Vektorový model atomu - Vector model of the atom

Část a série na
Kvantová mechanika
${ displaystyle i hbar { frac { částečné} { částečné t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Schrödingerova rovnice
Úvod Glosář Dějiny Učebnice
Pozadí Klasická mechanika Stará kvantová teorie Braketová notace Hamiltonian Rušení
Základy Soudržnost Decoherence Doplňkovost Úroveň energie Zapletení Hamiltonian Princip nejistoty Základní stav Rušení Měření Nelokálnost Pozorovatelný Operátor Kvantové Kvantová fluktuace Kvantové číslo Kvantový šum Kvantová říše Kvantový stav Kvantový systém Kvantová teleportace Qubit Roztočit Superpozice Symetrie (Spontánní) narušení symetrie Stav vakua Šíření vln Vlnová funkce Sbalení vlnové funkce Dualita vln-částic Vlna hmoty
Účinky Zeemanův efekt Stark efekt Aharonov – Bohmův efekt Landau kvantování Kvantový Hallův efekt Kvantový zeno efekt Kvantové tunelování Fotoelektrický efekt Kazimírův efekt
Experimenty Bellova nerovnost Davisson – Germer Double-slit Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Nerovnost Leggett – Garg Mach – Zehnder Popper Kvantová guma  (zpožděná volba ) Schrödingerova kočka Stern – Gerlach Wheelerova zpožděná volba
Formulace Přehled Heisenberg Interakce Matice Fázový prostor Schrödinger Sum-over-histories (cesta-integrál)
Rovnice Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger
Výklady Přehled Bayesian Konzistentní historie Kodaň de Broglie – Bohm Soubor Skrytá proměnná Mnoho světů Objektivní kolaps Kvantová logika Relační Stochastický Transakční
Pokročilá témata Kvantové žíhání Kvantový chaos Kvantové výpočty Kvantová geometrie Matice hustoty Teorie kvantového pole Frakční kvantová mechanika Kvantová gravitace Kvantová informační věda Kvantové strojové učení Poruchová teorie (kvantová mechanika) Relativistická kvantová mechanika Teorie rozptylu Spontánní parametrická down-konverze Kvantová statistická mechanika
Vědci Aharonov Zvonek Blackett Bloch Bohm Bohr narozený Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli jehněčí Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vídeň Vůdce Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Kategorie ► Kvantová mechanika

tento článek vyžaduje pozornost odborníka na toto téma. Přidejte prosím důvod nebo a mluvit parametr k této šabloně pro vysvětlení problému s článkem. Při umisťování této značky zvažte přidružení této žádosti s WikiProject. (Dubna 2011)

v fyzika konkrétně kvantová mechanika, vektorový model atomu je Modelka z atom ve smyslu moment hybnosti.^[1] Lze jej považovat za rozšíření Rutherford – Bohr – Sommerfeldův atomový model na atomy s více elektrony.

Úvod

Ilustrace vektorového modelu orbitálního momentu hybnosti.

Tento model je vhodným znázorněním úhlového momentu elektronů v atomu. Moment hybnosti je vždy rozdělen na orbitální L, točit S a celkem J:

${ displaystyle mathbf {J} = mathbf {L} + mathbf {S}.}$

Vzhledem k tomu, že v kvantové mechanice je moment hybnosti kvantován a existuje složka nejistoty pro komponenty každého vektoru, je znázornění poměrně jednoduché (i když základní matematika je poměrně složitá). Geometricky je to diskrétní sada pravo-kruhových kuželů, bez kruhové základny, ve které jsou osy všech kuželů seřazeny na společnou osu, konvenčně osa z pro trojrozměrné karteziánské souřadnice.^[2] Následuje pozadí této konstrukce.

Matematické pozadí úhlového momentu

Kužele točivého momentu hybnosti, zde zobrazené pro částici spin-1/2

Z komutátoru to vyplývá pro každou z L, S, a J, lze kdykoli měřit pouze jednu složku libovolného vektoru momentu hybnosti; zároveň jsou další dva neurčité. Komutátor libovolných dvou operátorů momentu hybnosti (odpovídající směrům složek) je nenulový. Následuje shrnutí příslušné matematiky při konstrukci vektorového modelu.

