Subderivát - Subderivative
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Subderivative_illustration.png/220px-Subderivative_illustration.png)
v matematika, subderivát, subgradient, a subdiferenciální zobecnit derivát na konvexní funkce, které nemusí být nutně rozlišitelný. Subderiváty vznikají v konvexní analýza, studium konvexní funkce, často v souvislosti s konvexní optimalizace.
Nechat být nemovitý -vyhodnocená konvexní funkce definovaná na otevřený interval skutečné linie. Taková funkce nemusí být ve všech bodech diferencovatelná: například absolutní hodnota funkce F(X)=|X| je nediferencovatelné, když X= 0. Jak je však vidět na grafu vpravo (kde f (x) modře má nediferencovatelné smyčky podobné funkci absolutní hodnoty), pro libovolné X0 v doméně funkce lze nakreslit čáru, která prochází bodem (X0, F(X0)) a který je všude, ať se dotýká grafu nebo pod ním F. The sklon takové linky se nazývá a subderivát (protože čára je pod grafem F).
Definice
Přísně, a subderivát konvexní funkce v určitém okamžiku X0 v otevřeném intervalu Já je skutečné číslo C takhle
pro všechny X v Já. Jeden může ukázat, že soubor subderivátů ve společnosti X0 pro konvexní funkci je a neprázdný uzavřený interval [A, b], kde A a b jsou jednostranné limity
které zaručeně existují a uspokojují A ≤ b[Citace je zapotřebí ].
Sada [A, b] všech subderivátů se nazývá subdiferenciální funkce F na X0. Od té doby F je konvexní, pokud je jeho subdiferenciální v obsahuje přesně jeden subderivát F je diferencovatelný v .[1]
Příklady
Zvažte funkci F(X)=|X| což je konvexní. Subdiferenciálem v počátku je pak interval [−1, 1]. Subdiferenciální v každém bodě X0<0 je singletonová sada {−1}, zatímco v každém bodě subdiferenciální X0> 0 je singletonová sada {1}. To je podobné jako znaková funkce, ale není funkcí s jednou hodnotou na 0, místo toho zahrnuje všechny možné subderiváty.
Vlastnosti
- Konvexní funkce F:Já→R je diferencovatelný v X0 kdyby a jen kdyby subdiferenciál je tvořen pouze jedním bodem, kterým je derivace v X0.
- Bod X0 je globální minimum konvexní funkce F právě tehdy, je-li nula obsažena v subdiferenciálu, tj. na výše uvedeném obrázku, lze nakreslit vodorovnou „subtangenciální čáru“ do grafu F na (X0, F(X0)). Tato poslední vlastnost je zobecněním skutečnosti, že derivace funkce diferencovatelné na lokálním minimu je nula.
- Li a jsou konvexní funkce se subdiferenciály a , pak subdiferenciál je (kde operátor přidání označuje Minkowského součet ). Toto zní jako „subdiferenciál součtu je součtem subdiferenciálů.“ [2]
Podgradient
Pojmy subderivativní a subdiferenciální lze zobecnit na funkce několika proměnných. Li F:U→ R je konvexní funkce se skutečnou hodnotou definovaná v a konvexní otevřená sada v Euklidovský prostor Rn, vektor v tomto prostoru se nazývá a subgradient v určitém okamžiku X0 v U pokud pro nějaké X v U jeden má
kde tečka označuje Tečkovaný produkt. Sada všech podskupin na X0 se nazývá subdiferenciální na X0 a je označen ∂F(X0). Subdiferenciál je vždy neprázdný konvexní kompaktní sada.
Tyto pojmy zobecňují dále na konvexní funkce F:U→ R na konvexní sada v lokálně konvexní prostor PROTI. Funkční ∗ v dvojí prostor PROTI∗ je nazýván subgradient na X0 v U pokud pro všechny X v U
Sada všech podskupin na X0 se nazývá subdiferenciální v X0 a je opět označen ∂F(X0). Subdiferenciální je vždy konvexní uzavřená sada. Může to být prázdná sada; zvažte například neomezený operátor, který je konvexní, ale nemá subgradient. Li F je spojitý, subdiferenciální je neprázdný.
Dějiny
Subdiferenciál na konvexních funkcích představil Jean Jacques Moreau a R. Tyrrell Rockafellar na počátku šedesátých let. The generalizovaný subdiferenciál pro nekonvexní funkce představili F.H. Clarke a R.T. Rockafellar na začátku 80. let.[3]
Viz také
Reference
- ^ Rockafellar, R. T. (1970). Konvexní analýza. Princeton University Press. str. 242 [Věta 25.1]. ISBN 0-691-08069-0.
- ^ Lemaréchal, Claude; Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste (2001). Základy konvexní analýzy. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. str.183. ISBN 978-3-642-56468-0.
- ^ Clarke, Frank H. (1983). Optimalizace a nehladká analýza. New York: John Wiley & Sons. str. xiii + 308. ISBN 0-471-87504-X. PAN 0709590.
- Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian S. (2010). Konvexní analýza a nelineární optimalizace: teorie a příklady (2. vyd.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-31256-9.
- Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (2001). Základy konvexní analýzy. Springer. ISBN 3-540-42205-6.
- Zălinescu, C. (2002). Konvexní analýza v obecných vektorových prostorech. World Scientific Publishing Co., Inc., str. Xx + 367. ISBN 981-238-067-1. PAN 1921556.
externí odkazy
- "Použití ". Stack Exchange. 15. července 2002.