Trilineární souřadnice - Trilinear coordinates - Wikipedia

v geometrie, trilineární souřadnice x: y: z bodu vzhledem k danému trojúhelník popište příbuzného řízené vzdálenosti ze tří postranní čáry trojúhelníku. Příkladem jsou trilineární souřadnice homogenní souřadnice. Poměr x: y je poměr kolmých vzdáleností od bodu k stranám (prodloužena v případě potřeby) naproti vrcholy A a B respektive; poměr y: z je poměr kolmých vzdáleností od bodu k vedlejším stranám opačných vrcholů B a C respektive; a podobně pro z: x a vrcholy C a A.

V diagramu vpravo jsou trilineární souřadnice indikovaného vnitřního bodu skutečné vzdálenosti (A' , b ' , C' ), nebo ekvivalentně v poměrné formě, ka ' :kb ' :kc ' pro jakoukoli kladnou konstantu k. Pokud je bod na postranní čáře referenčního trojúhelníku, jeho odpovídající trilineární souřadnice je 0. Pokud je vnější bod na opačné straně postranní čáry od vnitřku trojúhelníku, je jeho trilineární souřadnice přidružená k této postranní čáře záporná. Je nemožné, aby všechny tři trilineární souřadnice nebyly kladné.

Název „trilineární souřadnice“ je někdy zkrácen na „trilineární“.

Zápis

Poměrová notace X:y:z pro trilineární souřadnice se liší od objednané trojité notace (A' , b ' , C' ) pro skutečné směrované vzdálenosti. Tady každý z X, y, a z sám o sobě nemá žádný význam; jeho poměr k jednomu z ostatních dělá mít význam. Je tedy třeba se vyhnout „zápisu čárky“ pro trilineární souřadnice, protože notace (X, y, z), což znamená objednanou trojici, neumožňuje například (X, y, z) = (2X, 2y, 2z), zatímco „dvojtečka“ to umožňuje X : y : z = 2X : 2y : 2z.

Příklady

Trilineární souřadnice stimulant trojúhelníku ABC jsou 1: 1: 1; tj. (směrované) vzdálenosti od motivujícího k postranní čáře před naším letopočtem, CA, AB jsou úměrné skutečným vzdálenostem označeným (r, r, r), kde r je inradius trojúhelníku ABC. Vzhledem k délce strany a, b, c my máme:

A = 1 : 0 : 0
B = 0 : 1 : 0
C = 0 : 0 : 1
stimulant = 1 : 1 : 1
těžiště = před naším letopočtem : ca. : ab = 1/A : 1/b : 1/C = csc A : csc B : csc C.
circumcenter = cos A : cos B : cos C.
ortocentrum = sek A : sek B : sek C.
devítibodový střed = cos (B − C): cos (C − A): cos (A − B).
symmediánský bod = A : b : C = hřích A : hřích B : hřích C.
A-excentr = −1: 1: 1
B-excentr = 1: −1: 1
C-excentr = 1: 1: -1.

Všimněte si, že obecně není incenter stejný jako těžiště; těžiště má barycentrické souřadnice 1: 1: 1 (jsou úměrné skutečným signovaným oblastem trojúhelníků BGC, CGA, AGB, kde G = těžiště.)

Střed například strany před naším letopočtem má trilineární souřadnice ve skutečných vzdálenostech postranní čáry ${ displaystyle (0, { frac { Delta} {b}}, { frac { Delta} {c}})}$ pro oblast trojúhelníku ${ displaystyle Delta}$ , což se v libovolně stanovených relativních vzdálenostech zjednodušuje na ${ displaystyle 0: ca: ab.}$ Souřadnice ve skutečných vzdálenostech postranní čáry úpatí nadmořské výšky od A na před naším letopočtem jsou ${ displaystyle (0, { frac {2 Delta} {a}} cos C, { frac {2 Delta} {a}} cos B),}$ což se v čistě relativních vzdálenostech zjednodušuje na ${ displaystyle 0: cos C: cos B.}$ ^[1]^{:p. 96}

Vzorce

Kolinearity a souběžnosti

Trilineární souřadnice umožňují mnoho algebraických metod v geometrii trojúhelníku. Například tři body

