_ {3} - x = 0 lambda _ {1} (y_ {1} -y_ {3}) + lambda _ {2} (y_ {2} -y_ {3}) + y_ {3} -y = 0 end {matrix}}}$

Tento lineární transformace lze stručněji napsat jako

${ displaystyle mathbf {T} cdot lambda = mathbf {r} - mathbf {r} _ {3}}$

kde ${ displaystyle lambda}$ je vektor prvních dvou barycentrických souřadnic, ${ displaystyle mathbf {r}}$ je vektor z Kartézské souřadnice, a ${ displaystyle mathbf {T}}$ je matice dána

${ displaystyle mathbf {T} = left ({ begin {matrix} x_ {1} -x_ {3} & x_ {2} -x_ {3} y_ {1} -y_ {3} & y_ {2 } -y_ {3} end {matrix}} right)}$

Nyní matice ${ displaystyle mathbf {T}}$ je invertibilní, od té doby ${ displaystyle mathbf {r} _ {1} - mathbf {r} _ {3}}$ a ${ displaystyle mathbf {r} _ {2} - mathbf {r} _ {3}}$ jsou lineárně nezávislé (pokud by tomu tak nebylo, pak ${ displaystyle mathbf {r} _ {1}}$, ${ displaystyle mathbf {r} _ {2}}$, a ${ displaystyle mathbf {r} _ {3}}$ bylo by kolineární a netvoří trojúhelník). Můžeme tedy uspořádat výše uvedenou rovnici tak, aby byla získána

${ displaystyle left ({ begin {matrix} lambda _ {1} lambda _ {2} end {matrix}} right) = mathbf {T} ^ {- 1} ( mathbf { r} - mathbf {r} _ {3})}$

Nalezení barycentrických souřadnic se tak snížilo na nalezení 2 × 2 inverzní matice z ${ displaystyle mathbf {T}}$, snadný problém.

Explicitně, vzorce pro barycentrické souřadnice bodu ${ displaystyle mathbf {r}}$ pokud jde o jeho kartézské souřadnice (x, y) a z hlediska kartézských souřadnic vrcholů trojúhelníku jsou:

${ displaystyle lambda _ {1} = { frac {(y_ {2} -y_ {3}) (x-x_ {3}) + (x_ {3} -x_ {2}) (y-y_ { 3})} { det (T)}} = { frac {(y_ {2} -y_ {3}) (x-x_ {3}) + (x_ {3} -x_ {2}) (y -y_ {3})} {(y_ {2} -y_ {3}) (x_ {1} -x_ {3}) + (x_ {3} -x_ {2}) (y_ {1} -y_ { 3})}} ,,}$

${ displaystyle lambda _ {2} = { frac {(y_ {3} -y_ {1}) (x-x_ {3}) + (x_ {1} -x_ {3}) (y-y_ { 3})} { det (T)}} = { frac {(y_ {3} -y_ {1}) (x-x_ {3}) + (x_ {1} -x_ {3}) (y -y_ {3})} {(y_ {2} -y_ {3}) (x_ {1} -x_ {3}) + (x_ {3} -x_ {2}) (y_ {1} -y_ { 3})}} ,,}$

${ displaystyle lambda _ {3} = 1- lambda _ {1} - lambda _ {2} ,.}$

Dalším způsobem, jak vyřešit převod z kartézských na barycentrické souřadnice, je přepsat problém v maticové formě tak, aby

${ displaystyle mathbf {r} = mathbf {R} { boldsymbol { lambda}}}$

s ${ displaystyle mathbf {R} = left ({ begin {matrix} mathbf {r} _ {1} | mathbf {r} _ {2} | mathbf {r} _ {3} end { matice}} vpravo)}$a${ displaystyle { boldsymbol { lambda}} = left ( lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3} right) ^ { top}}$Potom podmínka ${ displaystyle lambda _ {1} + lambda _ {2} + lambda _ {3} = 1}$čte ${ displaystyle left (1,1,1 right) { boldsymbol { lambda}} = 1}$a barycentrické souřadnice lze řešit jako řešení lineárního systému

