Překlad axes - Translation of axes

v matematika, a překlad os ve dvou rozměrech je a mapování z xy-Kartézský souřadnicový systém do x'y '-Kartézský souřadnicový systém, ve kterém X' osa je paralelní do X osa a k jednotky pryč a y ' osa je rovnoběžná s y osa a h jednotky pryč. To znamená, že původ Ó' nového souřadného systému má souřadnice (h, k) v původním systému. Pozitivní X' a y ' směry jsou považovány za stejné jako kladné X a y Pokyny. Bod P má souřadnice (X, y) s ohledem na původní systém a souřadnice (X', y ') s ohledem na nový systém, kde

${ displaystyle x = x '+ h}$      a      ${ displaystyle y = y '+ k}$

(1)

nebo ekvivalentně

${ displaystyle x '= x-h}$      a      ${ displaystyle y '= y-k.}$[1][2]

(2)

V novém souřadném systému bod P Zdá se, že byly přeloženy opačným směrem. Například pokud xy-systém je přeložen na vzdálenost h doprava a na dálku k tedy nahoru P bude vypadat, že byl přeložen na dálku h doleva a vzdálenost k dolů v x'y '-Systém . Překlad os ve více než dvou rozměrech je definován podobně.^[3] Překlad os je a rigidní transformace, ale ne lineární mapa. (Vidět Afinní transformace.)

Motivace

Souřadnicové systémy jsou nezbytné pro studium rovnic křivky pomocí metod analytická geometrie. Chcete-li použít metodu souřadnicové geometrie, osy se umístí do vhodné polohy vzhledem k uvažované křivce. Například studovat rovnice elipsy a hyperboly, ohniska jsou obvykle umístěny na jedné z os a jsou umístěny symetricky vzhledem k počátku. Pokud křivka (hyperbola, parabola, elipsa atd.) je ne umístěn pohodlně vzhledem k osám, měl by být změněn souřadný systém tak, aby křivka byla umístěna na vhodné a známé místo a orientaci. Proces provádění této změny se nazývá a transformace souřadnic.^[4]

Řešení mnoha problémů lze zjednodušit překládáním souřadnicových os pro získání nových os rovnoběžných s původními.^[5]

Překlad kuželoseček

Změnou souřadnic lze rovnici kuželosečky vložit do a standardní forma, se kterým se obvykle pracuje snáze. Pro nejobecnější rovnici druhého stupně je vždy možné provést a otáčení os takovým způsobem, že v novém systému má rovnice podobu

${ displaystyle Ax ^ {2} + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0}$      (${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle C}$ ne oba nula);

(3)

to znamená, že neexistuje xy období.^[6] Dále překlad os může snížit rovnici tvaru (3) na rovnici stejné formy, ale s novými proměnnými (X', y ') jako souřadnice a s D a E obě rovny nule (s určitými výjimkami - například paraboly). Hlavním nástrojem v tomto procesu je „dokončení čtverce“.^[7] V následujících příkladech se předpokládá, že rotace os již byla provedena.

Příklad 1

Vzhledem k rovnici

${ displaystyle 9x ^ {2} + 25y ^ {2} + 18x-100y-116 = 0,}$

pomocí překladu os zjistit, zda místo rovnice je parabola, elipsa nebo hyperbola. Určete ohniska (nebo zaměření), vrcholy (nebo vrchol) a excentricita.

Řešení: Dokončit čtverec dovnitř X a y, napište rovnici ve tvaru

${ displaystyle 9 (x ^ {2} + 2x qquad) +25 (y ^ {2} -4y qquad) = 116.}$

Vyplňte čtverce a získejte

${ displaystyle 9 (x ^ {2} + 2x + 1) +25 (y ^ {2} -4y + 4) = 116 + 9 + 100}$

${ displaystyle Leftrightarrow 9 (x + 1) ^ {2} +25 (y-2) ^ {2} = 225.}$

Definovat

${ displaystyle x '= x + 1}$      a      ${ displaystyle y '= y-2.}$

To znamená překlad v rovnicích (2) je vyroben s ${ displaystyle h = -1, k = 2.}$ Rovnice v novém souřadnicovém systému je