P = p : q : r

U = u : proti : w

X = x : y : z

jsou kolineární jen a jen pokud určující

{ displaystyle D = { begin {vmatrix} p & q & r u & v & w x & y & z end {vmatrix}}}

se rovná nule. Tedy pokud x: y: z je proměnný bod, rovnice přímky procházející body P a U je D = 0.^[1]^{:p. 23} Z toho má každá přímka lineární rovnici homogenní v x, y, z. Každá rovnice tvaru lx + můj + nz = 0 v reálných koeficientech je skutečná přímka konečných bodů, pokud l: m: n je úměrný a: b: c, délky stran, v takovém případě máme lokus bodů v nekonečnu.^[1]^{:p. 40}

Dvojí v tomto návrhu je, že řádky

pα + qβ + rγ = 0

uα + vβ + wγ = 0,

xα + yβ + zγ = 0

souhlasit v bodě (α, β, γ) právě tehdy D = 0.^[1]^{:p. 28}

Také pokud se při hodnocení determinantu použijí skutečné směrované vzdálenosti D, pak oblast trojúhelníku PUX je KD, kde K. = abc / 8∆² (a kde ∆ je oblast trojúhelníku ABC, jak je uvedeno výše), pokud trojúhelník PUX má stejnou orientaci (ve směru nebo proti směru hodinových ručiček) jako trojúhelník ABC, a K. = –Abc / 8∆² v opačném případě.

Rovnoběžky

Dvě linie s trilineárními rovnicemi ${ displaystyle lx + my + nz = 0}$ a ${ displaystyle l'x + m'y + n'z = 0}$ jsou paralelní právě tehdy^[1]^{:p. 98, # xi}

{ displaystyle { begin {vmatrix} l & m & n l '& m' & n ' a & b & c end {vmatrix}} = 0,}

kde a, b, c jsou boční délky.

Úhel mezi dvěma čarami

The tečny úhlů mezi dvěma přímkami s trilineárními rovnicemi ${ displaystyle lx + my + nz = 0}$ a ${ displaystyle l'x + m'y + n'z = 0}$ jsou dány^[1]^:str.50

{ displaystyle pm { frac {(mn'-m'n) sin A + (nl'-n'l) sin B + (lm'-l'm) sin C} {ll '+ mm' + nn '- (mn' + m'n) cos A- (nl '+ n'l) cos B- (lm' + l'm) cos C}}.}

Kolmé čáry

Tedy dvě přímky s trilineárními rovnicemi ${ displaystyle lx + my + nz = 0}$ a ${ displaystyle l'x + m'y + n'z = 0}$ jsou kolmé, právě když

{ Displaystyle ll '+ mm' + nn '- (mn' + m'n) cos A- (nl '+ n'l) cos B- (lm' + l'm) cos C = 0. }

Nadmořská výška

Rovnice nadmořská výška z vrcholu A na stranu před naším letopočtem je^[1]^{:98, # x}

{ displaystyle y cos B-z cos C = 0.}

Čára z hlediska vzdáleností od vrcholů

Rovnice přímky s proměnnými vzdálenostmi p, q, r z vrcholů A, B, C jejichž protilehlé strany jsou a, b, c je^[1]^{:p. 97, # viii}

{ displaystyle apx + bqy + crz = 0.}

Skutečné vzdálenosti trilineární souřadnice

Trojice s hodnotami souřadnic a ', b', c ' skutečné kolmé vzdálenosti do stran uspokojí^[1]^{:p. 11}

{ displaystyle aa '+ bb' + cc '= 2 Delta}

pro strany trojúhelníku a, b, c a oblast ${ displaystyle Delta}$ . To lze vidět na obrázku v horní části tohoto článku s vnitřním bodem P dělicí trojúhelník ABC do tří trojúhelníků PBC, PCA, a PAB s příslušnými oblastmi (1/2)aa ' , (1/2)bb ' a (1/2)cc ' .