${ displaystyle left ({ begin {matrix} x_ {1} & x_ {2} & x_ {3} y_ {1} & y_ {2} & y_ {3} 1 & 1 & 1 end {matrix}} right) { boldsymbol { lambda}} = left ({ begin {matrix} x y 1 end {matrix}} right)}$

Převod mezi barycentrickými a trilineárními souřadnicemi

Bod s trilineární souřadnice X : y : z má barycentrické souřadnice sekera : podle : cz kde A, b, C jsou délky stran trojúhelníku. Naopak bod s barycentrikou ${ displaystyle lambda _ {1}: lambda _ {2}: lambda _ {3}}$ má tři roky ${ displaystyle lambda _ {1} / a: lambda _ {2} / b: lambda _ {3} / c.}$

Rovnice v barycentrických souřadnicích

Boky a, b, c respektive mají rovnice^[9]

${ displaystyle lambda _ {1} = 0, quad lambda _ {2} = 0, quad lambda _ {3} = 0.}$

Rovnice trojúhelníku Eulerova linie je^[9]

${ displaystyle { begin {vmatrix} lambda _ {1} & lambda _ {2} & lambda _ {3} 1 & 1 & 1 tan A & tan B & tan C end {vmatrix}} = 0.}$

Pomocí dříve dané převody mezi barycentrickými a trilineárními souřadnicemi jsou uvedeny různé další rovnice uvedené v Trilineární souřadnice # Vzorce lze přepsat pomocí barycentrických souřadnic.

Vzdálenost mezi body

Vektor posunutí dvou normalizovaných bodů ${ displaystyle P = (p_ {1}, p_ {2}, p_ {3})}$ a ${ displaystyle Q = (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3})}$ je^[10]

${ displaystyle { overrightarrow {PQ}} = (p_ {1} -q_ {1}, p_ {2} -q_ {2}, p_ {3} -q_ {3}).}$

Vzdálenost ${ displaystyle d}$ mezi ${ displaystyle P}$ a ${ displaystyle Q}$, nebo délka vektoru posunutí ${ displaystyle { overrightarrow {PQ}} = (x, y, z),}$ je^[9][10]

${ displaystyle d ^ {2} = left | PQ right | ^ {2} = - a ^ {2} yz-b ^ {2} zx-c ^ {2} xy = { frac {1} { 2}} [x ^ {2} (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}) + y ^ {2} (c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ { 2}) + z ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2})].}$

kde a, b, c jsou postranní délky trojúhelníku. Ekvivalence posledních dvou výrazů vyplývá z ${ displaystyle x + y + z = 0,}$ který platí, protože ${ displaystyle x + y + z = (p_ {1} -q_ {1}) + (p_ {2} -q_ {2}) + (p_ {3} -q_ {3}) = (p_ {1} + p_ {2} + p_ {3}) - (q_ {1} + q_ {2} + q_ {3}) = 1-1 = 0.}$

Barycentrické souřadnice bodu lze vypočítat na základě vzdáleností d_i na tři vrcholy trojúhelníku řešením rovnice

${ displaystyle left ({ begin {matrix} -c ^ {2} & c ^ {2} & b ^ {2} -a ^ {2} - b ^ {2} & c ^ {2} -a ^ {2} & b ^ {2} 1 & 1 & 1 end {matrix}} right) { boldsymbol { lambda}} = left ({ begin {matrix} d_ {A} ^ {2} -d_ {B } ^ {2} d_ {A} ^ {2} -d_ {C} ^ {2} 1 end {matrix}} right).}$

Aplikace

Určení polohy vzhledem k trojúhelníku

Ačkoli se barycentrické souřadnice nejčastěji používají ke zpracování bodů uvnitř trojúhelníku, lze je také použít k popisu bodu mimo trojúhelník. Pokud bod není uvnitř trojúhelníku, můžeme k výpočtu barycentrických souřadnic stále použít výše uvedené vzorce. Protože je však bod mimo trojúhelník, bude alespoň jedna ze souřadnic porušovat náš původní předpoklad ${ displaystyle lambda _ {1 ... 3} geq 0}$. Ve skutečnosti, vzhledem k libovolnému bodu v kartézských souřadnicích, můžeme tuto skutečnost použít k určení, kde je tento bod vzhledem k trojúhelníku.