${ displaystyle 9x '^ {2} + 25y' ^ {2} = 225.}$

(4)

Rozdělte rovnici (4) o 225 získat

${ displaystyle { frac {x '^ {2}} {25}} + { frac {y' ^ {2}} {9}} = 1,}$

který je rozpoznatelný jako elipsa s ${ displaystyle a = 5, b = 3, c ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2} = 16, c = 4, e = { tfrac {4} {5}}.}$ V x'y '-systém, máme: střed ${ displaystyle (0,0)}$; vrcholy ${ displaystyle ( pm 5,0)}$; ohniska ${ displaystyle ( pm 4,0).}$

V xy-systém, použijte vztahy ${ displaystyle x = x'-1, y = y '+ 2}$ získat: střed ${ displaystyle (-1,2)}$; vrcholy ${ displaystyle (4,2), (- 6,2)}$; ohniska ${ displaystyle (3,2), (- 5,2)}$; excentricita ${ displaystyle { tfrac {4} {5}}.}$^[8]

Zobecnění do několika dimenzí

Pro xyz-Kartézský souřadnicový systém ve třech rozměrech, předpokládejme, že je zaveden druhý kartézský souřadný systém s osami X', y ' a z ' tak umístěn, že X' osa je rovnoběžná s X osa a h jednotky z ní, y ' osa je rovnoběžná s y osa a k jednotky z ní a z ' osa je rovnoběžná s z osa a l jednotky z toho. Bod P ve vesmíru bude mít souřadnice v obou systémech. Pokud jsou jeho souřadnice (X, y, z) v původním systému a (X', y ', z ') ve druhém systému rovnice

${ displaystyle x '= x-h, qquad y' = y-k, qquad z '= z-l}$

(5)

držet.^[9] Rovnice (5) definujte překlad os ve třech rozměrech, kde (h, k, l) jsou xyz- koordinátoři nového původu.^[10] Překlad os v jakémkoli konečném počtu kót je definován podobně.

Překlad kvadrických povrchů

Ve tříprostoru nejobecnější rovnice druhého stupně v X, y a z má formu

${ displaystyle Ax ^ {2} + Autor: ^ {2} + Cz ^ {2} + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Kz + L = 0,}$

(6)

kde množství ${ displaystyle A, B, C, ldots, L}$ jsou kladná nebo záporná čísla nebo nula. Body v prostoru splňující takovou rovnici leží na a povrch. Jakákoli rovnice druhého stupně, která se neredukuje na válec, rovinu, přímku nebo bod, odpovídá povrchu, který se nazývá kvadrický.^[11]

Stejně jako v případě rovinné analytické geometrie lze pro zjednodušení rovnic druhého stupně použít metodu posunutí os, čímž se projeví povaha určitých kvadrických povrchů. Hlavním nástrojem v tomto procesu je „dokončení čtverce“.^[12]

Příklad 2

K určení kvadrického povrchu použijte překlad souřadnic

${ displaystyle x ^ {2} + 4y ^ {2} + 3z ^ {2} + 2x-8y + 9z = 10.}$

Řešení: Napište rovnici do formuláře

${ displaystyle x ^ {2} + 2x qquad +4 (y ^ {2} -2y qquad) +3 (z ^ {2} + 3z qquad) = 10.}$

Vyplňte políčko a získejte

${ displaystyle (x + 1) ^ {2} +4 (y-1) ^ {2} +3 (z + { tfrac {3} {2}}) ^ {2} = 10 + 1 + 4 + { tfrac {27} {4}}.}$

Představte překlad souřadnic

${ displaystyle x '= x + 1, qquad y' = y-1, qquad z '= z + { tfrac {3} {2}}.}$

Rovnice povrchu má tvar

${ displaystyle x '^ {2} + 4y' ^ {2} + 3z '^ {2} = { tfrac {87} {4}},}$

což je rozpoznatelné jako rovnice elipsoid.^[13]

Viz také

• Překlad (geometrie)

Poznámky

Reference

• Anton, Howard (1987), Elementární lineární algebra (5. vydání), New York: Wiley, ISBN  0-471-84819-0
• Protter, Murray H .; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus s analytickou geometrií (2. vyd.), Čtení: Addison-Wesley, LCCN  76087042