Vzdálenost mezi dvěma body

Vzdálenost d mezi dvěma body s trilineárami skutečné vzdálenosti A_i : b_i : C_i darováno^[1]^{:p. 46}

{ displaystyle d ^ {2} sin ^ {2} C = (a_ {1} -a_ {2}) ^ {2} + (b_ {1} -b_ {2}) ^ {2} +2 ( a_ {1} -a_ {2}) (b_ {1} -b_ {2}) cos C}

nebo symetrickějším způsobem

{ displaystyle d ^ {2} = { frac {abc} {4 Delta ^ {2}}} left (a (b_ {1} -b_ {2}) (c_ {2} -c_ {1} ) + b (c_ {1} -c_ {2}) (a_ {2} -a_ {1}) + c (a_ {1} -a_ {2}) (b_ {2} -b_ {1}) že jo)}

.

Vzdálenost od bodu k přímce

Vzdálenost d z bodu A' : b ' : C' , v trilineárních souřadnicích skutečných vzdáleností, k přímce lx + můj + nz = 0 je^[1]^{:p. 48}

{ displaystyle d = { frac {la '+ mb' + nc '} { sqrt {l ^ {2} + m ^ {2} + n ^ {2} -2mn cos A-2nl cos B- 2lm cos C}}}.}

Kvadratické křivky

Rovnice a kuželovitý řez v proměnném trilineárním bodě X : y : z je^[1]^:str.118

{ displaystyle rx ^ {2} + sy ^ {2} + tz ^ {2} + 2uyz + 2vzx + 2wxy = 0.}

Nemá žádné lineární členy a žádný konstantní člen.

Rovnice kružnice o poloměru r se středem na souřadnicích skutečné vzdálenosti (a ', b', c ' ) je^[1]^:str.287

{ displaystyle (x-a ') ^ {2} sin 2A + (y-b') ^ {2} sin 2B + (z-c ') ^ {2} sin 2C = 2r ^ {2} sin A sin B sin C.}

Cirkumkumy

Rovnice v trilineárních souřadnicích x, y, z ze všech cirkadiální trojúhelníku je^[1]^{:p. 192}

{ displaystyle lyz + mzx + nxy = 0.}

Pokud parametry l, m, n stejné délky stran a, b, c (nebo sinusy úhlů proti nim), pak rovnice dává obvod.^[1]^{:p. 199}

Každý zřetelný cirkkonický má střed pro sebe jedinečný. Rovnice v trilineárních souřadnicích cirkkonikonu se středem x ': y': z ' je^[1]^{:p. 203}

{ displaystyle yz (x'-y'-z ') + zx (y'-z'-x') + xy (z'-x'-y ') = 0.}

Inconics

Každý kuželovitý řez napsaný v trojúhelníku má rovnici v trilineárních souřadnicích:^[1]^{:p. 208}

{ displaystyle l ^ {2} x ^ {2} + m ^ {2} y ^ {2} + n ^ {2} z ^ {2} pm 2mnyz pm 2nlzx pm 2lmxy = 0,}

přesně jeden nebo tři nespecifikované znaky jsou záporné.

Rovnice incircle lze zjednodušit na^[1]^{:p. 210, s. 214}

{ displaystyle pm { sqrt {x}} cos { frac {A} {2}} pm { sqrt {y}} cos { frac {B} {2}} pm { sqrt {z}} cos { frac {C} {2}} = 0,}

zatímco rovnice například pro excircle sousedící s bočním segmentem opačným k vrcholu A lze psát jako^[1]^{:p. 215}

{ displaystyle pm { sqrt {-x}} cos { frac {A} {2}} pm { sqrt {y}} cos { frac {B} {2}} pm { sqrt {z}} cos { frac {C} {2}} = 0.}

Krychlové křivky

Mnoho kubických křivek lze snadno zobrazit pomocí trilineárních souřadnic. Například klíčová kubická samoizokonjugace Z (U, P)jako místo bodu X takové, že P-izokonjugát X je na lince UX je dána determinující rovnicí

{ displaystyle { begin {vmatrix} x & y & z qryz & rpzx & pqxy u & v & w end {vmatrix}} = 0.}

Mezi pojmenovanými kubíky Z (U, P) jsou následující:

Thomsonova kubická: Z (X (2), X (1)), kde X (2) = těžiště, X (1) = stimulant

Feuerbach kubický: Z (X (5), X (1)), kde X (5) = Feuerbachův bod

Darboux kubický: Z (X (20), X (1)), kde X (20) = De Longchamps bod

Neuberg kubický: Z (X (30), X (1)), kde X (30) = Eulerův nekonečný bod.