Pokud bod leží uvnitř trojúhelníku, leží všechny barycentrické souřadnice v otevřený interval ${ displaystyle (0,1).}$ Pokud bod leží na okraji trojúhelníku, ale ne na vrcholu, jedna ze souřadnic oblasti ${ displaystyle lambda _ {1 ... 3}}$ (jeden spojený s opačným vrcholem) je nula, zatímco další dva leží v otevřeném intervalu ${ displaystyle (0,1).}$ Pokud bod leží na vrcholu, souřadnice spojená s tímto vrcholem se rovná 1 a ostatní se rovnají nule. Nakonec, pokud bod leží mimo trojúhelník, je alespoň jedna souřadnice záporná.

Shrnutí,

Směřovat ${ displaystyle mathbf {r}}$ leží uvnitř trojúhelníku kdyby a jen kdyby ${ displaystyle 0 < lambda _ {i} <1 ; forall ; i { text {in}} {1,2,3}}$.

${ displaystyle mathbf {r}}$ leží na okraji nebo rohu trojúhelníku, pokud ${ displaystyle 0 leq lambda _ {i} leq 1 ; forall ; i { text {in}} {1,2,3}}$ a ${ displaystyle lambda _ {i} = 0 ; { text {, pro některé i}} {1,2,3}}$.

V opačném případě, ${ displaystyle mathbf {r}}$ leží mimo trojúhelník.

Zejména pokud bod leží na opačné straně postranní čáry od vrcholu naproti této postranní čáře, pak je barycentrická souřadnice tohoto bodu odpovídající tomuto vrcholu záporná.

Interpolace na trojúhelníkové nestrukturované mřížce

Li ${ displaystyle f ( mathbf {r} _ {1}), f ( mathbf {r} _ {2}), f ( mathbf {r} _ {3})}$ jsou známá množství, ale hodnoty ${ displaystyle f}$ uvnitř trojúhelníku definovaného ${ displaystyle mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2}, mathbf {r} _ {3}}$ není známo, lze je aproximovat pomocí lineární interpolace. Barycentrické souřadnice poskytují pohodlný způsob výpočtu této interpolace. Li ${ displaystyle mathbf {r}}$ je bod uvnitř trojúhelníku s barycentrickými souřadnicemi ${ displaystyle lambda _ {1}}$, ${ displaystyle lambda _ {2}}$, ${ displaystyle lambda _ {3}}$, pak

${ displaystyle f ( mathbf {r}) přibližně lambda _ {1} f ( mathbf {r} _ {1}) + lambda _ {2} f ( mathbf {r} _ {2}) + lambda _ {3} f ( mathbf {r} _ {3})}$

Obecně platí, že jakékoli nestrukturovaná mřížka nebo mnohoúhelníková síť, tento druh techniky lze použít k přiblížení hodnoty ${ displaystyle f}$ ve všech bodech, pokud je hodnota funkce známa ve všech vrcholech sítě. V tomto případě máme mnoho trojúhelníků, z nichž každý odpovídá jiné části prostoru. Interpolovat funkci ${ displaystyle f}$ v určitém okamžiku ${ displaystyle mathbf {r}}$, nejprve je třeba najít trojúhelník, který obsahuje ${ displaystyle mathbf {r}}$. Udělat to tak, ${ displaystyle mathbf {r}}$ se transformuje do barycentrických souřadnic každého trojúhelníku. Pokud je nalezen nějaký trojúhelník tak, aby souřadnice vyhovovaly ${ displaystyle 0 leq lambda _ {i} leq 1 ; forall ; i { text {in}} 1,2,3}$, pak bod leží v tomto trojúhelníku nebo na jeho okraji (vysvětleno v předchozí části). Pak hodnota ${ displaystyle f ( mathbf {r})}$ lze interpolovat, jak je popsáno výše.

