v kvantová fyzika , operátor squeeze pro jediný režim elektromagnetického pole je[1]
S ^ ( z ) = exp ( 1 2 ( z ∗ A ^ 2 − z A ^ † 2 ) ) , z = r E i θ {displaystyle {hat {S}} (z) = exp left ({1 over 2} (z ^ {*} {hat {a}} ^ {2} -z {hat {a}} ^ {dagger 2}) ight), qquad z = r, e ^ {i heta}} Kde operátory uvnitř exponenciální jsou operátoři žebříků . Je to nečleněný operátor, a proto se řídí S ( ζ ) S † ( ζ ) = S † ( ζ ) S ( ζ ) = 1 ^ {displaystyle S (zeta) S ^ {dagger} (zeta) = S ^ {dagger} (zeta) S (zeta) = {klobouk {1}}} , kde 1 ^ {displaystyle {hat {1}}} je operátor identity.
Jeho působení na operátory zničení a vytvoření produkuje
S ^ † ( z ) A ^ S ^ ( z ) = A ^ hovno r − E i θ A ^ † sinh r a S ^ † ( z ) A ^ † S ^ ( z ) = A ^ † hovno r − E − i θ A ^ sinh r {displaystyle {hat {S}} ^ {dagger} (z) {hat {a}} {hat {S}} (z) = {hat {a}} cosh re ^ {i heta} {hat {a}} ^ {dagger} sinh rqquad {ext {and}} qquad {hat {S}} ^ {dagger} (z) {hat {a}} ^ {dagger} {hat {S}} (z) = {hat {a }} ^ {dagger} cosh re ^ {- i heta} {hat {a}} sinh r} Operátor squeeze je všudypřítomný kvantová optika a může fungovat v jakémkoli stavu. Například při působení na vakuum vytváří operátor mačkání stlačený stav vakua.
Operátor mačkání může také jednat koherentní stavy a vyrábět vymačkané koherentní státy . Operátor mačkání nedojíždí s operátor posunutí :
S ^ ( z ) D ^ ( α ) ≠ D ^ ( α ) S ^ ( z ) , {displaystyle {hat {S}} (z) {hat {D}} (alpha) eq {hat {D}} (alpha) {hat {S}} (z),} ani nedojíždí s operátory žebříku, takže je třeba věnovat zvláštní pozornost tomu, jak jsou tyto operátory používány. Existuje však jednoduchý splétací vztah, D ^ ( α ) S ^ ( z ) = S ^ ( z ) S ^ † ( z ) D ^ ( α ) S ^ ( z ) = S ^ ( z ) D ^ ( y ) , kde y = α hovno r + α ∗ E i θ sinh r {displaystyle {hat {D}} (alpha) {hat {S}} (z) = {hat {S}} (z) {hat {S}} ^ {dagger} (z) {hat {D}} ( alpha) {hat {S}} (z) = {hat {S}} (z) {hat {D}} (gamma), qquad {ext {where}} qquad gamma = alpha cosh r + alpha ^ {*} e ^ {i heta} sinh r} [2]
Aplikace obou operátorů výše na vakuu produkuje vymačkané koherentní státy :
D ^ ( α ) S ^ ( r ) | 0 ⟩ = | α , r ⟩ {displaystyle {hat {D}} (alfa) {hat {S}} (r) | 0angle = | alpha, rangle} .Odvození akce na operátory zničení a vytvoření Jak již bylo uvedeno výše, akce operátora squeeze S ( z ) {displaystyle S (z)} na operátor vyhlazení A {displaystyle a} lze psát jako
S † ( z ) A S ( z ) = hovno ( | z | ) A − z | z | sinh ( | z | ) A † . {displaystyle S ^ {dagger} (z) aS (z) = cosh (| z |) a- {frac {z} {| z |}} sinh (| z |) a ^ {dýka}.} Abychom tuto rovnost odvodili, definujme (skew-hermitovský) operátor
A ≡ ( z A † 2 − z ∗ A 2 ) / 2 {displaystyle Aequiv (za ^ {dagger 2} -z ^ {*} a ^ {2}) / 2} , aby
S † = E A {displaystyle S ^ {dagger} = e ^ {A}} .
