Konvexní preference - Convex preferences

v ekonomika, konvexní preference jsou objednáváním různých výsledků jednotlivcem, obvykle s ohledem na množství různých spotřebovaných statků, s majetkem, který, zhruba řečeno, „průměry jsou lepší než extrémy“. Koncept zhruba odpovídá konceptu klesající mezní užitečnost bez požadavku obslužné funkce.

Zápis

Srovnatelné s větším než nebo rovným objednávání vztah ${displaystyle geq}$ pro reálná čísla notace ${displaystyle succeq}$ níže lze přeložit jako: „je alespoň tak dobrý jako“ (v přednost spokojenost).

Podobně, ${displaystyle succ}$ lze přeložit jako „je přísně lepší než“ (přednostně spokojenost) a Podobně ${displaystyle sim}$ lze přeložit jako „je ekvivalentní“ (přednostně spokojenost).

Definice

Použití X, y, a z označit tři svazky spotřeby (kombinace různých množství různého zboží). Formálně preferenční vztah ${displaystyle succeq}$ na sada spotřeby X je nazýván konvexní pokud pro nějaké

{displaystyle x, y, zin X}

kde

{displaystyle ysucceq x}

a

{displaystyle zsucceq x}

,

a pro každého ${displaystyle heta za [0,1]}$ :

{displaystyle heta y + (1- heta) zsucceq x}

.

tj. u jakýchkoli dvou svazků, z nichž každý je považován za přinejmenším stejně dobrý jako třetí svazek, je vážený průměr těchto dvou svazků považován za nejméně stejně dobrý jako třetí svazek.

Preference relace ${displaystyle succeq}$ je nazýván přísně konvexní pokud pro nějaké

{displaystyle x, y, zin X}

kde

{displaystyle ysucceq x}

,

{displaystyle zsucceq x}

, a

{displaystyle yeq z}

,

a pro každého ${displaystyle heta in (0,1)}$ :

{displaystyle heta y + (1- heta) zsucc x}

tj. u jakýchkoli dvou odlišných svazků, z nichž každý je považován za přinejmenším stejně dobrý jako třetí svazek, je vážený průměr dvou svazků (včetně kladného množství každého svazku) považován za přísně lepší než třetí svazek.^[1]^[2]

Alternativní definice

Použití X a y označit dva svazky spotřeby. Preference relace ${displaystyle succeq}$ je nazýván konvexní pokud pro nějaké

{displaystyle x, yin X}

kde

{displaystyle ysucceq x}

a pro každého ${displaystyle heta za [0,1]}$ :

{displaystyle heta y + (1- heta) xsucceq x}

.

To znamená, že pokud svazek y se dává přednost před svazkem X, pak libovolná směs y s X je stále upřednostňována před X.^[3]

Preference relace se nazývá přísně konvexní pokud pro nějaké

{displaystyle x, yin X}

kde

{displaystyle ysim x}

, a

{displaystyle xeq y}

,

a pro každého ${displaystyle heta in (0,1)}$ :

{displaystyle heta y + (1- heta) xsucc x}

.

{displaystyle heta y + (1- heta) xsucc y}

.

To znamená, že u všech dvou svazků, které jsou považovány za rovnocenné, je vážený průměr těchto dvou svazků lepší než u každého z těchto svazků.^[4]

Příklady

1. Pokud existuje pouze jeden typ komodity, pak je jakýkoli slabě monotónně rostoucí preferenční vztah konvexní. Je to proto, že pokud ${displaystyle ygeq x}$ , pak každý vážený průměr y a ס je také ${displaystyle geq x}$ .

