Afinní kombinace - Affine combination

v matematika, an afinní kombinace z $X 1, ..., X n$ je lineární kombinace

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} { alpha _ {i} cdot x_ {i}} = alpha _ {1} x_ {1} + alpha _ {2} x_ {2 } + cdots + alpha _ {n} x_ {n},}

takhle

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} { alpha _ {i}} = 1.}

Tady, $X 1, ..., X n$ mohou být prvky (vektory ) a vektorový prostor přes pole $K.$ a koeficienty ${ displaystyle alpha _ {i}}$ jsou prvky $K.$ .

Elementy $X 1, ..., X n$ mohou být také body a Euklidovský prostor, a obecněji, z afinní prostor přes pole $K.$ . V tomto případě ${ displaystyle alpha _ {i}}$ jsou prvky $K.$ (nebo ${ displaystyle mathbb {R}}$ pro euklidovský prostor) a afinní kombinace je také bod. Vidět Afinní prostor § Afinní kombinace a barycentrum pro definici v tomto případě.

Tento koncept je zásadní v Euklidovská geometrie a afinní geometrie, protože sada všech afinních kombinací sady bodů tvoří nejmenší podprostor obsahující body, přesně tak, jak lineární kombinace sady vektorů tvoří jejich lineární rozpětí.

Afinní kombinace dojíždějí s jakoukoli afinní transformace $T$ V tom smyslu, že

{ displaystyle T sum _ {i = 1} ^ {n} { alpha _ {i} cdot x_ {i}} = sum _ {i = 1} ^ {n} { alpha _ {i} cdot Tx_ {i}}.}

Zejména jakákoli afinní kombinace pevné body daného afinní transformace ${ displaystyle T}$ je také pevným bodem ${ displaystyle T}$ , takže množina pevných bodů ${ displaystyle T}$ tvoří afinní podprostor (ve 3D: úsečka nebo rovina a triviální případy, bod nebo celý prostor).

Když stochastická matice, $A$ , působí na vektor sloupce, b→, výsledkem je vektor sloupce, jehož položky jsou afinní kombinace b→ s koeficienty z řádků v $A$ .

Viz také

Související kombinace

Afinní geometrie

Reference

Gallier, Jean (2001), Geometrické metody a aplikace, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95044-0. Viz kapitola 2.

externí odkazy

Poznámky k afinním kombinacím.