Levá strana rovnosti je tedy E A A E − A {displaystyle e ^ {A} ae ^ {- A}} . Nyní můžeme využít obecné rovnosti
E A B E − A = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! [ A , [ A , … , [ A ⏟ k krát , B ] … ] ] , {displaystyle e ^ {A} Be ^ {- A} = součet _ {k = 0} ^ {infty} {frac {1} {k!}} [podtržítko {A, [A, tečky, [A} _ { k, {ext {times}}}, B] tečky]],} což platí pro každou dvojici operátorů
A {displaystyle A} a
B {displaystyle B} . Vypočítat
E A A E − A {displaystyle e ^ {A} ae ^ {- A}} tím se snižuje problém výpočtu opakovaných komutátorů mezi nimi
A {displaystyle A} a
A {displaystyle a} Jak lze snadno ověřit, máme
[ A , A ] = 1 2 [ z A † 2 − z ∗ A 2 , A ] = z 2 [ A † 2 , A ] = − z A † , {displaystyle [A, a] = {frac {1} {2}} [za ^ {dagger 2} -z ^ {*} a ^ {2}, a] = {frac {z} {2}} [a ^ {dagger 2}, a] = - za ^ {dagger},} [ A , A † ] = 1 2 [ z A † 2 − z ∗ A 2 , A † ] = − z ∗ 2 [ A 2 , A † ] = − z ∗ A . {displaystyle [A, a ^ {dagger}] = {frac {1} {2}} [za ^ {dagger 2} -z ^ {*} a ^ {2}, a ^ {dagger}] = - {frac {z ^ {*}} {2}} [a ^ {2}, a ^ {dagger}] = - z ^ {*} a.} Použitím těchto rovností získáme
[ A , [ A , … , [ A ⏟ n , A ] … ] ] = { | z | n A , pro n dokonce , − z | z | n − 1 A † , pro n zvláštní . {displaystyle [underbrace {A, [A, dots, [A} _ {n}, a] dots]] = {egin {cases} | z | ^ {n} a, & {ext {for}} n {ext {even}}, - z | z | ^ {n-1} a ^ {dagger}, & {ext {for}} n {ext {odd}}. end {cases}}}
takže konečně dostaneme
E A A E − A = A ∑ k = 0 ∞ | z | 2 k ( 2 k ) ! − A † z | z | ∑ k = 0 ∞ | z | 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! = A hovno | z | − A † E i θ sinh | z | . {displaystyle e ^ {A} ae ^ {- A} = asum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {| z | ^ {2k}} {(2k)!}} - a ^ {dagger} { frac {z} {| z |}} součet _ {k = 0} ^ {infty} {frac {| z | ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!}} = acosh | z | -a ^ {dagger} e ^ {i heta} sinh | z |.}
Viz také Reference ^ Gerry, C.C. & Knight, P.L. (2005). Úvodní kvantová optika . Cambridge University Press. str. 182. ISBN 978-0-521-52735-4 . ^ M. M. Nieto a D. Truax (1995), „Holstein ‐ Primakoff / Bogoliubov Transformations and the Multiboson System“. arXiv :quant-ph / 9506025 . doi :10.1002 / prop.2190450204 . Eqn (15). Všimněte si, že v tomto odkazu se definice operátoru squeeze (ekv. 12) liší znakem mínus uvnitř exponenciálu, proto výraz y {displaystyle gamma} je odpovídajícím způsobem upraveno ( θ → θ + π {displaystyle heta ightarrow heta + pi} ). Všeobecné
Prostor a čas Částice Operátoři pro operátory
Kvantové
Základní Energie Moment hybnosti Elektromagnetismus Optika Fyzika částic