2. Zvažte ekonomiku se dvěma typy komodit, 1 a 2. Zvažte preferenční vztah představovaný následujícím Funkce Leontief:

{displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = min (x_ {1}, x_ {2})}

Tento preferenční vztah je konvexní. Důkaz: předpokládejme X a y jsou dva ekvivalentní svazky, tj. ${displaystyle min (x_ {1}, x_ {2}) = min (y_ {1}, y_ {2})}$ . Pokud je komodita s minimálním množstvím v obou svazcích stejná (např. Komodita 1), pak to dopadá ${displaystyle x_ {1} = y_ {1} leq x_ {2}, y_ {2}}$ . Libovolný vážený průměr pak má také stejné množství komodity 1, takže jakýkoli vážený průměr je ekvivalentní ${displaystyle x}$ a ${displaystyle y}$ . Pokud je minimální komodita v každém balíčku jiná (např. ${displaystyle x_ {1} leq x_ {2}}$ ale ${displaystyle y_ {1} geq y_ {2}}$ ), pak z toho vyplývá ${displaystyle x_ {1} = y_ {2} leq x_ {2}, y_ {1}}$ . Pak ${displaystyle heta x_ {1} + (1- heta) y_ {1} geq x_ {1}}$ a ${displaystyle heta x_ {2} + (1- heta) y_ {2} geq y_ {2}}$ , tak ${displaystyle heta x + (1- heta) ysucceq x, y}$ . Tento preferenční vztah je konvexní, ale nikoli striktně konvexní.

3. Preference vztah reprezentovaný lineární užitečnost funkce je konvexní, ale ne striktně konvexní. Kdykoli ${displaystyle xsim y}$ , každá konvexní kombinace ${displaystyle x, y}$ je ekvivalentní jakémukoli z nich.

4. Zvažte preferenční vztah představovaný:

{displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = max (x_ {1}, x_ {2})}

Tento preferenční vztah není konvexní. Důkaz: nechte ${displaystyle x = (3,5)}$ a ${displaystyle y = (5,3)}$ . Pak ${displaystyle xsim y}$ protože oba mají užitečnost 5. Avšak konvexní kombinace ${displaystyle 0,5x + 0,5y = (4,4)}$ je horší než oba, protože jeho užitečnost je 4.

Vztah k indiferenčním křivkám a užitným funkcím

Sada konvexní -tvarovaná indiferenční křivky zobrazí konvexní předvolby: Vzhledem k konvexní křivce lhostejnosti obsahující sadu všech svazků (dvou nebo více zboží), které jsou všechny považovány za stejně žádoucí, je sada všech svazků zboží, které jsou považovány za přinejmenším stejně žádoucí jako ty na lhostejnosti křivka je a konvexní sada.

Z nich vyplývají konvexní preference s jejich přidruženým konvexním mapováním lhostejnosti kvazi-konkávní obslužné funkce, i když tyto nejsou pro analýzu preferencí nutné.

Viz také

Reference

^ Hal R. Varian; Střední mikroekonomie - moderní přístup. New York: W. W. Norton & Company. ISBN 0-393-92702-4
^ Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; & Green, Jerry (1995). Mikroekonomická teorie. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-507340-9
^ Board, Simon (6. října 2009). „Preference and Utility“ (PDF). Econ 11. Mikroekonomická teorie. Podzim 2009. University of California, Los Angeles.
^ Sanders, Nicholas J. „Preference and Utility - Basic Review and examples“ (PDF). College of William & Mary. Archivovány od originál (PDF) 20. března 2013.

[Varian-1] Hal R. Varian; Střední mikroekonomie - moderní přístup. New York: W. W. Norton & Company. ISBN 0-393-92702-4

[Mas-2] Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; & Green, Jerry (1995). Mikroekonomická teorie. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-507340-9

[Board-3] Board, Simon (6. října 2009). „Preference and Utility“ (PDF). Econ 11. Mikroekonomická teorie. Podzim 2009. University of California, Los Angeles.

[Sanders-4] Sanders, Nicholas J. „Preference and Utility - Basic Review and examples“ (PDF). College of William & Mary. Archivovány od originál (PDF) 20. března 2013.

[1]

[2]

[3]

[4]