Tyto metody mají mnoho aplikací, například Metoda konečných prvků (FEM).

Integrace přes trojúhelník nebo čtyřstěn

Integrál funkce nad doménou trojúhelníku může být nepříjemný pro výpočet v kartézském souřadném systému. Jeden obecně musí rozdělit trojúhelník na dvě poloviny a následuje velká nepořádek. Místo toho je často snazší udělat změna proměnných na libovolné dvě barycentrické souřadnice, např. ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}}$. Pod touto změnou proměnných

${ displaystyle int _ {T} f ( mathbf {r}) d mathbf {r} = 2A int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1- lambda _ { 2}} f ( lambda _ {1} mathbf {r} _ {1} + lambda _ {2} mathbf {r} _ {2} + (1- lambda _ {1} - lambda _ {2}) mathbf {r} _ {3}) d lambda _ {1} d lambda _ {2}}$

kde ${ displaystyle A}$ je plocha trojúhelníku. Tento výsledek vyplývá ze skutečnosti, že obdélník v barycentrických souřadnicích odpovídá čtyřúhelníku ve kartézských souřadnicích a poměr ploch odpovídajících tvarů v odpovídajících souřadnicových systémech je dán vztahem ${ displaystyle 2A}$. Podobně, pro integraci přes čtyřstěn, místo toho, aby se rozpadl integrál na dvě nebo tři samostatné části, lze přepnout na 3D čtyřboké souřadnice pod změnou proměnných

kde ${ displaystyle V}$ je objem čtyřstěnu.

Příklady zvláštních bodů

Strom vrcholy trojúhelníku mají barycentrické souřadnice ${ displaystyle 1: 0: 0, quad 0: 1: 0, quad { text {a}} quad 0: 0: 1.}$^[9]

The těžiště má barycentrické údaje ${ displaystyle 1: 1: 1.}$^[9]

The circumcenter trojúhelníku ABC má barycentrické souřadnice^{[9][10][11][12]}

${ displaystyle a ^ {2} (- a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}): ; b ^ {2} (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}): ; c ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2})}$

${ displaystyle = sin 2A: sin 2B: sin 2C = (1- cos B cos C) :( 1- cos C cos A) :( 1- cos A cos B).}$

kde A, b, C jsou délky hran před naším letopočtem, CA, AB trojúhelníku.

The ortocentrum má barycentrické souřadnice^[9][10]

${ displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}): ; (- a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2}) (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}): ; (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}) (- a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2})}$

${ displaystyle = tan A: tan B: tan C = a cos B cos C: b cos C cos A: c cos A cos B.}$

The stimulant má barycentrické souřadnice^[10][13]

${ displaystyle a: b: c = sin A: sin B: sin C.}$

The excentry „barycentriky jsou^[13]

${ displaystyle -a: b: c quad quad a: -b: c quad quad a: b: -c.}$

The devítibodový střed má barycentrické souřadnice^[9][13]

${ displaystyle a cos (BC): b cos (CA): c cos (AB) = (1+ cos B cos C) :( 1+ cos C cos A) :( 1+ cos A cos B)}$

${ displaystyle = [a ^ {2} (b ^ {2} + c ^ {2}) - (b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}]: [b ^ {2} ( c ^ {2} + a ^ {2}) - (c ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2}]: [c ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2} ) - (a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2}].}$

Barycentrické souřadnice na čtyřstěnech

Barycentrické souřadnice lze snadno rozšířit na tři rozměry. 3D simplexní je čtyřstěn, a mnohostěn se čtyřmi trojúhelníkovými plochami a čtyřmi vrcholy. Opět jsou čtyři barycentrické souřadnice definovány tak, že první vrchol ${ displaystyle mathbf {r} _ {1}}$ mapy na barycentrické souřadnice ${ displaystyle lambda = (1,0,0,0)}$, ${ displaystyle mathbf {r} _ {2} do (0,1,0,0)}$, atd.

