Konvexita v ekonomii - Convexity in economics

Konvexnost je důležitým tématem v ekonomika.^[1] V Šipka – Debreuův model z obecná ekonomická rovnováha, agenti mají konvexní rozpočtové sady a konvexní preference: Za rovnovážné ceny, rozpočet podporuje hyperplán nejlepší dosažitelné křivka indiference.^[2] The zisková funkce je konvexní konjugát z nákladová funkce.^[1][2] Konvexní analýza je standardní nástroj pro analýzu učebnicových ekonomik.^[1] Byly studovány nekonvexní jevy v ekonomii nehladká analýza, který zobecňuje konvexní analýza.^[3]

Předkola

Tato sekce smět bloudit od tématu článku do tématu jiného článku, konvexní analýza. Prosím pomozte vylepšit tuto sekci nebo diskutovat o tomto problému na diskusní stránka. (srpen 2013)

Ekonomika závisí na následujících definicích a výsledcích z konvexní geometrie.

Skutečné vektorové prostory

A konvexní sada kryty the úsečka spojením libovolných dvou jeho bodů.

Non-konvexní sada selže Pokrýt v některých bod úsečka spojením dvou jejích bodů.

Úsečky test konvexnost.

A nemovitý vektorový prostor ze dvou rozměry může dostat Kartézský souřadnicový systém ve kterém je každý bod identifikován seznamem dvou reálných čísel zvaných „souřadnice“, která jsou běžně označována X a y. Dva body v kartézské rovině mohou být přidané koordinovaně

(X₁, y₁) + (X₂, y₂) = (X₁+X₂, y₁+y₂);

dále může být bod znásobeno každým reálným číslem λ koordinovaně

λ (X, y) = (λx, λy).

Obecněji řečeno, jakýkoli skutečný vektorový prostor (konečné) dimenze D lze zobrazit jako soubor ze všech možných seznamů D reálná čísla { (proti₁, proti₂, . . . , proti_D) } spolu se dvěma operace: vektorové přidání a násobení reálným číslem. U konečných trojrozměrných vektorových prostorů lze operace sčítání vektorů a násobení reálných čísel definovat po souřadnicích podle příkladu karteziánské roviny.

Konvexní sady

V konvexní obal červené sady je každý modrý bod a konvexní kombinace některých červených bodů.

V reálném vektorovém prostoru je množina definována jako konvexní pokud pro každý pár jeho bodů každý bod na úsečka který se k nim připojí je kryté sadou. Například těleso krychle je konvexní; vše, co je duté nebo promáčknuté, například a půlměsíc tvar, není konvexní. Triviálně, prázdná sada je konvexní.

Více formálně sada Q je konvexní, pokud pro všechny body proti₀ a proti₁ v Q a za každé skutečné číslo λ v jednotkový interval [0,1], bod

(1 − λ) proti₀ + λv₁

je člen zQ.

Podle matematická indukce, sada Q je konvexní právě tehdy, když každý konvexní kombinace členů Q také patří Q. Podle definice a konvexní kombinace indexované podmnožiny {proti₀, proti₁, . . . , proti_D} vektorového prostoru je libovolný vážený průměr  λ₀proti₀ + λ₁proti₁ + . . . + λ_Dproti_D, pro nějakou indexovanou sadu nezáporných reálných čísel {λ_d} uspokojení rovnice λ₀ + λ₁ + . . . + λ_D = 1.

Definice konvexní množiny znamená, že průsečík dvou konvexních množin je konvexní množina. Obecněji řečeno, průsečík rodiny konvexních množin je konvexní množina.

Konvexní obal

Pro každou podmnožinu Q skutečného vektorového prostoru, jeho konvexní obal Konv. (Q) je minimální konvexní sada, která obsahuje Q. Takto Conv (Q) je průsečík všech konvexních množin, které Pokrýt Q. Konvexní trup množiny lze ekvivalentně definovat jako množinu všech konvexních kombinací bodů vQ.

Dualita: Protínající se poloprostory

A konvexní sada ${ displaystyle S}$ (růžově), podpůrná nadrovina ${ displaystyle S}$ (přerušovaná čára) a poloprostor vymezený nadrovinou, která obsahuje ${ displaystyle S}$ (ve světle modré barvě).

Podpora hyperplánu je koncept v geometrie. A nadrovina rozděluje prostor na dva poloprostory. Hyperplán se říká Podpěra, podpora A soubor ${ displaystyle S}$ v nemovitý n-prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ pokud splňuje obě následující podmínky:

• ${ displaystyle S}$ je zcela obsažen v jednom ze dvou Zavřeno poloprostory určené nadrovinou
• ${ displaystyle S}$ má alespoň jeden bod na nadrovině.