Komutační vztahy jsou (pomocí Konvence Einsteinova součtu ):

${ displaystyle { begin {aligned} & [{ hat {L}} _ {a}, { hat {L}} _ {b}] = i hbar varepsilon _ {abc} { hat {L }} _ {c} & [{ hat {S}} _ {a}, { hat {S}} _ {b}] = i hbar varepsilon _ {abc} { hat {S} } _ {c} konec {zarovnáno}}}$

kde

• L = (L₁, L₂, L₃), S = (S₁, S₂, S₃) a J = (J₁, J₂, J₃) (odpovídají L = (L_X, L_y, L_z), S = (S_X, S_y, S_z) a J = (J_X, J_y, J_z) v kartézských souřadnicích),
• A, b, C ∊ {1,2,3} jsou indexy označující složky úhlového momentu
• ε_abc je 3-index permutační tenzor ve 3-d.

Veličiny L, S a J nicméně umět měřit současně, protože komutace čtverce operátoru momentu hybnosti (plný výsledník, ne komponenty) s libovolnou složkou je nula, takže současné měření ${ displaystyle { hat {L}} _ {a}}$ s ${ displaystyle { hat {L}} ^ {2}}$, ${ displaystyle { hat {S}} _ {a}}$ s ${ displaystyle { hat {S}} ^ {2}}$ a ${ displaystyle { hat {J}} _ {a}}$ s ${ displaystyle { hat {J}} ^ {2}}$ uspokojit:

${ displaystyle { begin {aligned} & [{ hat {L}} _ {a}, { hat {L}} ^ {2}] = 0 & [{ hat {S}} _ { a}, { hat {S}} ^ {2}] = 0 & [{ hat {J}} _ {a}, { hat {J}} ^ {2}] = 0 konec {zarovnáno}}}$

Velikosti splňují všechny následující podmínky, pokud jde o operátory a vektorové komponenty:

${ displaystyle { begin {aligned} & { hat {L}} ^ {2} = { hat {L}} _ {x} ^ {2} + { hat {L}} _ {y} ^ {2} + { hat {L}} _ {z} ^ {2} , , rightleftharpoons , , mathbf {L} cdot mathbf {L} = L ^ {2} = L_ { x} ^ {2} + L_ {y} ^ {2} + L_ {z} ^ {2}, & { hat {S}} ^ {2} = { hat {S}} _ {x } ^ {2} + { hat {S}} _ {y} ^ {2} + { hat {S}} _ {z} ^ {2} , , rightleftharpoons , , mathbf { S} cdot mathbf {S} = S ^ {2} = S_ {x} ^ {2} + S_ {y} ^ {2} + S_ {z} ^ {2}, & { hat { J}} ^ {2} = { hat {J}} _ {x} ^ {2} + { hat {J}} _ {y} ^ {2} + { hat {J}} _ {z } ^ {2} , , rightleftharpoons , , mathbf {J} cdot mathbf {J} = J ^ {2} = J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2 } + J_ {z} ^ {2}, end {zarovnáno}}}$

a kvantová čísla:

${ displaystyle { begin {aligned} & | mathbf {L} | = hbar { sqrt { ell ( ell +1)}}, quad L_ {z} = m _ { ell} hbar, & | mathbf {S} | = hbar { sqrt {s (s + 1)}}, quad S_ {z} = m_ {s} hbar, & | mathbf {J} | = hbar { sqrt {j (j + 1)}}, quad J_ {z} = m_ {j} hbar, konec {zarovnáno}}}$

kde

• ${ displaystyle scriptstyle ell}$, je azimutální kvantové číslo,
• s, je točit kvantové číslo vlastní druhu částice,
• j, je celkové kvantové číslo momentu hybnosti,

které respektují hodnoty:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} & m _ { ell} in {- ell, - ( ell -1) cdots ell -1, ell }, quad ell in {0 , 1 cdots n-1 } & m_ {s} in {- s, - (s-1) cdots s-1, s }, & m_ {j} in {- j , - (j-1) cdots j-1, j }, & m_ {j} = m _ { ell} + m_ {s}, quad j = | ell + s | end { zarovnaný}}}$

Tyto matematické skutečnosti naznačují kontinuum všech možných úhlových momentů pro odpovídající zadané kvantové číslo:

1. Jeden směr je konstantní, další dva jsou variabilní.
2. Velikost vektorů musí být konstantní (pro určitý stav odpovídající kvantovému číslu), takže dvě neurčité složky každého z vektorů musí být omezeny na kruh takovým způsobem, že měřitelné a neměřitelné složky ( v okamžiku) umožňují správnou konstrukci velikostí pro všechny možné neurčité komponenty.