Převody

Mezi trilineárními souřadnicemi a vzdálenostmi od okraje

Pro libovolný výběr trilineárních souřadnic x: y: z k vyhledání bodu jsou skutečné vzdálenosti bodu od vedlejší koleje dány vztahem a '= kx, b '= ky, c '= kz kde k lze určit podle vzorce ${ displaystyle k = { frac {2 Delta} {ax + by + cz}}}$ ve kterém A, b, C jsou příslušné vedlejší síly před naším letopočtem, CA, AB, a ∆ je oblast ABC.

Mezi barycentrickými a trilineárními souřadnicemi

Bod s trilineárními souřadnicemi X : y : z má barycentrické souřadnice sekera : podle : cz kde A, b, C jsou postranní délky trojúhelníku. Naopak bod s barycentrikou α : β : y má trilineární souřadnice α / a : β / b : γ / c.

Mezi kartézskými a trilineárními souřadnicemi

Vzhledem k referenčnímu trojúhelníku ABC, vyjadřují polohu vrcholu B z hlediska objednaného páru Kartézské souřadnice a reprezentovat to algebraicky jako a vektor Bpomocí vrcholu C jako původ. Podobně definujte polohový vektor vrcholu A tak jako A. Pak jakýkoli bod P spojené s referenčním trojúhelníkem ABC lze definovat v kartézském systému jako vektor P = k₁A + k₂B. Pokud tento bod P má trilineární souřadnice x: y: z potom převodní vzorec z koeficientů k₁ a k₂ v kartézském vyjádření k trilineárním souřadnicím je, pro délky strany A, b, C opačné vrcholy A, B, C,

{ displaystyle x: y: z = { frac {k_ {1}} {a}}: { frac {k_ {2}} {b}}: { frac {1-k_ {1} -k_ { 2}} {c}},}

a převodní vzorec z trilineárních souřadnic na koeficienty v kartézské reprezentaci je

{ displaystyle k_ {1} = { frac {ax} {ax + by + cz}}, quad k_ {2} = { frac {by} {ax + by + cz}}.}

Obecněji, je-li zvolen libovolný počátek, kde jsou známy kartézské souřadnice vrcholů a reprezentovány vektory A, B a C a pokud jde o bod P má trilineární souřadnice X : y : z, pak kartézské souřadnice P jsou vážený průměr kartézských souřadnic těchto vrcholů pomocí barycentrických souřadnic sekera, podle a cz jako závaží. Proto převodní vzorec z trilineárních souřadnic x, y, z na vektor kartézských souřadnic P bodu je dáno

{ displaystyle { underline {P}} = { frac {ax} {ax + by + cz}} { underline {A}} + { frac {by} {ax + by + cz}} { underline {B}} + { frac {cz} {ax + o + cz}} { podtržení {C}},}

kde jsou délky stran |C − B| = A, |A − C| = b a |B − A| = C.

Viz také

Morleyova věta o trisektoru # Morleyovy trojúhelníky s uvedením příkladů mnoha bodů vyjádřených v trilineárních souřadnicích
Ternární děj
Vivianiho věta

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^Ó ^str ^q ^r ^s William Allen Whitworth (1866) Trilineární souřadnice a další metody analytické geometrie dvou dimenzí: základní pojednání, odkaz od Cornell University Historické matematické monografie.

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Trilineární souřadnice“. MathWorld.
Encyclopedia of Triangle Centers - ETC Clark Kimberling; má trilineární souřadnice (a barycentrické) pro více než 7000 středů trojúhelníků

[WW-1] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^Ó ^str ^q ^r ^s William Allen Whitworth (1866) Trilineární souřadnice a další metody analytické geometrie dvou dimenzí: základní pojednání, odkaz od Cornell University Historické matematické monografie.

[1]