Zde je uzavřený poloprostor poloprostor, který zahrnuje nadrovinu.

Podpora věty o hyperplánu

Konvexní množina může mít více než jednu podpůrnou nadrovinu v daném bodě na své hranici.

Tento teorém uvádí, že pokud ${ displaystyle S}$ je uzavřený konvexní sada v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n},}$ a ${ displaystyle x}$ je bod na hranice z ${ displaystyle S,}$ pak existuje podpůrná hyperplán obsahující ${ displaystyle x.}$

Nadrovina ve větě nemusí být jedinečná, jak si všiml druhý obrázek vpravo. Pokud je uzavřená sada ${ displaystyle S}$ není konvexní, tvrzení věty není pravdivé ve všech bodech na hranici ${ displaystyle S,}$ jak je znázorněno na třetím obrázku vpravo.

Podpůrná nadrovina obsahující daný bod na hranici ${ displaystyle S}$ nemusí existovat, pokud ${ displaystyle S}$ není konvexní.

Ekonomika

Spotřebitel preferuje vektor zboží (Q_X, Q_y) nad jinými cenově dostupnými vektory. V tomto optimálním vektoru podporuje rozpočtová položka křivka indiference  Já₂.

Optimální koš zboží nastává tam, kde je spotřebitel konvexní sada předvoleb je podporováno rozpočtovým omezením, jak ukazuje obrázek. Pokud je sada preferencí konvexní, pak sada optimálních rozhodnutí spotřebitele je konvexní sada, například jedinečný optimální koš (nebo dokonce úsečka optimálních košů).

Pro zjednodušení předpokládáme, že preference spotřebitele lze popsat a užitková funkce to je spojitá funkce, což znamená, že sady preferencí jsou Zavřeno. (Význam „uzavřené množiny“ je vysvětlen níže v podkapitole o optimalizačních aplikacích.)

Nekonvexnost

Pokud mají spotřebitelské preference konkávnosti, pak lineární rozpočty nemusí podporovat rovnováhu: Spotřebitelé mohou skákat mezi alokacemi.

Pokud sada preferencí není konvexní, pak některé ceny vytvoří rozpočet podporující dvě různá optimální rozhodnutí o spotřebě. Například si můžeme představit, že v zoologických zahradách lev stojí tolik jako orel, a dále, že rozpočet zoo postačuje pro jednoho orla nebo jednoho lva. Můžeme také předpokládat, že chovatel zoo považuje každé zvíře za stejně cenné. V tomto případě by zoo koupila buď jednoho lva nebo jednoho orla. Současný chovatel zoo samozřejmě nechce koupit půl orla a půl lva (nebo a griffin )! Preference současného chovatele zoo tedy nejsou konvexní: chovatel zoo dává přednost tomu, aby měl jedno zvíře před jakoukoli přísně konvexní kombinací obou.

Do teorií obecné ekonomické rovnováhy byly začleněny nekonvexní množiny,^[4] z selhání trhu,^[5] a ze dne veřejná ekonomika.^[6] Tyto výsledky jsou popsány v učebnicích na úrovni absolventů v mikroekonomie,^[7] teorie obecné rovnováhy,^[8] herní teorie,^[9] matematická ekonomie,^[10]a aplikovaná matematika (pro ekonomy).^[11] The Lemma Shapley – Folkman výsledky prokazují, že nekonvexity jsou kompatibilní s přibližnou rovnováhou na trzích s mnoha spotřebiteli; tyto výsledky platí také pro výrobní ekonomiky s mnoha malými firmy.^[12]

V "oligopoly „(trhy ovládané několika výrobci), zejména v“monopoly „(trhy ovládané jedním výrobcem), nekonvexnosti zůstávají důležité.^[13] Obavy s velkými výrobci využívajícími tržní sílu ve skutečnosti zahájily literaturu o nekonvexních množinách, když Piero Sraffa psal o firmách s rostoucí vrací se v měřítku v roce 1926,^[14] po čemž Harold Hotelling napsal o stanovení mezních nákladů v roce 1938.^[15] Sraffa i Hotelling osvětlovaly tržní síla producentů bez konkurence, což jasně stimuluje literaturu o nabídkové straně ekonomiky.^[16]Non-konvexní sady vznikají také s ekologické zboží (a další externalit ),^[17][18] s informační ekonomie,^[19] a s burzy^[13] (a další neúplné trhy ).^[20][21] Takové aplikace nadále motivovaly ekonomy ke studiu nekonvexních množin.^[22]