Toto je opět lineární transformace a můžeme výše uvedený postup rozšířit pro trojúhelníky, abychom našli barycentrické souřadnice bodu ${ displaystyle mathbf {r}}$ s ohledem na čtyřstěn:

${ displaystyle left ({ begin {matrix} lambda _ {1} lambda _ {2} lambda _ {3} end {matrix}} right) = mathbf {T} ^ {-1} ( mathbf {r} - mathbf {r} _ {4})}$

kde ${ displaystyle mathbf {T}}$ je nyní matice 3 × 3:

${ displaystyle mathbf {T} = left ({ begin {matrix} x_ {1} -x_ {4} & x_ {2} -x_ {4} & x_ {3} -x_ {4} y_ {1 } -y_ {4} & y_ {2} -y_ {4} & y_ {3} -y_ {4} z_ {1} -z_ {4} & z_ {2} -z_ {4} & z_ {3} -z_ {4} end {matrix}} right)}$

a ${ displaystyle lambda _ {4} = 1- lambda _ {1} - lambda _ {2} - lambda _ {3}}$s odpovídajícími kartézskými souřadnicemi:

Opět se problém hledání barycentrických souřadnic snížil na převrácení matice 3 × 3. 3D barycentrické souřadnice lze použít k rozhodnutí, zda bod leží uvnitř čtyřbokého svazku, a k interpolaci funkce uvnitř čtyřboké sítě analogickým způsobem jako u 2D postupu. Čtyřboká oka se často používají v analýza konečných prvků protože použití barycentrických souřadnic může výrazně zjednodušit 3D interpolaci.

Zobecněné barycentrické souřadnice

Barycentrické souřadnice (A₁, ..., A_n) které jsou definovány s ohledem na konečnou množinu bodů místo simplexu zobecněné barycentrické souřadnice. U nich rovnice

${ displaystyle (a_ {1} + cdots + a_ {n}) p = a_ {1} x_ {1} + cdots + a_ {n} x_ {n}}$

je stále povinen držet kde X₁, ..., X_n jsou dané body. Pokud tyto dané body netvoří simplex, zobecněné barycentrické souřadnice bodu p nejsou jedinečné (až do skalárního násobení). Pokud jde o simplex, body s nezápornými zobecněnými souřadnicemi tvoří konvexní obal z X₁, ..., X_n.

Definice je tedy formálně nezměněna, ale při simplexu s n vrcholy musí být vloženy do vektorového prostoru dimenze nejméně n-1, polytop může být vložen do vektorového prostoru nižší dimenze. Nejjednodušším příkladem je čtyřúhelník v rovině. V důsledku toho ani normalizované zobecněné barycentrické souřadnice (tj. Souřadnice takové, že součet koeficientů je 1) již obecně nejsou jednoznačně určeny, zatímco je tomu v případě normalizovaných barycentrických souřadnic s ohledem na simplex.

Více abstraktně, zobecněné barycentrické souřadnice vyjadřují konvexní polytop s n vrcholy, bez ohledu na rozměr, jako obraz normy ${ displaystyle (n-1)}$-simplex, který má n vrcholy - mapa je na: ${ displaystyle Delta ^ {n-1} twoheadrightarrow P.}$ Mapa je jedna k jedné právě tehdy, je-li mnohostěn simplexní, v takovém případě je mapa izomorfismem; to odpovídá bodu, který nemá unikátní zobecněné barycentrické souřadnice kromě případů, kdy P je simplex.