Geometrickým výsledkem je kužel vektorů, vektor začíná na vrcholu kužele a jeho hrot dosahuje po obvodu kužele. Konvencí je použití složky z pro měřitelnou složku momentu hybnosti, takže osa kužele musí být osou z, směřující od vrcholu k rovině definované kruhovou základnou kužele, kolmo k rovině . Pro různá kvantová čísla jsou kužele odlišné. Takže existují oddělený počet stavů, ve kterých může být úhlový moment, vládne výše uvedené možné hodnoty pro ${ displaystyle scriptstyle ell}$, s, a j. Při použití předchozího nastavení vektoru jako součásti kužele musí každý stav odpovídat kuželu. To je pro zvýšení ${ displaystyle scriptstyle ell}$, s, a ja klesá ${ displaystyle scriptstyle ell}$, s, a j> Záporná kvantová čísla odpovídají čípkům odraženým v X-y letadlo. Jeden z těchto stavů pro kvantové číslo rovnající se nule zjevně neodpovídá kuželu, pouze kruhu v X-y letadlo.

Počet kuželů (včetně zdegenerovaného rovinného kruhu) se rovná multiplicitě stavů, ${ displaystyle scriptstyle 2 ell +1}$.

Bohrův model

Lze jej považovat za rozšíření Bohrův model protože Niels Bohr také navrhovaný moment hybnosti byl kvantován podle:

${ displaystyle L = m hbar}$

kde m je celé číslo, vytvořené správné výsledky pro atom vodíku. Ačkoli Bohrův model se nevztahuje na atomy s více elektrony, jednalo se o první úspěšnou kvantizaci momentu hybnosti aplikovanou na atom před vektorovým modelem atomu.

Přidání úhlového momentu

Pro atomy s jedním elektronem (tj. Vodík) existuje pouze jedna sada čípků pro obíhající elektron. U atomů s více elektrony existuje mnoho stavů kvůli rostoucímu počtu elektronů.

Úhlový moment všech elektronů v atomu přidat vektorově. Většina atomových procesů jaderný a chemikálie (elektronické) - s výjimkou absolutně stochastický proces radioaktivní rozpad - jsou určeny spinové párování a propojení úhlového momentu kvůli sousedním nukleony a elektrony. Termín „vazba“ v tomto kontextu znamená vektorovou superpozici úhlového momentu, to znamená, že jsou přidány velikosti a směry.

V atomech s více elektrony je vektorový součet dvou úhlových momentů:

${ displaystyle mathbf {J} = mathbf {J} _ {1} + mathbf {J} _ {2} , !}$

pro komponentu z jsou projektované hodnoty:

${ displaystyle J_ {z} = J_ {1z} + J_ {2z} , !}$

kde

${ displaystyle { begin {aligned} & mathbf {J} _ {z} = m_ {j} hbar & mathbf {J} _ {1z} = m_ {j_ {1}} hbar & mathbf {J} _ {2z} = m_ {j_ {2}} hbar end {zarovnáno}} , !}$

a velikosti jsou:

${ displaystyle { begin {aligned} & | mathbf {J} | = hbar { sqrt {j (j + 1)}} & | mathbf {J} _ {1} | = hbar { sqrt {j_ {1} (j_ {1} +1)}} & | mathbf {J} _ {2} | = hbar { sqrt {j_ {2} (j_ {2} +1) }} end {zarovnáno}}}$

ve kterém

${ displaystyle j in {| j_ {1} -j_ {2} |, | j_ {1} -j_ {2} | -1 cdots j_ {1} + j_ {2} -1, j_ {1 } + j_ {2} } , !}$

Tento proces lze opakovat pro třetí elektron, poté čtvrtý atd., Dokud nebude nalezena celková momentová hybnost.

LS spojka

Ilustrace spojky LS. Celková moment hybnosti J je fialová, orbitální L je modrá a točí se S je zelený.

Proces sčítání všech úhlových momentů dohromady je náročný úkol, protože výsledný moment není konečný, do výpočtu musí být začleněny celé kužele precesního momentu kolem osy z. To lze zjednodušit některými rozvinutými aproximacemi - například Spojka Russell-Saunders schéma v Spojka L-S, pojmenované podle H. N. Russella a F. A. Saunderse (1925).^[3]

Viz také

• Clebsch – Gordanovy koeficienty
• Spojka L-S
• Diagramy momentu hybnosti (kvantová mechanika)
• Sférický základ

Reference

• Kvantová fyzika atomů, molekul, pevných látek, jader a částic (2. vydání)R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN  978-0-471-87373-0

Další čtení

• Atomová teorie mnoha tělLindgren, J. Morrison, Springer-Verlag Series in: Chemical Physics N^Ó13, 1982, ISBN, Monografie na úrovni absolventa o teorii mnoha těl v kontextu momentu hybnosti, s velkým důrazem na grafické znázornění a metody.
• Demystifikovaná kvantová mechanika, D. McMahon, Mc Graw Hill, 2005, ISBN  0-07-145546-9