Nehladká analýza

Tato část může vyžadovat vyčištění setkat se s Wikipedií standardy kvality. Specifický problém je: Vztah mezi subderiváty a nekonvexitou zůstává tajemný Prosím pomozte vylepšit tuto sekci jestli můžeš. (srpen 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Ekonomové stále více studovali nekonvexní množiny pomocí nehladká analýza, který zobecňuje konvexní analýza. „Nerovnoměrnosti ve [výrobě] i spotřebě ... vyžadovaly matematické nástroje, které šly nad rámec konvexnosti, a další vývoj musel čekat na vynález plynulého počtu“ (například Francis Clarke místně Lipschitz kalkul), jak je popsáno v Rockafellar & Wets (1998)^[23] a Mordukhovich (2006),^[24] podle Khan (2008).^[3] Brown (1995, s. 1967–1968) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFBrown1995 (Pomoc) napsal, že „hlavní metodickou inovací v obecné rovnovážné analýze firem s cenovými pravidly“ bylo „zavedení metod plynulé analýzy jako [syntéza] globální analýzy (diferenciální topologie) a [of] konvexní analýzy. " Podle Brown (1995, str. 1966) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFBrown1995 (Pomoc)„„ Nehladká analýza rozšiřuje lokální aproximaci variet o tečné roviny [a rozšiřuje] analogickou aproximaci konvexních množin o tečné kužele na množiny “, které mohou být nehladké nebo nekonvexní.^[25] Využili to také ekonomové algebraická topologie.^[26]

Viz také

• Konvexní dualita

Poznámky

Reference

• Blume, Lawrence E. (2008a). "Konvexnost". In Durlauf, Steven N .; Blume, Lawrence E (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Druhé vydání.). Palgrave Macmillan. str. 225–226. doi:10.1057/9780230226203.0315. ISBN  978-0-333-78676-5.
• Blume, Lawrence E. (2008b). "Konvexní programování". In Durlauf, Steven N .; Blume, Lawrence E (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Druhé vydání.). Palgrave Macmillan. str. 220–225. doi:10.1057/9780230226203.0314. ISBN  978-0-333-78676-5.
• Blume, Lawrence E. (2008c). „Dualita“. In Durlauf, Steven N .; Blume, Lawrence E (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Druhé vydání.). Palgrave Macmillan. str. 551–555. doi:10.1057/9780230226203.0411. ISBN  978-0-333-78676-5.
• Crouzeix, J.-P. (2008). "Kvazi-konkávnost". In Durlauf, Steven N .; Blume, Lawrence E (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Druhé vydání.). Palgrave Macmillan. 815–816. doi:10.1057/9780230226203.1375. ISBN  978-0-333-78676-5.
• Diewert, W. E. (1982). „12 Dualitních přístupů k mikroekonomické teorii“. v Šipka, Kenneth Joseph; Intriligator, Michael D (eds.). Handbook of matematic economics, VolumeII. Příručky v ekonomii. 1. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. str. 535–599. doi:10.1016 / S1573-4382 (82) 02007-4. ISBN  978-0-444-86127-6. PAN  0648778.
• Zelená, Jerry; Heller, Walter P. (1981). "1 Matematická analýza a konvexita s aplikacemi v ekonomii". v Šipka, Kenneth Joseph; Intriligator, Michael D (eds.). Handbook of matematic economics, VolumeJá. Příručky v ekonomii. 1. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. str. 15–52. doi:10.1016 / S1573-4382 (81) 01005-9. ISBN  978-0-444-86126-9. PAN  0634800.
• Luenberger, David G. Mikroekonomická teorie, McGraw-Hill, Inc., New York, 1995.
• Mas-Colell, A. (1987). „Nekonvexnost“ (PDF). V Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter (eds.). The New Palgrave: A Dictionary of Economics (první vydání). Palgrave Macmillan. 653–661. doi:10.1057/9780230226203.3173. ISBN  9780333786765.
• Newman, Peter (1987c). "Konvexnost". V Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter (eds.). The New Palgrave: A Dictionary of Economics (první vydání). Palgrave Macmillan. p. 1. doi:10.1057/9780230226203.2282. ISBN  9780333786765.
• Newman, Peter (1987d). „Dualita“. V Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter (eds.). The New Palgrave: A Dictionary of Economics (první vydání). Palgrave Macmillan. p. 1. doi:10.1057/9780230226203.2412. ISBN  9780333786765.
• Rockafellar, R. Tyrrell (1997). Konvexní analýza. Princetonské orientační body v matematice (Dotisk matematické řady Princeton z roku 197928 vyd.). Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN  978-0-691-01586-6. PAN  0274683..
• Schneider, Rolf (1993). Konvexní tělesa: Brunn – Minkowského teorie. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 44. Cambridge: Cambridge University Press. str. xiv + 490. doi:10.1017 / CBO9780511526282. ISBN  978-0-521-35220-8. PAN  1216521.