Dvojí na zobecněné barycentrické souřadnice jsou uvolněné proměnné, které měří, o kolik rozpětí bod splňuje lineární omezení, a dává vkládání ${ displaystyle P hookrightarrow ( mathbf {R} _ { geq 0}) ^ {f}}$ do F-orthant, kde F je počet tváří (od duálních k vrcholům). Tato mapa je one-to-one (slack proměnné jsou jednoznačně určeny), ale ne na (ne všechny kombinace mohou být realizovány).

Toto použití standardu ${ displaystyle (n-1)}$-jednodušší a F- jako standardní objekty, které se mapují na mnohostěn nebo na které se mnohostěn mapuje, by mělo být kontrastováno s použitím standardního vektorového prostoru ${ displaystyle K ^ {n}}$ jako standardní objekt pro vektorové prostory a standard afinní nadrovina ${ displaystyle {(x_ {0}, ldots, x_ {n}) mid sum x_ {i} = 1 } podmnožina K ^ {n + 1}}$ jako standardní objekt pro afinní prostory, kde v každém případě volba a lineární základ nebo afinní základ poskytuje izomorfismus, což umožňuje uvažovat o všech vektorových a afinních prostorech z hlediska těchto standardních prostorů, spíše než na mapu typu one-to-one (ne každý polytope je simplex). Dále n-orthant je standardní objekt, který mapuje na šišky.

Aplikace

Zobecněné barycentrické souřadnice mají aplikace v počítačová grafika a konkrétněji v geometrické modelování. Trojrozměrný model lze často aproximovat mnohostěnem tak, že zobecněné barycentrické souřadnice vzhledem k tomuto mnohostěnu mají geometrický význam. Tímto způsobem lze zjednodušit zpracování modelu pomocí těchto smysluplných souřadnic. Barycentrické souřadnice se také používají v geofyzika ^[14]

Viz také

• Ternární děj
• Konvexní kombinace

Reference

• Scott, J. A. Některé příklady použití plošných souřadnic v geometrii trojúhelníku, Mathematical Gazette 83, listopad 1999, 472–477.
• Schindler, Max; Chen, Evan (13. července 2012). Barycentrické souřadnice v geometrii olympiády (PDF). Vyvolány 14 January je 2016.
• Encyklopedie trojúhelníků Clarka Kimberlinga Encyclopedia of Triangle Centers. Archivovány od originálu na 2012-04-19. Citováno 2012-06-02.
• Bradley, Christopher J. (2007). Algebra geometrie: kartézské, plošné a projektivní souřadnice. Bath: Highperception. ISBN  978-1-906338-00-8.
• Coxeter, H.S.M. (1969). Úvod do geometrie (2. vyd.). John Wiley and Sons. str.216 –221. ISBN  978-0-471-50458-0. Zbl  0181.48101.
• Barycentrický počet v euklidovské a hyperbolické geometrii: Srovnávací úvod, Abraham Ungar, World Scientific, 2010
• Hyperbolické barycentrické souřadnice, Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.6, No.1, Article 18, pp. 1–35, 2009
• Weisstein, Eric W. "Plošné souřadnice". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. „Barycentrické souřadnice“. MathWorld.
• Výpočet barycentrických souřadnic v homogenních souřadnicích, Václav Skala, Počítače a grafika, sv. 32, č. 1, s. 120–127, 2008

externí odkazy

• Zákon páky

externí odkazy

• Použití homogenních barycentrických souřadnic v rovinné euklidovské geometrii
• Barycentrické souřadnice - sbírka vědeckých prací o (zobecněných) barycentrických souřadnicích
• Barycentrické souřadnice: Zvědavá aplikace (řešení problému „tři brýle“) na cut-the-uzel
• Přesný bod v testu trojúhelníku
• Barycentrické souřadnice v geometrii olympiády Evan Chen a Max Schindler
• Příkaz Barycenter a Příkaz TriangleCurve na Geogebra.